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2021年安徽省合肥市瑶海区中考数学模拟试卷（3月份）
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这是一份2021年安徽省合肥市瑶海区中考数学模拟试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在﹣1，0，﹣，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．﹣D．2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝6a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（4分）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）2020年我国粮食再获丰收，全国粮食总产量约为13400亿斤，13400用科学记数法表示（ ）
A．0.134×105B．1.34×104C．13.4×103D．134×100
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）
D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）
6．（4分）小明同学一周的体温监测结果如表：
分析表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．36.6，36.4，36.4B．36.0，36.4，36.7
C．36.0，36.3，36.4D．36.6，36.3，36.7
7．（4分）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．
8．（4分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b＝﹣4a；②a+b+c＝0；③b2﹣4ac＜0；④直线y＝bx+ac不经过第二象限，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
12．（5分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．（5分）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，交y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ．
14．（5分）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：＜1．
16．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出△A2B2C2的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高40%作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？
18．（8分）数式规律；
观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在B点测得建筑物顶部D点的仰角为57°，再向点B左侧前进20米到达A点，测得建筑物顶部D点的仰角为21°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin21°≈0.36，cs21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；
①若CA＝CB，求点C的坐标；
②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF．
（1）求证：△CDE是等腰三角形；
（2）求∠BFC的度数；
（3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长．
2021年安徽省合肥市瑶海区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．﹣D．2
【分析】根据正实数一定大于负实数和零可得答案．
【解答】解：∵正实数一定大于负实数和零，
∴在﹣1，0，，2中，最大的数是2，
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝6a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答．
【解答】解：A、主视图为正方形，故错误；
B、主视图为圆，正确；
C、主视图为三角形，故错误；
D、主视图为长方形，故错误；
故选：B．
4．（4分）2020年我国粮食再获丰收，全国粮食总产量约为13400亿斤，13400用科学记数法表示（ ）
A．0.134×105B．1.34×104C．13.4×103D．134×100
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13400＝1.34×104，
故选：B．
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）
D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）
【分析】根据完全平方公式，十字相乘法，提取公因式法以及平方差公式进行因式分解．
【解答】解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．
B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．
C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．
D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．
故选：D．
6．（4分）小明同学一周的体温监测结果如表：
分析表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．36.6，36.4，36.4B．36.0，36.4，36.7
C．36.0，36.3，36.4D．36.6，36.3，36.7
【分析】将表中数据从小到大重新排列，再根据众数、中位数及平均数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为：36.0、36.2、36.3、36.4、36.6、36.6、36.7，
所以这组数据的众数为36.6，中位数为36.4，平均数为×（36.0+36.2+36.3+36.4+36.6+36.6+36.7）＝36.4，
故选：A．
7．（4分）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．
【分析】根据反比例函数图象的增减性可得a＜0，根据图象与y轴的正半轴相交可得a+2＞0，所以﹣2＜a＜0．
【解答】解：∵图象与y轴的正半轴相交，
∴a+2＞0得a＞﹣2，
∵图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴﹣2＜a＜0．
故选：B．
8．（4分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
【分析】根据增长后的装机总量＝增长前的装机总量×（1+增长率）列出方程并解答．
【解答】解：根据题意，得600（1+x）2＝864．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
故选：A．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DE，首先推知ED为△ABC的中位线，然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF，从而求得CD的长度；继而推知AC＝BC＝4；最后由勾股定理求得AE的长度．
【解答】解：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD，即点D为AB的中点．
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴＝＝，
∴DF＝CD＝，
∴CD＝．
∴AB＝2．
∵AC＝BC，
∴AC2+BC2＝2AC2＝AB2＝8．
∴AC＝BC＝2．
∴CE＝1．
在直角△ACE中，由勾股定理知：AE＝＝＝．
故选：C．
10．（4分）如图，给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b＝﹣4a；②a+b+c＝0；③b2﹣4ac＜0；④直线y＝bx+ac不经过第二象限，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c图象经过（﹣1，0）、（5，0），
函数的对称轴为x＝＝2，则﹣＝2，即b＝﹣4a，故①正确；
由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②错误；
由抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
故a+4a+c＝0，解得：c＝﹣5a，
抛物线开口向下，函数对称轴在y轴的右侧，图象交y的正半轴，则a＜0，b＞0，c＞0，故ac＜0，所以，直线y＝bx+ac经过一、三、四象限，不经过第二象限，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
12．（5分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案．
【解答】解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
故答案为：假．
13．（5分）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，交y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ．
【分析】设点P的坐标为（m，），则C（，），D（0，），A（m，），B（m，0），由此得到 ＝＝，结合∠P＝∠P证得△PAC∽△PBD，根据相似三角形的性质即可求得 的值．
【解答】解：设点P的坐标为（m，），
则C（，），D（0，），A（m，），B（m，0），
∴PC＝m﹣＝m，PD＝m，PA＝﹣＝，PB＝，
∴＝，＝，
∴＝＝，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBD，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 2 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
【分析】如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，可证四边形ABMD是平行四边形，即可求解，如图2，连接MC，可得点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，即可求解．
【解答】解：如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C，
∴AC＝AB＝B1C＝BB1，
∴四边形ACB1B是菱形，
∴AC∥BB1，
∵AC的中点为D，A1B1的中点为M，
∴AD＝BM，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴MD＝AB＝2，
如图2，连接MC，
∵△A1CB1是等边三角形，点M是A1B1的中点，
∴A1C＝2，∠A1＝60°，A1M＝1，
∴CM＝A1M＝，
∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当点C在线段DM上时，DM有最大值为1+，
当点D在线段CM上时，DM有最小值为1，
∴x的取值范围是1＜x≤1+，
故答案为2，1＜x≤1+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：＜1．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
【解答】解：去分母，得2（x﹣4）﹣（x﹣1）≤4．
去括号，得2x﹣8﹣x+1＜4．
移项，得2x﹣x＜4+8﹣1．
合并同类项，得x＜11．
16．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出△A2B2C2的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，则描点得到△A2B2C2，再计算△ABC的面积，然后把△ABC的面积乘以4得到△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△A2B2C2的面积＝4S△ABC＝4（5×3﹣×3×1﹣×3×2﹣×2×5）＝22．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高40%作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？
【分析】设这种运动双肩包每个进价是x元，根据题意知；利润＝总的售价﹣总进价．列方程解可得．
【解答】解：设这种运动双肩包每个进价是x元．
由题意得0.85×（1+40%）x﹣x＝38．
解得；x＝200．
答：这种运动双肩包每个进价是200元．
18．（8分）数式规律；
观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ×（1+）＝2﹣ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝2﹣ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出相应的第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想并加以证明．
【解答】解：（1）由题意可得，
第6个等式是：×（1+）＝2﹣，
故答案为：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想：＝2﹣，
证明：左边＝
＝
＝
＝，
右边＝2﹣
＝
＝
＝，
左边＝右边，
故＝2﹣成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在B点测得建筑物顶部D点的仰角为57°，再向点B左侧前进20米到达A点，测得建筑物顶部D点的仰角为21°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin21°≈0.36，cs21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【分析】在Rt△BDC中，根据三角函数的定义得到BC，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到AC，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△BDC中和Rt△ACD中，
∵，，
∴，
∴（米），
解得：CD＝10（米），
答：建筑物CD的高度为10米．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
【分析】（1）连接BI，由三角形的内心得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，再由三角形的外角性质和圆周角定理得∠BID＝∠IBD，即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥BC于E，由（1）得：∠BAD＝∠CAD，则，得BD＝CD，再由等腰三角形的性质得BE＝CE＝BC＝，然后证∠DBC＝∠BCD＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接BI，如图1所示：
∵点I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴DI＝DB；
（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：
由（1）得：∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵DE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，
∴DI＝BD＝2．
六、（本题满分12分）
21．（12分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）先求出抽取的学生人数为80人，再求出抽取的学生中良好的人数为32人，将条形统计图补充完整即可；
（2）由九年级总人数乘以“优秀”和“良好”的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：24÷30%＝80（人），抽取的学生中良好的人数为：80﹣16﹣24﹣8＝32（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）1200×＝720（名），
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有720名；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；
①若CA＝CB，求点C的坐标；
②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
【分析】（1）由二次函数解析式可求得点B坐标，由OA＝OB，可求得点A坐标，代入二次函数解析式即可求解；
（2）①由CA＝CB可得，点C在AB的垂直平分线上，根据点O在AB的垂直平分线上可求得直线OC的解析式，将直线OC解析式与二次函数解析式联立，即可求出点C的坐标；
②先作CD⊥OA，BF⊥CD，表示出△ABC的面积S，再将点C、E的坐标代入得到一个二次函数解析式，然后求出S的最大值即可．
【解答】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，
∴当x＝0，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∵OA＝OB，
∴OA＝3，
即点A的坐标为（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，
﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①如图1，设点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴直线CO是线段AB的垂直平分线，
可求得直线CO的解析式为y＝﹣x，
∴﹣x＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝，
∵点C在第二象限，
∴x＝，
∴点C的坐标是（，）；
②如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∴S＝S△ACD+S△BCE＝CE（AD+BF）＝[，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）]×3＝，
∴当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF．
（1）求证：△CDE是等腰三角形；
（2）求∠BFC的度数；
（3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长．
【分析】（1）先由轴对称的性质得BC＝CE，再由正方形的性质得AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）连接BE，由（1）得CP垂直平分BE，∠BFC＝∠EFC，CB＝CD＝CE，则点E在以C为圆心，CB为半径的圆上，由圆周角定理得∠BED＝∠BCD＝45°，即可求解；
（3）连接BE，交CF于点M，交CD于点N，由（2）得∠BEF＝∠EFC＝∠BFC＝45°，证出∠CBM＝∠DCP，则△EFM是等腰直角三角形，得EF＝EM，再由锐角三角函数定义得tan∠CBM＝＝，设CM＝x，则BM＝EM＝2x，然后由勾股定理得BC＝x＝10，得x＝2，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点B与点E关于直线CP对称，
∴BC＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD，
∴CE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）得：CP垂直平分BE，∠BFC＝∠EFC，CB＝CD＝CE，
∴点E在以C为圆心，CB为半径的圆上，
则∠BED＝∠BCD＝45°，
∴∠EFC＝90°﹣45°＝45°，∠BFC＝∠EFC＝45°；
（3）解：连接BE，交CF于点M，交CD于点N，如图2﹣1所示：
由（2）得：∠BEF＝∠EFC＝∠BFC＝45°，∠CBM+∠BCM＝∠DCP+∠BCM＝90°，
∴∠CBM＝∠DCP，△EFM是等腰直角三角形，
∴EF＝EM，
∵点P为AD中点，
∴AP＝DP＝AD＝CD，
∴tan∠DCP＝＝，
∴tan∠CBM＝＝，
设CM＝x，则BM＝EM＝2x，
∴BC＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴EM＝4，
∴EF＝EM＝4．
星期
一
二
三
四
五
六
日
体温（单位：℃）
36.7
36.0
36.6
36.3
36.2
36.6
36.4
星期
一
二
三
四
五
六
日
体温（单位：℃）
36.7
36.0
36.6
36.3
36.2
36.6
36.4
1．（4分）在﹣1，0，﹣，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．﹣D．2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝6a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（4分）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）2020年我国粮食再获丰收，全国粮食总产量约为13400亿斤，13400用科学记数法表示（ ）
A．0.134×105B．1.34×104C．13.4×103D．134×100
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）
D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）
6．（4分）小明同学一周的体温监测结果如表：
分析表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．36.6，36.4，36.4B．36.0，36.4，36.7
C．36.0，36.3，36.4D．36.6，36.3，36.7
7．（4分）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．
8．（4分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b＝﹣4a；②a+b+c＝0；③b2﹣4ac＜0；④直线y＝bx+ac不经过第二象限，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
12．（5分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．（5分）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，交y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ．
14．（5分）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：＜1．
16．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出△A2B2C2的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高40%作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？
18．（8分）数式规律；
观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在B点测得建筑物顶部D点的仰角为57°，再向点B左侧前进20米到达A点，测得建筑物顶部D点的仰角为21°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin21°≈0.36，cs21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；
①若CA＝CB，求点C的坐标；
②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF．
（1）求证：△CDE是等腰三角形；
（2）求∠BFC的度数；
（3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长．
2021年安徽省合肥市瑶海区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在﹣1，0，﹣，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．﹣D．2
【分析】根据正实数一定大于负实数和零可得答案．
【解答】解：∵正实数一定大于负实数和零，
∴在﹣1，0，，2中，最大的数是2，
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝6a6D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答．
【解答】解：A、主视图为正方形，故错误；
B、主视图为圆，正确；
C、主视图为三角形，故错误；
D、主视图为长方形，故错误；
故选：B．
4．（4分）2020年我国粮食再获丰收，全国粮食总产量约为13400亿斤，13400用科学记数法表示（ ）
A．0.134×105B．1.34×104C．13.4×103D．134×100
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13400＝1.34×104，
故选：B．
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）
D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）
【分析】根据完全平方公式，十字相乘法，提取公因式法以及平方差公式进行因式分解．
【解答】解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．
B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．
C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．
D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．
故选：D．
6．（4分）小明同学一周的体温监测结果如表：
分析表中的数据，众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．36.6，36.4，36.4B．36.0，36.4，36.7
C．36.0，36.3，36.4D．36.6，36.3，36.7
【分析】将表中数据从小到大重新排列，再根据众数、中位数及平均数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为：36.0、36.2、36.3、36.4、36.6、36.6、36.7，
所以这组数据的众数为36.6，中位数为36.4，平均数为×（36.0+36.2+36.3+36.4+36.6+36.6+36.7）＝36.4，
故选：A．
7．（4分）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．
【分析】根据反比例函数图象的增减性可得a＜0，根据图象与y轴的正半轴相交可得a+2＞0，所以﹣2＜a＜0．
【解答】解：∵图象与y轴的正半轴相交，
∴a+2＞0得a＞﹣2，
∵图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴﹣2＜a＜0．
故选：B．
8．（4分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
【分析】根据增长后的装机总量＝增长前的装机总量×（1+增长率）列出方程并解答．
【解答】解：根据题意，得600（1+x）2＝864．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
故选：A．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DE，首先推知ED为△ABC的中位线，然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF，从而求得CD的长度；继而推知AC＝BC＝4；最后由勾股定理求得AE的长度．
【解答】解：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD，即点D为AB的中点．
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴＝＝，
∴DF＝CD＝，
∴CD＝．
∴AB＝2．
∵AC＝BC，
∴AC2+BC2＝2AC2＝AB2＝8．
∴AC＝BC＝2．
∴CE＝1．
在直角△ACE中，由勾股定理知：AE＝＝＝．
故选：C．
10．（4分）如图，给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b＝﹣4a；②a+b+c＝0；③b2﹣4ac＜0；④直线y＝bx+ac不经过第二象限，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c图象经过（﹣1，0）、（5，0），
函数的对称轴为x＝＝2，则﹣＝2，即b＝﹣4a，故①正确；
由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②错误；
由抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
故a+4a+c＝0，解得：c＝﹣5a，
抛物线开口向下，函数对称轴在y轴的右侧，图象交y的正半轴，则a＜0，b＞0，c＞0，故ac＜0，所以，直线y＝bx+ac经过一、三、四象限，不经过第二象限，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
12．（5分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案．
【解答】解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
故答案为：假．
13．（5分）如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，交y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ．
【分析】设点P的坐标为（m，），则C（，），D（0，），A（m，），B（m，0），由此得到 ＝＝，结合∠P＝∠P证得△PAC∽△PBD，根据相似三角形的性质即可求得 的值．
【解答】解：设点P的坐标为（m，），
则C（，），D（0，），A（m，），B（m，0），
∴PC＝m﹣＝m，PD＝m，PA＝﹣＝，PB＝，
∴＝，＝，
∴＝＝，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBD，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，在等边△ABC中，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C．设AC的中点为D，A1B1的中点为M，AC＝2，连接MD．当α＝60°时，MD的长度为 2 ；设MD＝x，在整个旋转过程中，x的取值范围是 ．
【分析】如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，可证四边形ABMD是平行四边形，即可求解，如图2，连接MC，可得点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，即可求解．
【解答】解：如图1，当α＝60°时，A1C与BC重合，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△A1B1C，
∴AC＝AB＝B1C＝BB1，
∴四边形ACB1B是菱形，
∴AC∥BB1，
∵AC的中点为D，A1B1的中点为M，
∴AD＝BM，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴MD＝AB＝2，
如图2，连接MC，
∵△A1CB1是等边三角形，点M是A1B1的中点，
∴A1C＝2，∠A1＝60°，A1M＝1，
∴CM＝A1M＝，
∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当点C在线段DM上时，DM有最大值为1+，
当点D在线段CM上时，DM有最小值为1，
∴x的取值范围是1＜x≤1+，
故答案为2，1＜x≤1+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：＜1．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
【解答】解：去分母，得2（x﹣4）﹣（x﹣1）≤4．
去括号，得2x﹣8﹣x+1＜4．
移项，得2x﹣x＜4+8﹣1．
合并同类项，得x＜11．
16．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出△A2B2C2的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，则描点得到△A2B2C2，再计算△ABC的面积，然后把△ABC的面积乘以4得到△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△A2B2C2的面积＝4S△ABC＝4（5×3﹣×3×1﹣×3×2﹣×2×5）＝22．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高40%作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？
【分析】设这种运动双肩包每个进价是x元，根据题意知；利润＝总的售价﹣总进价．列方程解可得．
【解答】解：设这种运动双肩包每个进价是x元．
由题意得0.85×（1+40%）x﹣x＝38．
解得；x＝200．
答：这种运动双肩包每个进价是200元．
18．（8分）数式规律；
观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ×（1+）＝2﹣ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝2﹣ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出相应的第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想并加以证明．
【解答】解：（1）由题意可得，
第6个等式是：×（1+）＝2﹣，
故答案为：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想：＝2﹣，
证明：左边＝
＝
＝
＝，
右边＝2﹣
＝
＝
＝，
左边＝右边，
故＝2﹣成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在B点测得建筑物顶部D点的仰角为57°，再向点B左侧前进20米到达A点，测得建筑物顶部D点的仰角为21°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin21°≈0.36，cs21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【分析】在Rt△BDC中，根据三角函数的定义得到BC，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到AC，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△BDC中和Rt△ACD中，
∵，，
∴，
∴（米），
解得：CD＝10（米），
答：建筑物CD的高度为10米．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．
求证：（1）DI＝DB；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．
【分析】（1）连接BI，由三角形的内心得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，再由三角形的外角性质和圆周角定理得∠BID＝∠IBD，即可得出结论；
（2）过点D作DE⊥BC于E，由（1）得：∠BAD＝∠CAD，则，得BD＝CD，再由等腰三角形的性质得BE＝CE＝BC＝，然后证∠DBC＝∠BCD＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接BI，如图1所示：
∵点I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴DI＝DB；
（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：
由（1）得：∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵DE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，
∴DI＝BD＝2．
六、（本题满分12分）
21．（12分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）先求出抽取的学生人数为80人，再求出抽取的学生中良好的人数为32人，将条形统计图补充完整即可；
（2）由九年级总人数乘以“优秀”和“良好”的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：24÷30%＝80（人），抽取的学生中良好的人数为：80﹣16﹣24﹣8＝32（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）1200×＝720（名），
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有720名；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；
①若CA＝CB，求点C的坐标；
②设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
【分析】（1）由二次函数解析式可求得点B坐标，由OA＝OB，可求得点A坐标，代入二次函数解析式即可求解；
（2）①由CA＝CB可得，点C在AB的垂直平分线上，根据点O在AB的垂直平分线上可求得直线OC的解析式，将直线OC解析式与二次函数解析式联立，即可求出点C的坐标；
②先作CD⊥OA，BF⊥CD，表示出△ABC的面积S，再将点C、E的坐标代入得到一个二次函数解析式，然后求出S的最大值即可．
【解答】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，
∴当x＝0，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∵OA＝OB，
∴OA＝3，
即点A的坐标为（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，
﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①如图1，设点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴直线CO是线段AB的垂直平分线，
可求得直线CO的解析式为y＝﹣x，
∴﹣x＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝，
∵点C在第二象限，
∴x＝，
∴点C的坐标是（，）；
②如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∴S＝S△ACD+S△BCE＝CE（AD+BF）＝[，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）]×3＝，
∴当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF．
（1）求证：△CDE是等腰三角形；
（2）求∠BFC的度数；
（3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长．
【分析】（1）先由轴对称的性质得BC＝CE，再由正方形的性质得AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）连接BE，由（1）得CP垂直平分BE，∠BFC＝∠EFC，CB＝CD＝CE，则点E在以C为圆心，CB为半径的圆上，由圆周角定理得∠BED＝∠BCD＝45°，即可求解；
（3）连接BE，交CF于点M，交CD于点N，由（2）得∠BEF＝∠EFC＝∠BFC＝45°，证出∠CBM＝∠DCP，则△EFM是等腰直角三角形，得EF＝EM，再由锐角三角函数定义得tan∠CBM＝＝，设CM＝x，则BM＝EM＝2x，然后由勾股定理得BC＝x＝10，得x＝2，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点B与点E关于直线CP对称，
∴BC＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD，
∴CE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）得：CP垂直平分BE，∠BFC＝∠EFC，CB＝CD＝CE，
∴点E在以C为圆心，CB为半径的圆上，
则∠BED＝∠BCD＝45°，
∴∠EFC＝90°﹣45°＝45°，∠BFC＝∠EFC＝45°；
（3）解：连接BE，交CF于点M，交CD于点N，如图2﹣1所示：
由（2）得：∠BEF＝∠EFC＝∠BFC＝45°，∠CBM+∠BCM＝∠DCP+∠BCM＝90°，
∴∠CBM＝∠DCP，△EFM是等腰直角三角形，
∴EF＝EM，
∵点P为AD中点，
∴AP＝DP＝AD＝CD，
∴tan∠DCP＝＝，
∴tan∠CBM＝＝，
设CM＝x，则BM＝EM＝2x，
∴BC＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴EM＝4，
∴EF＝EM＝4．
星期
一
二
三
四
五
六
日
体温（单位：℃）
36.7
36.0
36.6
36.3
36.2
36.6
36.4
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