2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题一(含答案详解)

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△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sin A).
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cs Bcs C=1，a=3，求△ABC的周长．
已知等差数列{an}满足：a5=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令（n∈N+）,求数列{bn}的前n项和Tn．
某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：
（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；
（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？
附：
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=eq \f(2π,3)，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，
AD=CD=BC=CF.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
已知抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0)，M为抛物线C上一动点，A(a,0)（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
已知y=f(x),f(x)=x3+ax2-a2x+2.
(1)若a=1，求曲线在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若a0,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.
\s 0 答案详解
解：
(1)由题设得eq \f(1,2)acsin B=eq \f(a2,3sin A)，即eq \f(1,2)csin B=eq \f(a,3sin A).
由正弦定理得eq \f(1,2)sin Csin B=eq \f(sin A,3sin A).故sin Bsin C=eq \f(2,3).
(2)由题设及(1)得cs Bcs C－sin Bsin C=－eq \f(1,2)，即cs(B＋C)=－eq \f(1,2).
所以B＋C=eq \f(2π,3)，故A=eq \f(π,3).由题设得eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(a2,3sin A)，a=3，即bc=8.
由余弦定理得b2＋c2－bc=9，即(b＋c)2－3bc=9，由bc=8，得b＋c=eq \r(33).
故△ABC的周长为3＋eq \r(33).
解：（1）设等差数列{an}的公差为，
因为，，所以有，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
即数列{bn}的前项和.
解：（1）任一学生爱好羽毛球的概率为，故，
，，
，，
的分布列为：
∴．
（2），
故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．
解：(1)证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，
∵AB∥CD，∠BCD=eq \f(2π,3)，
∴AB=2，∴AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cs eq \f(π,3)=3.
∴AB2=AC2＋BC2，∴BC⊥AC.
∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF.
∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ(0≤λ≤eq \r(3))，
则C(0,0,0)，A(eq \r(3)，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，
∴eq \(AB,\s\up11(→))=(－eq \r(3)，1,0)，eq \(BM,\s\up11(→))=(λ，－1,1)，
设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB,\s\up11(→))＝0,n1·\(BM,\s\up11(→))＝0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(3)x＋y＝0,λx－y＋z＝0))，
令x=1，则n1=(1，eq \r(3)，eq \r(3)－λ)，为平面MAB的一个法向量.
易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，
设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，
则cs θ=eq \f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)=eq \f(1,\r(1＋3＋\r(3)－λ2)×1)=eq \f(1,\r(λ－\r(3)2＋4)).
∵0≤λ≤eq \r(3)，∴当λ=0时，cs θ有最小值eq \f(\r(7),7)，
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，
此时二面角的余弦值为eq \f(\r(7),7).
解：（1）由题意，，∴，
抛物线的标准方程为
（2）设，
设直线的方程为，联立得，
∴，，
由对称性，不妨设，
①时，∵，∴同号，
又，
∴，
不论取何值，均与有关，即，不是“稳定点”；
②时，∵，∴异号．
又，
∴，
∴仅当，即时，与无关，稳定点为。
解：
解：
解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,
所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,
由ab≤m恒成立,故m≥.
(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当a=2b时取等号,
故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,
当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,
当-2