2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题十

1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c=2acosB．

(1)证明：A=2B；

(2)若△ABC的面积S=，求角A的大小．

2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=3，S3=39.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn.

3.春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下：

(1)求甲、乙所抢红包金额的平均数，并说明谁的手气更好；

(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X，求X的分布列和数学期望．

4.已知直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC=2，CB=CC1=4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点.如图所示，建立空间直角坐标系.

(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；

(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明.

5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.

过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)圆＋(y－2)2=与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM=∠BNM.

6.已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值.                                         

(1)求常数k的值；                                         

(2)求函数f(x)的单调区间与极值；                                         

(3)设g(x)=f(x)+c，且∀x∈[﹣1，2]，g(x)≥2c+1恒成立，求c的取值范围.                                         

7.已知点P的球坐标为求它的直角坐标．

8.已知函数f(x)=|x－2|.

(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；

(2)若函数g(x)=－f(2x)－a的图象在上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.

0.答案详解

1.解：

(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC=2sinAcosB，

故2sinAcosB=sinB＋sin(A＋B)=sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，

于是sinB=sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，B=π－(A－B)或B=A－B，

因此A=π(舍去)或A=2B，

所以A=2B．

(2)由S=得absinC=，故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB，

因sinB≠0，得sinC=cosB．又B，C∈(0，π)，所以C=±B．

当B＋C=时，A=；当C－B=时，A=．

综上，A=或A=．

2.解：

3.解：(1)甲所抢红包金额的平均数为甲==，

乙所抢红包金额的平均数为乙==，

由于＞，所以乙的手气更好．

(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.

从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为=，

甲没有抢到红包的频率为1－=，且每次抢红包相互独立，故X～B.

P(X=0)==，P(X=1)=C=，P(X=2)=C=，

P(X=3)=C=，P(X=4)=C=，P(X=5)=C=，

P(X=6)=C=.

所以X的分布列为

E(X)=6×=2.

4.解：

5.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a＞b＞0)．

因为离心率为，所以=，解得=，即a2=2b2.

又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|=(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)=2a＋2a=4a，

所以4a=8，即a=2，b=2，

所以椭圆C的方程为＋=1.

(2)证明：把y=0代入＋(y－2)2=，解得x=1或x=4，即点M(1,0)，N(4,0)．

①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM.

②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k(x－1)．

联立消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.

因为y1=k(x1－1)，y2=k(x2－1)，

所以kAN＋kBN=＋=＋

=.

因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)=2x1x2－5(x1＋x2)＋8

=－＋8==0，

所以kAN＋kBN=0，所以∠ANM=∠BNM.

综上所述，∠ANM=∠BNM.

6.解：

7.解：由变换公式得：

x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.

y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2.

z＝rcos φ＝4cos ＝－2.

∴它的直角坐标为(2，2，－2)．

8.解：(1)由f(x)≤5－|x－1|，

得|x－1|＋|x－2|≤5，

所以或或

解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].

(2)设h(x)=－f(2x)=－|2x－2|=

当<x<1时，h(x)=＋2x－2≥2－2=2－2，

当且仅当=2x即x=时取等号，所以h(x)min=2－2.

当x≥1时，h(x)=－2x＋2递减，

画出函数h(x)的草图，如下：

原问题等价于h(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点，

结合h(x)的图象可得，a∈(2－2,1).