初中数学华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形综合与测试练习

第19章检测题

时间：120分钟　　满分：120分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、 选择题(每题3分，共30分)

1．下列说法中，错误的是( D )

A．平行四边形的对角线互相平分  B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．菱形的对角线互相垂直  D．对角线互相垂直的四边形是菱形

2．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )

A．∠BAC＝∠DCA  B．∠BAC＝∠DAC  C．∠BAC＝∠ABD  D．∠BAC＝∠ADB

3．如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( C )

A．AF＝EF  B．AB＝EF  C．AE＝AF  D．AF＝BE

,第3题图)　　,第4题图)　　,第5题图)　　,第6题图)

4．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC、BC于点E、F；③连结DE、DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( A )

A．四边形CEDF为菱形  B．DE＝DA

C．DF⊥CB  D．CD＝BD

5．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AE＝4 cm，那么平行四边形AEDF周长为( B )

A．12 cm  B．16 cm  C．20 cm  D．22 cm

6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( A )

A．2  B．3  C．4  D．4

7．菱形ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若点A的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( A )

A．(1，－2)  B．(2，－1)  C．(1，－3)  D．(2，－3)

8．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD、BD，则下列结论：

①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.

其中正确的个数是( D )

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

,第8题图)　　　,第9题图)　　　,第10题图)

9．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是( B )

A．3公里  B．4公里  C．5公里  D．6公里

10．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于点G，过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( A )

A．6  B．4  C．3  D．2

二、 填空题(每小题3分，共24分)

11．矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为__64__．

12．若菱形的一条对角线长为2 cm，面积为2 cm2，则它的周长为__8_cm__．

13．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到能与△CBP′重合，若PB＝3，则PP′＝__3__．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以线段CD、CB为边作▱CDEB，当AD＝____时，▱CDEB为菱形．

,第13题图)　　　,第14题图)　　　,第15题图)

15．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线距离之和PE＋PF＝__4.8__．

16．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝，则BD＝__4或__．

17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE＝EF＝FA.下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④BE＋DF＝EF；⑤S△ABE＋S△ADF＝S△CEF.其中正确的是__①②③⑤__．(只填写序号)

,第17题图)　　　　　　,第18题图)

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD＝AC＝2，AB＝，则BD的长为____．

三、 解答题(共66分)

19．(10分)如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点C的反比例函数表达式．

解：(1)∵A(0，4)，B(－3，0)，

∴OB＝3，OA＝4，∴AB＝5.

∵在菱形ABCD中，AD＝AB＝5，

∴OD＝1，∴D(0，－1)．

(2)∵BC∥AD，BC＝AB＝5，∴C(－3，－5)．

设经过点C的反比例函数表达式为y＝.把(－3，－5)代入表达式，得k＝15，

∴y＝.

20．(10分)已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连结AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连结DF.

(1)求证：AF＝DC；

(2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形？并说明理由．

解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，

∵E为AD的中点，∴AE＝DE.

又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝DC.

(2)当AD＝CF时，四边形AFDC是矩形，理由如下：

由(1)得AF＝DC且AF∥DC，

∴四边形AFDC是平行四边形．

又∵AD＝CF，

∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

21．(10分)如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，连结AF，AF＝BC，DE⊥AF，垂足为E，连结DF.求证：

(1)△ABF≌△DEA.

(2)DF是∠EDC的平分线．

证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠BFA＝90°，∠BAF＋∠EAD＝90°，

∴∠BFA＝∠EAD.

∵DE⊥AF，∴∠AED＝∠B＝90°.

又∵AF＝BC＝AD，∴△ABF≌△DEA.

(2)∵△ABF≌△DEA，∴DE＝AB.

∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，∴DE＝CD，

∴DF是∠EDC的平分线．

22．(12分)如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．

(1)经过几秒，以P、Q、B、D为顶点的四边形为矩形？

(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．

解：(1)经过7秒，四边形BPDQ为矩形．

理由如下：经过7秒，PA＝QC＝7，

∵AC＝6，∴CP＝AQ＝1，∴PQ＝BD＝8.

∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，

∴AO＝OC＝3，∴BO＝DO＝4，∴OQ＝OP＝4，

∴四边形BPDQ为平行四边形．

∵PQ＝BD＝8，∴四边形BPDQ为矩形，

(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，CO＝3.

∵BC⊥AC，∴∠BCA＝90°，∴BC＝＝.

又BC2＋CQ2＝BQ2，∴BQ＝＝2.

23．(12分)如图①，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N.

(1)求证：MD＝MN.

(2)若将上述条件中的“M是B的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

解：(1)证明：取AD的中点F，连结FM.

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ABC＝90°.又∵M、F分别是AB、AD的中点，∴AM＝MB＝AB＝AD＝DF＝AF.

∴AF＝AM，DF＝MB.

又∵∠A＝90°，∴∠AFM＝45°，∴∠DFM＝135°.

∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝90°＋45°＝135°，∴∠DFM＝∠MBN.

∵MN⊥DM，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.

又∵∠FDM＋∠DMA＝90°，∴∠FDM＝∠NMB，

∴△DFM≌△MBN(ASA)．∴MD＝MN.

(2)成立．

证明：在AD上取一点F，使得AF＝AM.

同理于(1)的证明过程，可得∠FDM＝∠NMB，∠DFM＝∠MBN＝135°.

∵AD＝AB，AF＝AM，∴DF＝MB.

∴△DFM≌△MBN(ASA)．∴MD＝MN.

24．(12分)(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连结CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；

(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论变为什么？说明理由；

(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．

解：(1)四边形CODP的形状是菱形．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OC＝OD.

∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形．

∵OC＝OD，∴平行四边形CODP是菱形．

(2)四边形CODP的形状是矩形．

理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°.

∵DP∥OC，OP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形．

∵∠DOC＝90°，∴四边形CODP是矩形．

(3)四边形CODP的形状是正方形．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴∠DOC＝90°，OD＝OC.

∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形．

∵∠DOC＝90°，OD＝OC，∴平行四边形CODP是正方形．