上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期期中数学试题（word版 含答案）

上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知中____.

2．方程组的增广矩阵为__________.

3．行列式中的代数余子式的值为________

4．已知等比数列满足，则_______________．

5．若向量满足，且，则在的方向上的投影为______

6．已知等比数列各项和为则首项的取值范围为____.

7．已知点是直线上一点，且，若，则实数________

8．若直线的斜率为2，直线的倾斜角比的倾斜角大则直线的斜率为____.

9．已知向量，是同一平面内的两个向量，其中，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________.

10．已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为_________．

11．a，b是不等的两正数，若，则b的取值范围是________.

12．已知正方形的边长为，当每个取遍时，的最大值是____________.

二、单选题

13．对于任意实数m，直线必经过的定点坐标是（    ）

A． B． C． D．无法确定

14．下列命题中，真命题为

A．若，则

B．若，则或

C．若与是平行的向量，则与是相等的向量

D．若，则

15．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．已知无穷数列是公比为q的等比数列，为其n项和，则“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

三、解答题

17．△ABC中，已知A（-1，2），B（3，4），C（-2，5）

（1）求BC边所在的直线的一般式方程；

（2）求BC边上的高AH所在的直线的一般式方程.

18．已知为坐标原点，，，.

（1）若三点共线，求的值；

（2）若是以角为直角顶点的直角三角形，求的值以及此时三角形的面积.

19．用行列式的方法解关于x，y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论.

20．如图，两条相交成角的直路EF､MN，交点是O，一开始，甲在OE上距O点2km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向，设OE同向的单位向量为设OM同向的单位向量为.

(1)若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用表示；

(2)若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用表示；

(3)什么时间两人间距最短?

21．在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；

（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

参考答案

1．

【分析】

直接根据向量模长的坐标表示即可得结果.

【详解】

因为，所以，

故答案为：.

2．

【分析】

利用增广矩阵是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值即可求解

【详解】

根据题意，方程组可把对应的增广矩阵直接写出

故答案应该是．

【点睛】

此题主要考查增广矩阵的涵义，可直接作答．

3．-5

【分析】

写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．

【详解】

由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣＝﹣（3+2）＝﹣5

故答案为﹣5

【点睛】

本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．

4．8

【详解】

试题分析：由已知，，首项，所以

.或者，.

考点：等比数列的前项和，数列的极限.

5．

【分析】

由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为，代入可求．

【详解】

解：∵，且，

由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查求平面向量的投影，熟记向量投影的概念即可，属于基础题型．

6．

【分析】

由题设可得且且，由此能够推导出的取值范围.

【详解】

由，可得且且

且，且，

故答案为：.

7．

【分析】

利用向量的三角形加法法则，即可求解．

【详解】

解：⟹⟹⟹

故：λ=

【点睛】

本题考查向量的加法法则，属于基础题．

8．

【分析】

记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，根据题意求出，即可得出结果.

【详解】

直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

因为直线的斜率为2，

所以，

故答案为：.

9．

【分析】

可求出，根据与的夹角为锐角即可得出：，且与不平行，从而得出，解出λ的范围即可．

【详解】

：；

∵与的夹角为锐角；

∴，且与不平行；

∴；

解得，且λ≠0；

∴实数λ的取值范围是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．

10．

【详解】

试题分析：设直线方程为

当且仅当即时等号成立，取得最小值，此时，所以方程为

考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值

11．

【分析】

对分成两种情况进行分类讨论，结合极限的计算，求得的取值范围.

【详解】

a，b是不等的两正数，且，

须对a，b作如下讨论：

①当时，，

则，

所以，，因此，，

②当时，则，

而，故不合题意，舍去.

综合以上讨论得，，

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查根据极限值求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

12．

【分析】

可采用建系法，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的坐标公式，再结合的取值特点和表达式综合分析求解最值即可

【详解】

如图：

则，，，，，，

令

又因为取遍，

所以当，时，有最小值；

因为和的取值无关联，或，

所以当和分别取得最大值时，有最大值，

所以当，时，有最大值

故答案为：

【点睛】

本题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类讨论求解最值，综合性强，着重考查分类能力，归纳整理能力，属于中档题

13．A

【分析】

直线化为：，令，解出即可得出定点坐标．

【详解】

直线化为：，

令，解得．

∴直线恒过定点．

故选A

【点睛】

本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题型．

14．A

【分析】

利用向量相等，平行，及模长逐项判断即可

【详解】

对A, 若，则,正确；

对B, 若，则方向不确定，错误；

对C, 若与是平行的向量，则方向相同或相反，不一定是相等向量，错误；

对D, 若，则,错误

故选：A

【点睛】

本题考查向量的基本概念，相等或相反向量，是基础题

15．D

【分析】

根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系即可求解

【详解】

直线的斜截式方程为y＝，

所以斜率，即，所以，

解得<α≤，即倾斜角的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

16．A

【分析】

根据等比数列的求和公式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.

【详解】

因为为等比数列，所以，

因为，所以当时，，，

所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，充分性成立；

当q=-1时，当n为偶数时，，

当n为奇数时，，

所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，但此时，必要性不成立，

所以“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件.

故选：A

17．（1）； （2）.

【分析】

（1）根据斜率公式，求得直线BC的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解；

（2）根据垂直关系，求得AH的斜率，利用点斜式方程，即可求解.

【详解】

（1）由题意，根据直线的斜率公式，可得，

又由直线的点斜式方程，可得，

即BC边所在的直线的一般式方程.

（2）由（1）可得，所以,

由直线的点斜式方程，可得，

即BC边上的高AH所在的直线的一般式方程为.

【点睛】

本题主要考查了两直线垂直的条件，以及直线的点斜式方程的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系和直线的点斜式方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18．（1）；（2）,.

【分析】

（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；

（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．

【详解】

由已知得，， ，

三点共线,

∥ .

  .

（2）是以角为直角顶点的直角三角形

,

，

即 ，

，

，

 .

【点睛】

本题考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．

19．答案见解析.

【分析】

先求出系数行列式，，，然后讨论m，从而确定二元一次方程解的情况.

【详解】

由题意得，，

，，

（1）当且时，，原方程组有唯一组解，

所以，；

（2）当时，，，原方程组无解；

（3）当时，，，，原方程组有无穷组解．

综上，当，无解；当，有无穷解；

当且，有唯一解， .

20．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）若过2小时后，易得CD的位置，用，可表示向量和，而，代入可得；

（2）同（1的方法）可得；

（3）两人间距离，代入化简可得，由二次函数的知识可得答案.

【详解】

（1）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，

则，，

故.

（2）同（1）可得：经过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，

则，，

故.

（3）由（2）可得，

故两人间距离

，

由二次函数的知识可知，当时，

上式取到最小值，故时两人间距离最短.

21．（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ），的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积.

【分析】

（1）第个矩形的高为，然后直接求出第个矩形的面积；

（2）当时，命题成立，假设时命题成立，证得时命题成立，即可得到结论；

（3）求得，求出极限，然后说明极限的几何意义.

【详解】

（Ⅰ）由题意第个矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）当时，，命题成立，

（ii）假设时命题成立，即，

则时，

，

∴时命题成立，

综上，时，命题成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

则，

所以的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积为.

【点睛】

本题主要考查了数学归纳法，数列的求和，以及数列的极限的应用，其中解答中熟记数学归纳法的证明方法，以及合理利用极限进行计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.