2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题七(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题七

1.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且，sinC=3sinB，

（1）求A；

（2）计算的值.

2.设数列{an}满足a1+3a2+...+(2n-1)an=2n.

（1）求{an}通项公式；

（2）求数列 的前n项和．

3.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．

（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；

（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．

（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；

（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升．记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量，的均值和的大小．（只需写出结论）

4.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2

(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小；

(2)在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由.

5.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为．

（1）求直线的斜率；

（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，

求证：存在常数，使得．

6.已知函数f(x)=a-ln x-的图象的一条切线为x轴.

(1)求实数a的值;

(2)令g(x)=|f(x)+f′(x)|,若不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)= g(x2),求证:x1x2<1.

7.参数方程(θ为参数)表示什么曲线？

8.已知2（1-x）<-3x，化简│x+2│-│-4-2x│.

0.答案详解

1.解:（1）由三角形内角和定理可得，

此时，变形可得，

由诱导公式可得，所以，

由正弦定理，，可得，

即，由二倍角公式可得，所以，

因为，解得．

（2）因为，由正弦定理可得，

由余弦定理得，故，

由正弦定理得．

2.解：（1）数列满足

时,

∴ ∴当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

3.解：（1）7个展区企业数共家，

其中备受关注的智能及高端装备企业共家，

设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件；

∴．

（2）（i）消费电子及家电备受关注的企业有家，

医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家．

的可能取值为0，1，2．

，，，

∴随机变量的分布列为：

（ii）．

4.解：

5.解：（1）因为椭圆的离心率为，

所以，即，，

所以，，所以，所以，

所以椭圆的方程为．

直线的方程为，联立

消去得，所以或，

所以，从而得线段的中点．

所以直线的斜率为．

（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，

设直线的方程为．

联立得所以点Q的坐标为．

所以，．所以．

联立消去得，

由已知得，又，得．

设，，则，，

，．

所以，

，

故

．

所以．所以存在常数，使得．

6. (1)解:由题意得f′(x)=-,x>0.

设切点坐标为(x0,0),由题意得

解得

(2)证明:由(1)知,f(x)=(-1)-ln x,f′(x)=-,

则g(x)=|(-1)+--ln x|,

令h(x)=(-1)+--ln x,则h′(x)=(-)+(+),

当x≥1时,-≥0,h′(x)>0,h′(x)又可以写成(+)+,

当0<x<1时,>0,h′(x)>0.

因此h′(x)在(0,+∞)上大于0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,

又h(1)=0,因此h(x)在(0,1)上小于0,在(1,+∞)上大于0,

g(x)=|h(x)|=且g(x)在(0,1)上单调递减,

在(1,+∞)上单调递增,g(1)=0.当x>1时,0<<1,

记G(x)=g(x)-g()=h(x)-[-h()]=f(x)+f′(x)+f()+f′(),

令t(x)=f′(x)=-,则t′(x)=+,

故G′(x)=f′(x)+t′(x)-f′()-t′()

=(-)+(+)-(-x)-(+x2)=(-1)++>0,

故G(x)在(1,+∞)上单调递增,

所以G(x)>G(1)=0,所以g(x)-g()>0,

不妨设0<x1<1<x2,则g(x1)=g(x2)>g(),

而0<x1<1,0<<1,由单调性知x1<,即x1x2<1.

7.解：显然=tan θ，则＋1=，cos2θ=，

x=cos2θ＋sin θcos θ=sin 2θ＋cos2θ=×＋cos2θ，

即x=×＋，x=＋1，得x＋=，即x2＋y2－x－y=0.

该参数方程表示圆．

8.答案为：x+2<0，-4-2x<0．-3x-6.