2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十五(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题十五

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(-C)-csin(-B0=a.

(1)求B和C;

(2)若a=2,求△ABC的面积.

2.已知公比为q的等比数列{an}的前6项和，且成等差数列．

（1）求an；

（2）设{bn}是首项为2，公差为-a1的等差数列，记{bn}前n项和为，求的最大值．

3.为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：

（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；

（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．

4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小为60°．

(1)求证：EF⊥PB；

(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值．

5.在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M,N是椭圆C上关于轴对称的任意两点，设P(-4,0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B并求出点B的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S,T两点，求的取值范围．

6.已知函数f(x)=x－lnx.

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)证明：当x≥1时，≥ex－1；

(3)若f(x)≥(1－m)x＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的值.

7.在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P是OQ中点，求P的轨迹．

8.已知函数．

（1）时，求不等式解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围．

0.答案详解

1.解:(1)由正弦定理得bsin(-C)-csin(-B)=a可化为

sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.

所以sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,

即sin Bcos C-cos Bsin C=1,所以sin (B-C)=1.

因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=.

又A=,所以B+C=π,解得B=π,C=.

(2)由(1)B=π,C=,由正弦定理,得b===4sin π.

所以△ABC的面积S=absin C=×2×4sin πsin

=4sinπsin=4cossin=2sin =2.

2.解：（1）成等差数列，

∴，即，∴，

∴，解得，所以．

（2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，

∴，

于是，则的最大值为7，此时或7．

3.解：

4.解：

(1)证明：∵AB=BC=3，BC⊥AB，EF∥BC，

∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，

有EF⊥PE，EF⊥BE，且PE∩BE=E，

∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB．

(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，

∴∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，

∴∠PEB=60°，

又PE=2，BE=1，由余弦定理得PB=，

∴PB2＋EB2=PE2，∴PB⊥EB，

∴PB，BC，EB两两垂直．

以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，C(3，0，0)，E(0，1，0)，F(2，1，0)，

∴=(0，1，－)，=(2，1，－)，设平面PEF的法向量为n=(x，y，z)，

由即

令y=，则z=1，x=0，可得n=(0，，1)，

又=(3，0，－)，∴sinθ==．

故直线PC与平面PEF所成角θ的正弦值为．

5.解：(1)设椭圆的标准方程焦距为,

由题意得,由,可得则,

所以椭圆的标准方程为；

证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,

由题意可知直线PM的斜率存在,设直线PM的方程为,

联立,消去得到,

设点,则．

所以,

所以的方程为,

令得,将,代入上式并整理,

,整理得,

所以,直线与轴相交于定点．

当过点的直线的斜率不存在时,

直线的方程为,此时,

当过点的直线斜率存在时,

设直线的方程为,且在椭圆上,

联立方程组,

消去y,整理得,

则．

所以

所以,

所以,

由得,

综上可得,的取值范围是．

6.解：(1)f(x)=x－lnx，f′(x)=1－，x∈(0，＋∞)，f(x)在(0,1)上单调递减，

在(1，＋∞)上单调递增，有极小值f(1)=1，无极大值.

(2)证明：原不等式可化为≥，记g(x)=，

则g′(x)=，当x≥1时，g′(x)＜0，

所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，有g(x)≤g(1)=，

又由(1)知，≥=，得证.

(3)f(x)≥(1－m)x＋m，即lnx－m(x－1)≤0，

记h(x)=lnx－m(x－1)，则h(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，

求导得h′(x)=－m(x＞0)，

若m≤0，则h′(x)＞0，得h(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又h(1)=0，故当x＞1时，h(x)＞0，不合题意；

若m＞0，则易得h(x)在上单调递增，在上单调递减，

则h(x)max=h=－lnm－1＋m.依题意有－lnm－1＋m≤0，故f(m)≤1，

由(1)知f(m)≥1，则m只能等于1.

7.解：

(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ、OQ，

则|OD|=6，

∠DOQ=－θ，或∠DOQ=θ－，∠DQO=.

在Rt△ODQ中，|OQ|=|OD|cos (θ－)，

即ρ=6cos (θ－)．

(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．

∴2ρ=6cos (θ－)，

∴ρ=3cos (θ－)．

∴P的轨迹是圆.

8.解：（1）当时，不等式可化为，

①当时，不等式为，解得；

②当时，不等式为，无解；

③当时，不等式为，解得，

综上，原不等式的解集为．

（2）因为的解集包含，

则不等式可化为，即．解得，

由题意知，解得，所以实数的取值范围是．