2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学模拟试卷（四）

这是一份2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学模拟试卷（四），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜0B．a＞bC．b＞0D．b＞1
2．（4分）如图是（ ）的展开图．
A．棱柱B．棱锥C．圆柱D．圆锥
3．（4分）计算（ab3）2的结果是（ ）
A．2ab3B．ab6C．a2b5D．a2b6
4．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n（n≥3）边形的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．（4分）下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5B．2C．2.4D．2.5
7．（4分）如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
8．（4分）如图，已知△AOB和△A′OB′是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A′OB′的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣1，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，﹣4）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
9．（4分）如图，我校本部教学楼AD上有“育才中学”四个字的展示牌DE，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该教学楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小明沿坡度i＝：1的阶梯从看台前的B处前行50米到达C处，测得展示牌底部D的仰角为45°，展示牌顶部E的仰角为53°（小明的身高忽略不计），已知展示牌DE＝15米，则该教学楼AD的高度约为（ ）米．（精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3，≈1.7）
A．95B．93C．91D．89
10．（4分）如果数m使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程﹣＝3有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．8B．9C．﹣8D．﹣9
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（ ）
A．4B．2C．4D．2
12．（4分）如图所示，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AD∥BC，△ACD与△BCD的面积分别为20和40，若双曲线y＝（k＜0，x＜0）恰好经过边AB的四等分点E（BE＜AE），则k的值为（ ）
A．﹣5B．﹣10C．﹣15D．﹣20
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：|﹣|﹣（π﹣2020）0﹣＝ ．
14．（4分）分解因式：x3﹣4x＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC中点，以D为圆心，BD长为半径画弧交AC于点E．若∠A＝50°，∠ABC＝110°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）从写有数字﹣4，﹣3，0，2的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被2整除的概率为 ．
17．（4分）自行车运动员甲准备参加一项国际自行车赛事，为此特地骑自行车从A地出发，匀速前往168千米外的B地进行拉练．出发2小时后，乙发现他忘了带某训练用品，于是马上骑摩托车从A地出发匀速去追甲送该用品．已知乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时多30千米，但摩托车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追甲，但速度减小了，乙追上甲交接了训练用品（交接时间忽略不计），随后立即以修理后的速度原路返回，甲继续以原来的速度骑行直至B地．如图表示甲、乙两人之间的距离S（千米）与甲骑行的时间t（小时）之间的部分图象，则当甲达到B地时，乙距离A地 千米．
18．（4分）疫情防控期间，苏老师用6820元现金为年级采购了额温枪和免洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为 个．
三、解答题：（本大题8个小题，19-25题每小题10分，26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）（2x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）；
（2）（2﹣）÷．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3，求▱ABCD的周长．
21．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识．并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．60≤x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100）进行统计、分析，过程如下：
[收集数据]
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75；
乙小区的成绩在C组中的数据是：85 90 82 83 90 90；
[整理数据]
[分析数据]
[应用数据]
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）若甲、乙小区共有1000人参与答卷，请估计两个小区成绩大于90分的总人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好．请你写出社区管理员的理由．
22．（10分）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．小东结合上面的学习过程，对函数y＝|x﹣3|+x﹣5的图象与性质进行了探究．
（1）化简函数的表达式：当x≥2时，y＝ ，当x＜2时，y＝ ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝（x＞0）的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|x﹣3|+x﹣5＝的近似解 ．（精确到0.1）
24．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
26．（8分）如图△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，连接DE，以DE为直角边向上作等腰直角三角形DEF，连接BE、BF．
（1）如图1，当CE＝AD时，求证：BF⊥BD；
（2）如图2，H为BE的中点，过点D作DG⊥BC于点G，连接GH．求证：BF＝2HG；
（3）如图3，BE与DF交于点R，延长BF交AC于点P，∠APB的角平分线交BE于点Q．若点E为AC上靠近点A的三等分点，且tan∠AED＝，请直接写出的值．
2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（4分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜0B．a＞bC．b＞0D．b＞1
【分析】根据数轴上点的位置确定出a与b的取值范围，进而分别分析得出答案．
【解答】解：由数轴可得b＜0＜1＜a．
由此可得A、C、D都有错误，
故选：B．
2．（4分）如图是（ ）的展开图．
A．棱柱B．棱锥C．圆柱D．圆锥
【分析】根据圆柱的展开图特征解答．
【解答】解：如图所示，该几何体是圆柱，
故选：C．
3．（4分）计算（ab3）2的结果是（ ）
A．2ab3B．ab6C．a2b5D．a2b6
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：原式＝a2b6，
故选：D．
4．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n（n≥3）边形的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据三角形的外角性质、多边形的外角和、矩形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一个与它不相邻的内角，本选项说法是假命题；
B、n（n≥3）边形的外角和为360°，本选项说法是真命题；
C、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，本选项说法是假命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
故选：B．
5．（4分）下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】先估算出的大小，进而估算出的大小，从而得出与4+2的值最接近的整数．
【解答】解：因为2.42＜6＜2.52，
所以，
所以，
所以8.89，
所以与4+2的值最接近的是9．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5B．2C．2.4D．2.5
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，再由作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴AO＝OB，
∴OC＝AB＝2.5．
故选：D．
7．（4分）如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】连接AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠A＝90°﹣∠ABC＝40°，由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝40°即可．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC＝∠A＝40°；
故选：C．
8．（4分）如图，已知△AOB和△A′OB′是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A′OB′的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣1，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣1，4）B．（1，﹣4）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△AOB和△A′OB′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△AOB∽△A′OB′，
∵△AOB和△A′OB′的面积之比为1：4，
∴△AOB和△A′OB′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴点B′的坐标为（2，﹣4），
故选：C．
9．（4分）如图，我校本部教学楼AD上有“育才中学”四个字的展示牌DE，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该教学楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小明沿坡度i＝：1的阶梯从看台前的B处前行50米到达C处，测得展示牌底部D的仰角为45°，展示牌顶部E的仰角为53°（小明的身高忽略不计），已知展示牌DE＝15米，则该教学楼AD的高度约为（ ）米．（精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3，≈1.7）
A．95B．93C．91D．89
【分析】作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，则四边形AFCG是矩形．解Rt△BCG，得CG＝25米．设DF＝x米，解Rt△DCF，得出CF＝DF＝x米．再解Rt△ECF，根据1.3x﹣x＝15，求出x＝50，那么AD＝AF+DF＝25+50≈93．
【解答】解：作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，则四边形AFCG是矩形．
在Rt△BCG中，BC＝50米，tan∠CBG＝：1，
∴∠CBG＝60°，∠BCG＝30°，
∴BG＝BC＝25米，CG＝25米．
设DF＝x米．
在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，
∴CF＝DF＝x米．
在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，
∴EF＝tan53°•CF＝1.3x，
∵DE＝15米，
∴1.3x﹣x＝15，
∴x＝50，
∴AD＝AF+DF＝25+50≈93（米），
故选：B．
10．（4分）如果数m使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x的分式方程﹣＝3有整数解，那么符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．8B．9C．﹣8D．﹣9
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出m的值，再相加即可求解．
【解答】解：﹣＝3，
分式方程去分母得：x+m＝3（x﹣1），
解得：x＝，
﹣1≠0，解得m≠﹣1，
解不等式组得：≤x＜4，
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣1＜≤0，
解得：﹣6＜m≤0，
由x为整数，且﹣1≠0，
解得：m＝﹣5或﹣3，
则符合条件的所有整数m的和是﹣5﹣3＝﹣8．
故选：C．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（ ）
A．4B．2C．4D．2
【分析】由翻折易得△DFE≌△DCE，则DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，再由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则AE＝AD，设CE＝x，从而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE．
【解答】解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC．
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，
∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AB，∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，
在△ABE与△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∵BE：CE＝4：1，
∴设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x，
由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x，
又∵DF＝CD＝AB＝6，
∴x＝2，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝2．
故选：D．
12．（4分）如图所示，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AD∥BC，△ACD与△BCD的面积分别为20和40，若双曲线y＝（k＜0，x＜0）恰好经过边AB的四等分点E（BE＜AE），则k的值为（ ）
A．﹣5B．﹣10C．﹣15D．﹣20
【分析】由AD∥BC，可得出S△BCD＝S△BCA、S△ACD＝S△ABD，根据△ACD与△BCD的面积分别为20和40结合同底三角形面积的性质，即可得出AO：OC＝DO：OB＝1：2，进而可得出S△AOB＝，再根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出|k|＝×S△AOB，解之即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴S△BCD＝S△BCA，S△ACD＝S△ABD．
∵△ACD与△BCD的面积分别为20和40，
∴△ABD和△BCD面积比为1：2，
∴根据同底得：AO：OC＝DO：OB＝1：2，
∴S△AOB＝S△ABD＝．
∵双曲线y＝（k＜0，x＜0）恰好经过边AB的四等分点E（BE＜AE），
∴S△AOB+|k|+S△AOB＝S△AOB，
∴|k|＝S△AOB＝×＝5，
∵双曲线经过第二象限，k＜0，
∴k＝﹣5．
故选：A．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：|﹣|﹣（π﹣2020）0﹣＝ ﹣4﹣1 ．
【分析】首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣|﹣（π﹣2020）0﹣
＝﹣1﹣5
＝﹣4﹣1．
故答案为：﹣4﹣1．
14．（4分）分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC中点，以D为圆心，BD长为半径画弧交AC于点E．若∠A＝50°，∠ABC＝110°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC，∠A＝50°，∠ABC＝110°，
∴∠C＝20°，
∵DB＝DC＝DE，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝∠DEC+∠C＝40°，
∴扇形BDE的面积＝＝π，
故答案为：π．
16．（4分）从写有数字﹣4，﹣3，0，2的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被2整除的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的卡片上的数字之和能被2整除的有6种结果，
∴抽取的卡片上的数字之和能被2整除的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）自行车运动员甲准备参加一项国际自行车赛事，为此特地骑自行车从A地出发，匀速前往168千米外的B地进行拉练．出发2小时后，乙发现他忘了带某训练用品，于是马上骑摩托车从A地出发匀速去追甲送该用品．已知乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时多30千米，但摩托车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追甲，但速度减小了，乙追上甲交接了训练用品（交接时间忽略不计），随后立即以修理后的速度原路返回，甲继续以原来的速度骑行直至B地．如图表示甲、乙两人之间的距离S（千米）与甲骑行的时间t（小时）之间的部分图象，则当甲达到B地时，乙距离A地 63 千米．
【分析】根据题意，甲从出发到乙修复摩托车，一共走了3小时15分钟，乙走了2小时，两人相距24千米，依此构造方程即可．
【解答】解：设甲的速度为a千米/小时，则乙的速度为（a+30）千米/小时．
由题意，乙车修复故障时两人相距为：2a+a﹣（a+30）+＝24
∴a＝24，乙修复车辆后速度为＝36千米/小时
∵乙修复摩托车时两人相距24千米
∴乙追上甲用时为小时
甲距离B为168﹣（3++2）×24＝42千米
甲到B时乙距离A为：千米
故答案为：63
18．（4分）疫情防控期间，苏老师用6820元现金为年级采购了额温枪和免洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为 39 个．
【分析】可设购买额温枪的数量为x个，洗手液y瓶，x＞y，原剩余100元a张，10元b张，1元c张，得到方程组，再根据整数的性质得到c＝5，进一步得到x的范围，从而求得购买额温枪的数量．
【解答】解：设购买额温枪的数量为x个，洗手液y瓶，x＞y，原剩余100元a张，10元b张，1元c张，依题意有，
②﹣①得70x﹣70y＝90b﹣90a，
则7（x﹣y）＝9（b﹣a），
∵x﹣y，b﹣a都是正整数，且b﹣a≤9，
∴x﹣y＝9，b﹣a＝7，
把y＝x﹣9，b＝a+7代入①式得：
6820﹣125x﹣55（x﹣9）＝100a+10（a+7）+c，
∵x﹣y＝9，是奇数，
∴x+y也是奇数，
∴总价的个位数一定是5，
∴c也是5，
∴6820﹣180x+495＝110+70+5，
∴7240﹣180x＝110a，
解得a＝＝65﹣，
∵a是整数，
∴是整数，
∴2x﹣1是11的倍数，即2x﹣1＝11m（m是一个正整数），
∴当m＝1时，x＝6，这是满足2x﹣1＝11m的最小的x，
∴x＝6+11n（n是正整数）可代表全部的解，
∵剩下的钱6820﹣180x+495，范围在0～999之间，
即0＜6820﹣180x+495≤999，
得35≤x≤40，
∴x＝39．
故购买额温枪的数量为39个．
故答案为：39．
三、解答题：（本大题8个小题，19-25题每小题10分，26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）（2x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）；
（2）（2﹣）÷．
【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（4x2﹣4x+1）﹣（x2﹣9）
＝4x2﹣4x+1﹣x2+9
＝3x2﹣4x+10；
（2）原式＝•
＝•
＝．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AB＝6，DE＝3，求▱ABCD的周长．
【分析】（1）只要证明CB＝CE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
（2）根据CE＝CB，求出BC的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE，
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30．
21．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识．并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．60≤x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100）进行统计、分析，过程如下：
[收集数据]
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75；
乙小区的成绩在C组中的数据是：85 90 82 83 90 90；
[整理数据]
[分析数据]
[应用数据]
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）若甲、乙小区共有1000人参与答卷，请估计两个小区成绩大于90分的总人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好．请你写出社区管理员的理由．
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据，可以得到a，b，c，d的值；
（2）根据整理数据表格中的数据，可以估计两个小区成绩大于90分的总人数；
（3）根据分析数据表格中的数据，可以写出甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的理由．
【解答】解：（1）由题意可得，
a%＝6÷20×100%＝30%，
b＝20﹣（2+5+8）＝5，
甲小区成绩按照从小到大排列：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100，
c＝90，
d＝（82+83）÷2＝82.5，
即a，b，c，d的值分别为：30，5，90，82.5；
（2）1000×＝250（人），
即两个小区成绩大于90分的一共有250人；
（3）理由：甲小区的平均数、众数、中位数的成绩都大于乙小区，故甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好．
22．（10分）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．小东结合上面的学习过程，对函数y＝|x﹣3|+x﹣5的图象与性质进行了探究．
（1）化简函数的表达式：当x≥2时，y＝ 2x﹣8 ，当x＜2时，y＝ ﹣x﹣2 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： 不唯一，比如y最小值是﹣4，x≥2时y随x的增大而增大等； ；
（3）已知函数y＝（x＞0）的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|x﹣3|+x﹣5＝的近似解 x＝4.3 ．（精确到0.1）
【分析】（1）根据x的范围去绝对值就可得到答案；
（2）描点画出图象，观察图象可以得到性质；
（3）画出图象，观察近似值即可．
【解答】解：（1）x≥2时，y＝x﹣3+x﹣5＝2x﹣8，
x＜2时，y＝﹣x+3+x﹣5＝﹣x﹣2；
（2）图象如下图：
性质不唯一，比如y最小值是﹣4，x≥2时y随x的增大而增大等；
（3）画出图象估计交点横坐标近似值：x＝4.2．
24．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
【分析】（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，根据今年的批发销售总额比去年增加了20%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为（17﹣y）元，每天的销售量为（300+60y）千克，利用总利润＝每千克的平均利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，
依题意得：（1+20%）（x+1）＝（1+25%）x，
解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的销售量为300+＝（300+60y）千克，
依题意得：（17﹣y）（300+60y）＝7260，
整理得：y2﹣12y+36＝0，
解得：y1＝y2＝6，
∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝＝＝2，
∴点B′的坐标为（1，2），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，
则：，解得：，
∴直线AG解析式为y＝x+，
∴D（1，），
∴B′D＝2﹣，
∴S△AB′G＝S△AB′D+S△GB′D
＝•B′D•2+•B′D•（t﹣1）
＝•B′D•（t+1）
＝（2﹣）（t+1）
＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2+（2+）t+3+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；
（3）取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x+．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝x+或y＝x．
26．（8分）如图△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，连接DE，以DE为直角边向上作等腰直角三角形DEF，连接BE、BF．
（1）如图1，当CE＝AD时，求证：BF⊥BD；
（2）如图2，H为BE的中点，过点D作DG⊥BC于点G，连接GH．求证：BF＝2HG；
（3）如图3，BE与DF交于点R，延长BF交AC于点P，∠APB的角平分线交BE于点Q．若点E为AC上靠近点A的三等分点，且tan∠AED＝，请直接写出的值．
【分析】（1）证明△DEA≌△FDB（SAS），推出∠EAD＝∠DBF＝90°，可得结论．
（2）如图2中，过点D作DT⊥AB交BC于T，连接ET．利用三角形中位线定理证明EH＝2BF，利用全等三角形的性质证明BF＝ET即可．
（3）过点Q作QM⊥BP于M，QN⊥AC于N，过点F作FJ⊥AB于J，过点R作RW⊥AB于W．设AD＝6k，AE＝7k则AC＝AB＝21k，BD＝15k，证明△AED≌△JDF（AAS），推出DJ＝AE＝7k，AD＝FJ＝6k，推出BT＝8k，BF＝＝＝10k，由FJ∥PA，推出＝＝，可得PB＝k，PA＝k，推出PE＝PA﹣AE＝k，由＝＝＝3，BE＝＝7k，可得BQ＝BE＝k，由RW∥AE，推出＝，可得＝＝，设RW＝m，BW＝3m，由△AED∽△WDR，可得DW＝m，根据DW+BJ＝BD＝15k，求出m，用K表示出BR，RQ，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC＝AB，EC＝AD，
∴AE＝DB，
∵∠EDF＝∠A＝90°，
∴∠BDF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BDF＝∠AED，
∵ED＝DF，EA＝DB，
∴△DEA≌△FDB（SAS），
∴∠EAD＝∠DBF＝90°，
∴BF⊥BD．
（2）证明：如图2中，过点D作DT⊥AB交BC于T，连接ET．
∵∠BDT＝90°，∠DBT＝45°，
∴∠DTB＝∠DBT＝45°，
∴DB＝DT，
∵DG⊥BT，
∴BG＝GT，
∵BH＝EH，
∴ET＝2GH，
∵∠EDF＝∠TDB＝90°，
∴∠EDT＝∠FDB，
∴DE＝DF，DT＝DB，
∴△EDT≌△FDB（SAS），
∴BF＝ET，
∴BF＝2GH．
（3）解：过点Q作QM⊥BP于M，QN⊥AC于N，过点F作FJ⊥AB于J，过点R作RW⊥AB于W．
∵tan∠AED＝＝，
∴可以假设AD＝6k，AE＝7k则AC＝AB＝21k，BD＝15k，
∵∠EAD＝∠∠FJD＝90°，∠AED＝∠FDJ，DE＝DF，
∴△AED≌△JDF（AAS），
∴DJ＝AE＝7k，AD＝FJ＝6k，
∴BT＝8k，BF＝＝＝10k，
∵FJ∥PA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PB＝k，PA＝k，
∴PE＝PA﹣AE＝k，
∵＝＝＝3，BE＝＝7k，
∴BQ＝BE＝k，
∵RW∥AE，
∴＝，
∴＝＝，
设RW＝m，BW＝3m，
由△AED∽△WDR，可得DW＝m，
∵DW+BJ＝BD＝15k，
∴m+3m＝15k，
∴m＝k，
∴BR＝RW＝k，
∴QR＝BQ﹣BR＝k，
∴＝＝．
成绩x（分）
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
8
b
乙小区
3
6
6
5
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80
﹣4
﹣3
0
2
﹣4
﹣7
﹣4
﹣2
﹣3
﹣7
﹣3
﹣1
0
﹣4
﹣3
2
2
﹣2
﹣1
2
成绩x（分）
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
8
b
乙小区
3
6
6
5
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80