提分专练(06)　切线的性质与判定

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1.[2019·毕节]如图T6-1,点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B.
(1)若∠A=30°,求证:PA=3PB;
(2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有∠BCP=12(90°-∠P)成立.请你写出推理过程.
图T6-1
2.[2019·贺州]如图T6-2,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求AC的长度.
图T6-2
3.[2018·沈阳] 如图T6-3,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O的半径长.
图T6-3
4.[2018·随州] 如图T6-4,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若☉O的半径为5,AC=45,求MC的长.
图T6-4
|类型2| 切线的判定
5.[2019·常德] 如图T6-5,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.
图T6-5
6.[2018·青海] 如图T6-6,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若PD=5,求☉O的直径.
图T6-6
7.[2019·枣庄] 如图T6-7,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,点D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE=2,DE=4,求☉O的半径及AC的长.
图T6-7
8.[2019·安顺节选] 如图T6-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:点H为CE的中点.
图T6-8
【参考答案】
1.解:(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,∴AB=2BC.连接OC.
∵PC是☉O的切线,∴∠OCP=90°,∴∠BCP=∠P=30°,∴PB=BC,又∵BC=12AB,
∴PA=3PB.
(2)∵点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B,∴∠BCP=∠ACO=∠A,
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°,且∠ACB=90°,∴2∠BCP=90°-∠P,
∴∠BCP=12(90°-∠P).
2.解:(1)∵AF与☉O相切于点A,∴AF⊥OA,
∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°,
∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,
∵∠F=30°,∴∠F=∠DBC,∴AF∥BC,
∴OA⊥BC,∴∠BOA=90°-30°=60°,
∴∠ADB=12∠AOB=30°.
(2)∵OA⊥BC,∴BE=CE=12BC=4,
∴AB=AC,
∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB,
∵∠OBE=30°,∴OE=12OB,BE=3OE=4,
∴OE=433,∴AC=AB=OB=2OE=833.
3.解:(1)如图,连接OA,
∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,
∴OA⊥AC.
∴∠OAC=90°.
∵∠ADE=25°,
∴∠AOE=2∠ADE=50°.
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,
∴3∠C=90°,∠C=30°.
∴OA=12OC.
设☉O的半径为r,
∵CE=2,∴r=12(r+2).∴r=2.
∴☉O的半径为2.
4.解:(1)证明:连接OC,
∵CN为☉O的切线,
∴OC⊥CM,
∴∠OCA+∠MCD=90°.
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠MCD=∠ODA.
又∵∠ODA=∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC,
∴MD=MC.
(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=45,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴BC=102-(45)2=25.
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴ODBC=AOAC,即OD25=545,得OD=52.
设MC=MD=x,在Rt△OCM中,
由勾股定理得x+522=x2+52,
解得x=154,即MC=154.
5.解:(1)证明:连接OD,∵DE∥OA,
∴∠AOC=∠OED,∠AOD=∠ODE,
∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE,
∴∠AOC=∠AOD,
又∵OA=OA,OD=OC,
∴△AOC≌△AOD(SAS),∴∠ADO=∠ACO.
∵CE是☉O的直径,AC为☉O的切线,
∴OC⊥AC,∴∠OCA=90°,
∴∠ADO=∠OCA=90°,∴OD⊥AB.
∵OD为☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)∵CE=6,∴OD=OC=3,
∵∠BDO=180°-∠ADO=90°,
∴BO2=BD2+OD2,
∴OB=42+32=5,
∴BC=8,
∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B,
∴△BDO∽△BCA,
∴BDBC=ODAC,
∴48=3AC,
∴AC=6.
6.解:(1)证明:连接OA,
∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
又∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是☉O的切线.
(2)在Rt△OAP中,
∵∠P=30°,
∴PO=OD+PD=2OA,
又∵OA=OD,
∴PD=OA,
∵PD=5,
∴CD=2OA=2PD=25.
∴☉O的直径为25.
7.解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上,∴OD=OB,
又∵CD=CB,CO=CO,
∴△COD≌△COB(SSS).
∵∠ABC=90°,∴∠ODC=∠ABC=90°,
∴OD⊥DC,∴直线CD与☉O相切.
(2)设☉O的半径为x,
∵DE=4,∴OE=4-x.
在Rt△OBE中,BE2+BO2=OE2,
即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5,
∴OD=OB=
∵CB,CD是圆的切线,∴CB=CD.
则设CB=CD=y,
在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,
即y2+42=(y+2)2,解得y=3,∴BC=3.
在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=32.
8.[解析](1)连接OD,AD,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC,根据DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.
(2)连接DE,由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B,再证明∠DEC=∠C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.
解:(1)DH与☉O相切.理由如下:
连接OD,AD,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,∴BD=CD,
而AO=BO,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,
∴DH为☉O的切线.
(2)证明:连接DE,如图,
∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,
∴∠DEC=∠B,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠DEC=∠C,
∵DH⊥CE,
∴CH=EH,即H为CE的中点.