2021学年26.2 应用举例教学设计

应用举例

【教学目标】

1．运用数学知识解决实际问题；

2．提高学生综合运用知识的能力。

【教学重难点】

运用数学知识解决实际问题；

【教学过程】

（一）例题精讲

例3．已知：如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100km，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC）。经测量，森林保护区A既在B城的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆形区域，计划修筑的这条高速公路会不会穿过保护区？为什么？

分析：本题是一个涉及环保的应用问题，可以抽象为三角函数中的数量关系，转化为解直角三角形的数学问题。

练习1．如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该古塔BD的高度。(≈1．732，结果保留一位小数)

例4．要剪切如图（1）所示的甲、乙两种直角梯形零件（单位：mm），且使两种零件数量相等，有两种面积相等的矩形铝板可供选用，第一种长500mm，宽300mm（2）；第二种长600mm，宽250mm（3）。

（1）为了充分利用材料，应选用第几种铝板？这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共多少个？剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是多少？

（2）按照你设计的剪切方案，画出示意图，并把边角余料用斜线表示出来。

（1）

分析：按照要求选择铝板，要动手操作，摆一摆，画一画，拼一拼，关键是要打破直角梯形常规的摆放方法，灵活地去拼接，寻找最佳的剪切方案。

练习2．要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等。设甬道的宽为x米。

（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；

（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米。如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5．7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

例5．在一次科技知识竞赛活动中，两组同学的成绩统计如下：

根据这些统计成绩，试从不同的角度分析那组同学的成绩更好一些。

分析：通过观察，分析数据，可以联想到用统计中的平均数、中位数、方差等知识去解决。

解：（1）甲、乙两组成绩的中位数，平均数都是80分。甲组成绩在80分（含80分）以上的有33人，乙组成绩在80分（含80分）以上的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好。

＜，甲组成绩比乙组成绩波动要小，从这一角度看，甲组成绩较乙组成绩好。

（3）从成绩统计表看，甲组成绩在90分（含90分）以上的人数为20人，乙组成绩在90分（含90分）以上的人数为24人，乙组成绩集中在高分数段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好。

例6．某市要在一块地上(图中矩形ABCD)规划建造一个矩形街心花园GHCK，为了使文物保护区△AEF不被破坏，矩形街心花园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m。求：

（1）当矩形街心花园的顶点G恰是EF的中点时，花园的面积；

（2）当点G在EF上的什么位置时，花园的面积最大。

分析：当点G为EF中点时，求矩形GHCK的面积，实际上已经转化为一个数学问题，由三角形中位线的性质，易求MG，NG的长，从而计算出花园的面积。对于第（2）问，由于随着点G在EF上的变动，矩形花园GHCK的面积也在不断变化，因此，要求何时花园的面积最大，就联想到要将其转化为函数问题求解。

解：如图，延长HG，KG分别交AD，AB于点M，N。

（1）当点G是EF中点时，由三角形中位线定理，得

（二）随堂练习

1．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为(    )

2．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省(建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼建成几层？