2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（5）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（5）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，若，则　　

A．2 B．1 C．0 D．

2．（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，在复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）数列是等比数列，首项为1，前三项和为7，则前五项和等于　　

A．31 B．61 C．31或61 D．31或81

4．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．2

5．（5分）已知，都大于零且不等于1，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知抛物线的焦点为，直线过与抛物线交于、两点，且点在第一象限，，则直线的斜率为　　

A． B． C．1 D．2

8．（5分）设数列满足，，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为　　

A． B． C．2 D．3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）若，，则　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知数列是等比数列，下列结论正确的为　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

11．（5分）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设各层球数构成一个数列，则　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则下列结论正确的是　　

A．平面 B．平面 

C．平面 D．平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为　　．

14．（5分）能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为，．”是真命题的一个区间为　　．

15．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值是　　．

16．（5分）已知为抛物线的一条长度为8的弦，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，角，，所对边分别为，，，，，点是中点，，求和．

18．（12分）已知数列的前项和为，，．

（1）证明：数列为等比数列，并求出；

（2）求数列的前项和．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值．

（1）求；

（2）设，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望．

21．（12分）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．

（1）求与的方程；

（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且经过点，与交于，两点，与交于，两点，求．

22．（12分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．

已知函数，，若，则曲线在点，（1）处的曲率为．

（1）求；

（2）若函数存在零点，求的取值范围；

（3）已知，，，证明：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（5）答案

1．解：，，，

，解得．

故选：．

2．解：欧拉公式：中．

根据欧拉公式，，因为，，

所以在复平面内对应的点在第二象限，

故选：．

3．解：由题意得，

解得或，

当时，前五项和为，

当时，前五项和为．

故选：．

4．解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，

它的斜率：，

所以，所以，

解得．

故选：．

5．解：，都大于零且不等于1，，

若时，则，所以，

若时，则，所以，

所以“”可以推出“”，满足充分性；

因为，所以，或，，

只能推出，不能推出，不满足必要性；

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

6．解：由题意可得随机变量服从二项分布，则最多1人被感染的概率为，

故选：．

7．解：在第一象限，且，直线的斜率存在，且，

设直线的方程为，，，，，，，

联立，得，

①，②，

，，即③，

由②③解得，，，

代入①中，得，（舍负），

．

故选：．

8．解：数列满足，，且对于任意，都存在正整数使得，

①若数列是递增数列，则或，

存在正整数使得，

故需，此时的最大值为3，

②若数列是递减数列，则，

存在正整数使得，

故需，此时的最大值为0，

综上可得：的最大值为3，

故选：．

9．解：，，

，．

则，故正确；

，故错误；

，故正确；

，故错误．

故选：．

10．解：数列是等比数列，

对于，，即，可得，则，故正确；

对于，，可得，由于，当时，，当时，，故不正确；

对于，，可得，所以，故，正确；

对于，由，可得，可得，所以，故不正确．

故选：．

11．解：由题意可知，，，，，，

故，

所以，故选项错误；

因为，故选项正确；

因为，故选项正确；

因为，，所以，故选项错误．

故选：．

12．解：设正方体的棱长为2，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴

建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，，0，，

，，，，

，与不垂直，则平面错误，故错误；

，，，，有，

平面，故正确；

取中点，连接，，可得，

平面，平面，得平面，同理平面，

又，平面平面，则平面，故正确；

连接，可得，又，，

平面，平面，平面，故正确．

故选：．

13．解：函数，

所以，

故（1）．

故答案为：81．

14．解：，

其图像如图所示，

易得，（1），（2），

结合图像可知，函数在区间上符合条件．

故答案为：．

15．解：设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，

，，

又，，

，．

故答案为：2．

16．解：由题意得抛物线的准线方程为，过作于，过作于，

设弦的中点为，过作于，则，

设抛物线的焦点为，则，即（当且仅当，，三点共线时等号成立），

所以，解得，

即弦的中点到轴的最短距离为：．

所以点的纵坐标为，，，，，，，，，

所以直线的斜率，

，此时，

当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为，

故答案为：．

17．解：中，，

所以，

所以，

又因为，

所以，

由，

因为，为锐角，

所以，

中，由余弦定理得，

由正弦定理，即，

所以，

因为，

所以．

18．（1）证明：，

，

，

又，

，，

数列是首项为3，公比为3的等比数列，且，

；

（2）解：由（1）可得：，

，

，

又，

，，

当时，，

当时，，

综上，．

19．（1）证明：连结，在直线棱柱中，因为，分别是棱，的中点，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，故，

又因为，所以，

因为，，

所以，因此，

所以，又因为，，平面，

所以平面，因为平面，

所以；

（2）解：因为平面，平面，所以，

由（1）可知，，又因为，，平面，

所以平面，又平面，故，

所以，，两两垂直，

建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，1，，，0，，，1，，

所以，

设平面的一个法向量为，

则有，

令，则，，故，

因为轴平面，

所以取平面的一个法向量为，

所以，

又因为二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为．

20．解：（1），

因为当，所以当时，取得最大值，则；

（2）因为，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，

所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，

当甲连赢两场时，，且，

当甲赢一场平一场时，，且，

当甲赢一场输一场或两队连平两场时，，且，

当甲输一场平一场时，，且，当甲连输两场时，，且，

所以的分布列为：

故的数学期望为．

21．解：（1）因为椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，

所以，①

双曲线的渐近线为，即，

所以右焦点到渐近线的距离为，②

又，③

由①②③解得，，

所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）设直线倾斜角为，则，

所以，

所以直线的方程为，

设，，，，，，，，

联立，得，

所以，，

所以，

联立，得，

所以，，

所以，

所以．

22．（1）解：，若，则，

，，

因为曲线在点，（1）处的曲率为，

所以，

又，所以．

（2）解：由（1）可得，

若函数存在零点，则方程在上有解，

即在上有解，

，，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以（1），当且仅当时取等号，

从而，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时等号成立，

当时，，

所以，解得，

即实数的取值范围是，．

（3）证明：由（2）得，

则，则，

又，则，

所以．