2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十一(含答案详解)

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2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十一1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.（1）求角A的大小；（2）已知△ABC外接圆半径,求△ABC的周长.              2.在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=2an，Tn=b1＋b2＋…＋bn，求Tn.               3.某学校依次进行A、B两科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为X，求X的分布列和均值．       4.如图1所示，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图2所示.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.            5.已知直线x＋ky－3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知圆O：x2＋y2=1，直线l：mx＋ny=1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围.       6.已知函数．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．       7.P为椭圆＋=1上的点，求P到直线l：3x－4y－24=0的距离的取值范围．                   8.设不等式0<|x＋2|－|1－x|<2的解集为M，a，b∈M.(1)证明：∣a+b∣<.(2)比较|4ab－1|与2|b－a|的大小，并说明理由.      
0.答案详解1.解：  2.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有解得d=1或d=0(舍去)，∴an=1＋(n－1)=n.(2)由(1)得an=n，∴bn=2n，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Tn==2n＋1－2. 3.解：（1）甲恰好3次通过考试有两种情况，第一种情况是第一次A科通过，第二次B科不过，第三次B科通过；第二种情况是第一次A科没通过，第二次A科通过，第三次B科通过，．（2）由题意得、、，；；，则的分布列为：． 4.解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，易知平面CDF的法向量为=(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n=(x，y，z)，则即取n=(3，－，3)，则cos〈，n〉==，∴二面角E-DF-C的余弦值为.(3)存在.证明如下：设P(x，y,0)，则·=y－2=0，∴y=.又=(x－2，y,0)，=(－x,2－y,0)，∵∥，∴(x－2)(2－y)=－xy，∴x＋y=2.把y=代入上式得x=，∴P，∴=，∴点P在线段BC上.∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE. 5.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，直线x＋ky－3=0所经过的定点是(3,0)，即点F(3,0).因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3=8，a=5，所以b2=52－32=16，所以椭圆C的方程为＋=1.(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以＋=1，即n2=16－.又原点到直线l：mx＋ny=1的距离d==<1，所以直线l：mx＋ny=1与圆O：x2＋y2=1恒相交.则l2=4(12－d2)=4，因为－5≤m≤5，所以≤l≤.故直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围为. 6.解：（1），（ⅰ）若，当时，，为减函数；当时，，为增函数，当时，令，则，；（ⅱ）若， ，恒成立，在上为增函数；（ⅲ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数，（ⅳ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当，，为增函数；综上所述：当，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．（2）（ⅰ）当时，，令，，此时1个零点，不合题意；（ⅱ）当时，由（1）可知，在上为减函数，在上为增函数，因为有两个零点，必有，即，注意到，所以，当时，有1个零点；当时，，取，则，所以当时，有1个零点；所以当时，有2个零点，符合题意；（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（ⅳ）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；，因为，所以，此时，最多有1个零点，不合题意；（ⅴ）当时，在上为增函数，在上为减函数；在上为增函数，因为，此时，最多有1个零点，不合题意；综上所述，若有两个零点，则的取值范围是． 7.解：设P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，则P到l的距离为d===当cos (θ＋)=－1时，d取最大值为；当cos (θ＋)=1时，d取最小值为.所求的取值范围为[，]．  8.解：(1)证明：记f(x)=|x＋2|－|1－x|=所以由0<2x＋1<2，解得－<x<，所以M=(－，)，所以∣a+b∣≤|a|＋|b|<＋×=.(2)由(1)可得a2<，b2<，所以(4ab－1)2－4(b－a)2=(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|4ab－1|>2|b－a|.