山西省长治市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

这是一份山西省长治市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省长治市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≥0，x≠1 D．x＞0
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．如图，，下列各式不正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，卡片除数字外其余都相同，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．圆的任意一条直径都是它的对称轴 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆中最长的弦是直径
7．将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1
8．如图，是的直径，是上的三等分点，且，则等于 （ ）

A．120° B．95° C．105° D．150°
9．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）


A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题
11．计算：________．
12．已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…


0
1
2
3
…
y
…
8
3
0

0
3
…
则这个二次函数的图象的顶点坐标是_______．
13．如图，在矩形中，，点P在上（不与两点重合），当_______时，．

14．如图，是的两条相交弦，，则的直径是_____．


三、解答题
15．在平面直角坐标系中，，，经过原点的直线上有一点，平移线段，对应线段为（对应），若点、分别恰好在直线和轴上，则点坐标为_______．

16．（1）用配方法解方程：．
（2）计算：．
17．计算：．
18．小兰和小英周末都想去看电影，但只有一张电影票，二人决定做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：在一只不透明的口袋中有除所标数字外完全相同的4张卡片，卡片上分别写有数字，现从口袋中随机取出两张卡片，如果取出的两张卡片上的数字之积为负数，那么小兰获胜，小兰就去看电影，否则，小英去看电影．
（1）用画树状图或列表的方法求出小兰去看电影的概率．
（2）小英说：“这种规则不公平．”你认为小英的说法正确吗？请说明理由．
19．某水果店购进一批优质水果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量x（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量（千克）
…



38
…
售价（元/千克）
…



22
…
（1）某天这种水果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；
（2）如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？
20．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东的方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．

（1）当渔船航行到与小岛B距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离．
（2）当渔船到达距离小岛B最近的点后，按原航向继续航行海里后到点C处突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号）
21．景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度是20米，拱高是4米，若水面上升3米至处．

（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度．
（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度．
22．问题提出：如图，在锐角中，如何作一个正方形，使落在边上，分别落在边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在两边上的正方形；
②连接，并延长交于点；③过点作于点；④过作，交于点；⑤过点作于点，则四边形即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角中，作出长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．

（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由．
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角中，作出所有满足长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知的面积为36，，求出矩形的面积．
23．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左边），与直线分别交于两点，P为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．

（1）求抛物线的表达式．
（2）若点E在线段上，求线段长度的最大值．
（3）连接，当时，求点P的坐标．


参考答案
1．B
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件直接列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得，x﹣1≥0，x≠0，
解得，x≥1，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式及分式的概念，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
2．A
【分析】
利用二次函数定义进行分析判断即可．
【详解】
解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．C
【分析】
计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．
【详解】
∵a＝１，b=-3，c=4
而
∴一元二次方程没有实数根
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．
4．C
【分析】
根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．
【详解】
∵,
∴，，即，，
∴选项A、B、D均正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．
5．D
【分析】
根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两张卡片上的数字之积为偶数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
树状图如下：

共16种等可能的情况，两张卡片上数字之积为偶数的情况数有12种，
∴两张卡片上的数字之积是偶数的概率为；
故选：D．
【点睛】
此题考查了概率的求法；得到两张卡片上的数字之积为偶数的情况数，是解决本题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．D
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项说法错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意；
D、圆中最长的弦是直径，故此选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧的关系以及垂径定理，牢记圆心角、弧的关系，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线．
7．B
【分析】
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2+2，即y＝（x﹣3）2；
故选：B．
【点睛】
考核知识点：二次函数图象.理解性质是关键.
8．A
【分析】
由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BOD=60°，∠A=60°，通过证明△OBD为等边三角形，即可求∠D=60°，进而可求解；
【详解】
∵ C、D是 上的三等分点，
∴ ，
∵ AB是圆的直径，
∴ ∠ACB=90°，∠BOD=60°，∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠A+∠D=120°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用；
9．B
【分析】
做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG，，问题得解．
【详解】
解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
∴AE=EG，
∵， DG∥BE，
∴，
∴．
故选：B

【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．
10．B
【分析】
直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．
【详解】
解：由图像可知：对称轴为直线，
即，，
①，故错误；
②由二次函数的图像可知与x轴的一个交点在0和-1之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点在2和3之间，
故当时，即，故正确；
③根据图像可知，又因为，故错误；
④当时，即，由可得，即，故正确；
⑤由图像可得当时，函数取得最大值，即，当时，，则有，故正确；
所以正确的有②④⑤．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．
11．3
【分析】
用二次根式除法法则计算即可．
【详解】
解：，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算．
12．
【分析】
根据抛物线的对称性，结合表格数据即可求得．
【详解】
解：由表格数据结合二次函数图像对称性可得图象顶点为（1，-1），
故答案为：（1，-1）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
13．
【分析】
由勾股定理求出AC，再根据相似三角形的性质列式计算即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=2
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2
∴
∵
∴，即
解得，AP=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解答此题的关键．
14．4
【分析】
连接OB、OC，作OE⊥BC于E交于点F，由圆周角定理和已知得出∠A＝∠ACB＝60°，证出△ABC为等边三角形并推出BC＝AC＝2，由垂径定理得BE＝BC＝E及∠OBE＝30°，由直角三角形的性质得OB＝2OE，即可利用勾股定理得出结论．
【详解】
解：连接OB、OC，作OE⊥BC于E交于点F，如图所示：

∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
∵OE⊥BC，
∴，BE＝BC＝，
∴∠BOE＝∠BOE＝∠BOC，
∵∠CDB＝∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE＝2，
由勾股定理得OB2＝OE2＋BE2，
即OB2－(OB)2＝3，
解得OB＝2，
∴⊙O的直径＝2OB＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
15．或
【分析】
先求出直线的解析式为，由题意得：，，，构成以为边的平行四边形，再分以CE是平行四边形对角线时和以CF为平行四边形对角线时分别求解即可．
【详解】
设的解析式为：，把代入得：，
的解析式为：，
由题意得：，，，构成以为边的平行四边形，
设，，
则①以为平行四边形对角线时，

由中点坐标公式可得，
即，
解得：，
即；
②以为平行四边形对角线时，同理可得，
解得，
即，
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，利用一次函数与平行四边形的性质进行求解．
16．（1）；（2）-1
【分析】
（1）利用配方法直接解方程即可；
（2）利用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
（1）解：方程两边同除以2得，
配方得，即，
开方得，
解得．
（2）解：原式


【点睛】
本题主要考查解一元二次方程及三角函数综合运算，掌握配方法及特殊角的三角函数是关键．
17．
【分析】
利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可．
【详解】
解：原式



．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式及完全平方公式在实数运算中的应用是解题的关键．
18．（1）；（2）正确，理由见解析
【分析】
（1）先用列表法表示出所有可能的结果，再利用概率计算公式计算即可；
（2）分别计算出两人获胜的概率，进行比较后，即可得出结论．
【详解】
解：（1）列表如下：


5

3

—

8

5

—

15

8

—

3

15

—
由表可知，共有12种不同的等可能情况，其中乘积为负数的有8种情况，
∴（小兰去看电影）．
（2）小英的说法正确．
理由：∵（小兰去看电影），（小英去看电影），
∵，
∴这种规则不公平．
【点睛】
本题考查了概率的应用，掌握运用树状图或列表法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
19．（1）水果售价为28元/千克时，当天该水果的销售量为32千克．（2）这天水果的售价为20元．
【分析】
（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；
（2）根据利润=销量×（售价-成本），列出利润与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．
【详解】
解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx＋b
则 ，解得
∴y＝－x＋60（15≤x≤40）
∴当x＝28时，y＝32．
∴水果售价为28元/千克时，当天该水果的销售量为32千克．
（2）设某天销售这种水果获利m元，
由题易知m=（－x＋60）（x－10）＝－x2＋70x－600
当m=400时，则-x2+70x-600=400．
整理,得x2－70x＋1000＝0．
解得x1＝20，x2＝50．
∵15≤x≤40,
∴x＝20．
所以这天水果的售价为20元．
【点睛】
本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键．
20．（1）渔船航行海里后距离小岛最近，最近距离是海里；（2）救援队从B处出发沿着点B的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里
【分析】
（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM=60°，即可求得∠CBG=45°，BC=40n mile，即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，过点B作于点M，根据题意得，

由题意可知∠BAM=45°，则∠ABM=45°，
在中，，
，
∴渔船航行海里后距离小岛最近，最近距离是海里．
（2），
，
．
在中，，
，
∴救援队从B处出发沿着点B的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作三角形的高线，构建直角三角形．
21．（1）10米；（2）米
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c（a≠0），再根据题意求出A，D的坐标，代入抛物线的解析式求出a、c的值，再把y＝3代入即可得出x的值，进而得出EF的长；
（2）设圆的半径是r米，在Rt△OCB中，易知r2＝（r﹣4）2+102，求出r的值，在Rt△OGF中根据勾股定理求出GF的长，进而可得出EF的长．
【详解】
解:(1)设抛物线的表达式为，
是20米，
米，拱高是4米，
的坐标分别是，
把这两点的坐标代入表达式得
解得，
则抛物线的表达式是．
把代入表达式解得，
∴水面宽度米．
（2）设圆的半径是r米，在中，
，即，
解得，
，
，
∵OD⊥EF，∴GE=GF，
∴水面宽度米．
【点睛】
本题考查的是二次函数与垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法是解题关键．
22．（1）正确；证明见解析；（2）答案见解析；（3）18或
【分析】
（1）先证明四边形是矩形，根据平行线分线段成功比例定理可证，可证四边形为正方形；
（2）仿照（1）的方法，分2种情况作图即可；
（3）作的高，交于，当DE=2DG时，设，由可求得，进而可求出矩形的面积；同理可求出当时，矩形的面积；
【详解】
解：（1）正确．
理由：，
．
，
，
∴四边形是矩形．
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
∴四边形为正方形．
（2）仿照勤奋小组同学的作法作图，如图1与图2所示，矩形即为所作．

（3）如图3，作的高，交于．
的面积，
．
，
设，则．
，
，
，
，
解得，
，
∴矩形的面积．
同理，在矩形中，若，可求出，
，
∴矩形的面积．
故矩形的面积为18或．

【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，以及相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
23．（1）；（2）2；（3）点P的坐标为或
【分析】
（1）由直线可求出B、C两点坐标，根据抛物线经过点，可设两根式求解即可；
（2）设点P的坐标为，则点E的坐标为，用含有m的代数式表示PE，再运用配方法求出PE的最大值即可；
（3）分点P在x轴下方和点P在x轴上方两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）在中，当时，，
当，
∴点的坐标为点的坐标为．
∵抛物线经过点，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设点P的坐标为，则点E的坐标为，线段的长为W．
点E在线段上，
，
，
∴当时，W有最大值2，即线段长度的最大值为2；
（3）分两种情况讨论：①如图1，当点P在x轴下方时，在x轴上取一点F，使，沿长交抛物线于点，过点F作于点G，过点G作于点H．

∵点的坐标分别为

，


．
在中，，设，则，
，解得，


点F的坐标为．
设直线的表达式为，
解得
∴直线的表达式为，
，解得（舍去）
点P的坐标为．
②如图2，当点P在x轴上方时，过点B作，交于点M，过点M作轴于点N，

．



．
，

，


点M的坐标为．
设直线的表达式为，
解得
直线的表达式为，
解得（舍去）
∴点P的坐标为．
综上可知，点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，熟练运用二次函数的性质和待定系数法以及解直角三角形是解题的关键．