2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题三(含答案详解)

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如图，已知点O为△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，
且2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))=0.
(1)求cs∠BOC的值；
(2)若△ABC的面积为eq \r(15)，求b2＋c2－a2的值.
已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足an=4lg2bn+3，n∈N+.
(1)求an和bn的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.
贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；
（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
（3）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”，请问：他说的是真的吗？
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点在底面 SKIPIF 1 < 0 内的射影 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，
求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的投影，且点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值．
已知函数的图象在处的切线过点．
（1）若函数，求的最大值（用表示）；
（2）若，，证明：．
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．
若a>b>0,c.
\s 0 答案详解
解：(1)设△ABC外接圆的半径为R，由2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))=0得3eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))=－2eq \(OA,\s\up6(→))，
两边平方得9R2＋16R2＋24R2cs∠BOC=4R2，
所以cs∠BOC=eq \f(－21R2,24R2)=－eq \f(7,8).
(2)由题意可知∠BOC=2∠BAC，∠BAC∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs∠BOC=cs 2∠BAC=2cs2∠BAC－1=－eq \f(7,8)，从而cs∠BAC=eq \f(1,4)，
所以sin∠BAC=eq \r(1－cs2∠BAC)=eq \f(\r(15),4)，
△ABC的面积S=eq \f(1,2)bcsin∠BAC=eq \f(\r(15),8)bc=eq \r(15)，故bc=8，
从而b2＋c2－a2=2bccs∠BAC=2×8×eq \f(1,4)=4.
解：（1）∵，∴当时，.
当时，.
∵时，满足上式，∴.
又∵，∴，解得：.
故，，.
（2）∵，，
∴①
②
由①-②得：
∴，.
解：（1）设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）随机变量 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为0，1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列为．
（3） SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴杨老汉说的是真的．
解：（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ．
即曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，故原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 不存在，综合上述可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为1．
解：（1）解：由，得，
的方程为，
又过点，∴，解得
∵，
∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故．
（2）证明：∵，
∴
，
∴．
令，，，
令得；令得．
∴在上递减，在上递增，
∴，∴，，
解得．
解：
证明：∵c-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.
∴0<<.又∵e<0,∴>.