2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（4）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（4）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，，2，，，则　　

A．，，， B．，， 

C．，                    D．，，2，

2．（5分）若复数，则　　

A．20 B． C．32 D．

3．（5分）“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是

A．函数的最小正周期为 

B．函数的图象关于直线对称 

C．函数的图象关于点对称 

D．函数在区间上单调递增

6．（5分）赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史．赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为7.23米．设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为米，为精确到整数部分的近似值．已知双曲线的焦距为，则的离心率为　　（参考数据：

A．5 B．6 C．7 D．8

7．（5分）已知定义在上的可导函数满足，令，（1），则有　　

A． B． C． D．

8．（5分）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是　　

A．2 B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）关于圆，下列说法正确的是　　

A．的取值范围是 

B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，其方程为

C．若，圆与相交 

D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立

10．已知为所在平面内一点，则下列正确的是　　

A．若，则点在的中位线上 

B．若，则为的重心 

C．若，则为锐角三角形 

D．若，则与的面积比为

11．函数的定义域为．若使得均有，且函数是偶函数，则可以是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是　　

A．异面直线与所成的角为 

B．是等边三角形 

C．面积的最小值为 

D．四面体的外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有　　种．

14．（5分）写出一个关于与的等式，使是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为　　．

15．（5分）已知椭圆的右顶点为，右焦点与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心重合．若与相交于点，，且四边形为菱形，则的离心率为　　．

16．（5分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．

已知数列的前项和为，且满足____．

（1）求的通项公式；

（2）求的值．

18．（12分）如图，在中，，，点，是线段（含端点）上的动点，且点在点的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设弧度．

（1）写出的取值范围，并分别求线段，关于的函数关系式；

（2）求面积的最小值．

19．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，，分别为侧棱，的中点，且．

（1）证明：平面平面．

（2）若是平面的一个法向量，求与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．

（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；

（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆相切于点，，求的最小值．

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在点，处的切线经过坐标原点，求实数；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（4）答案

1．解：集合，，，2，，

，

，．

故选：．

2．解：由题设知：，

，，

故选：．

3．解：若，，成等比数列，则，

此时，则，，成等比数列，即充分性成立，

反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，

即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，

故选：．

4．解：函数为奇函数，所以选项错误；

又因为（1），所以选项错误；

又因为，所以选项错误．

故选：．

5．解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，

可得函数的最小正周期为，故错误；

令，求得，故错误；

令，求得，故错误；

在上，，，可得的图象单调递增，故正确．

故选：．

6．解：由题意知，，

，

，

，

，

，

离心率．

故选：．

7．解：设，

，

函数为上的增函数，

，

（1），

即（1），

（1），即，

故选：．

8．解：设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，

由抛物线的性质可得，

所以则，

当最小时，则值最大，

所以当直线与抛物线相切时，最大，即最小，

由题意可得，

设切线的方程为：，

，整理可得，

△，可得，

将代入，可得，所以，

即的横坐标为1，即的坐标，

所以，，

所以的最大值为：，

故选：．

9．解：圆的标准方程为：，故正确；

当时，圆的圆心，半径为2，

对于选项，当直线为时，该直线过点，此时截得弦长为，故选项不正确；

对于选项，两圆的圆心距为，

大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；

对于选项，易得，即，，，

，

当且仅当，即时取等号，故正确．

故选：．

10．解：设中点，中点，

若，则，

所以，即，

所以为的三分点，正确；

若，

则，

所以在中线上且，即为三角形重心，正确；

若，则为锐角，但不能确定，，故不一定为锐角三角形，错误；

若，则，

即，

所以为上靠近的三等分点，

所以，

故与的面积比为，正确．

故选：．

11．解：当时，，则，，无界，错误；

为偶函数，且，正确；

因为，，

所以，

所以，存在符合题意的，

因为，

，

所以，

故为奇函数，不符合题意；

，则，

因为与要么都是有理数，要么都是无理数，

所以，

故为偶函数，符合题意．

故选：．

12．解：对于，因为，，，

所以平面，平面，

所以，异面直线与所成的角为，不是，所以错；

对于，因为，所以，同理，

所的是等边三角形，所以对；

对于，因为，所以要求面积的最小值，

只须求边上高的最小值，此最小值恰为异面直线与的距离，设为，

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，所以直线到平面距离即为，

即点到平面距离为，

因为，所以，解得，

所以面积的最小值，所以对；

对于，四面体的外接球的球心为，半径为，

所以表面积为，所以对．

故选：．

13．解：由题意可得不同的安排方法共有，

故答案为：70．

14．解：该等式为，下面证明该等式符合条件．

，

当且仅当时取等号，

所以是一个变量，且它的最小值为16．

故答案为：．

15．解：由题意设抛物线的方程为，焦点坐标，，

由题意可得，

由四边形为菱形可得与互相垂直平分，设在轴上方，

所以可得，，即，，

代入椭圆的方程为：，而，

整理可得：，解得，

故答案为：．

16．解：作交于，交于，且，设，

则，，

设，作交于，交于，

，，，

，，则，即，

，

．

，，当，即时，最大，

也就是最长时，．

故答案为：．

17．解：若选①：

（1），当时，，即，

因为，所以，

当时，，所以，即，

又，所以，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

（2），

所以

．

若选②：

（1）因为，当时，可得，

当时，，可得，即，

所以数列数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

（2），所以

．

若选③：

（1），，

当时，，

当时，，

两式相减得，即，

又，所以，，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2），所以

．

18．解：（1）由，点，是线段（含端点）上的动点，

且点在点的右下方，不变，可知．

在中，由正弦定理可得，

，

在中，由正弦定理可得，

，

（2）由（1）可得，

，，

，

三角形的面积的最小值为，此时．

19．解：（1）证明：底面，，

在矩形中，，

，平面，则，

，为的中点，，

又，平面，

平面，平面平面；

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，

，，，

设平面的一个法向量为，

在，取，得，

．

故与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以数学期望．

（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，

设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，

因两队积分相等，所以，即，则，

所以（A）

．

21．解：（1）直线的方程为．

到直线的距离为．

而，，

，

椭圆的标准方程为．

（2）设，，，，，，

，

，

△，

，

，，

．

令，

．

，

．

即的最小值为．

22．解：（1）的导数为，

可得曲线在点，处的切线的斜率为，

，即切点为，，

由于切线经过原点，

可得，解得；

（2）因为，所以，

所以，可化为，

设，，

当，时，，所以在，递增；

当时，设，，

可得即在递增，

又，，

所以存在，使得，当时，递减；

当，时，递增，

所以，对于连续函数，在时，递减，在，时，递增，

又因为，当即时，有唯一零点在，上，

当即时，在上无零点，

综上可得，当时，函数在有唯一零点；

当时，函数在没有零点．