2021年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷

这是一份2021年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的倒数是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
2．（3分）将210000用科学记数法表示为（ ）
A．21×104B．2.1×105C．2.1×106D．21万
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．（a+b）2＝a2+b2
C．8x4÷2x2＝4x2D．（﹣2a）3＝8a3
4．（3分）一组数据：3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．2B．2.4C．2.8D．3
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣5
7．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似D．若|a|＝|b|，则a＝b
8．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围（ ）
A．8≤a＜9B．8＜a≤9C．8＜a＜9D．8≤a≤9
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝68°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20°B．23°C．25°D．34°
10．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣2B．y＝﹣2（x+1）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣4
11．（3分）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于（ ）
A．8B．16C．24D．32
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，F是CD的中点，作BE⊥AD于点E，连接EF、BF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CBF＝∠ABFB．FE＝FB
C．2S△EFB＝S四边形DEBCD．∠BFE＝3∠DEF
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
14．（3分）计算的结果是 ．
15．（3分）如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝ °．
16．（3分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是 ．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：|﹣1|+（2021﹣1）0﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．
（2）解方程：2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0．
20．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB，BC交于点M，N，直线MN与坐标轴交于D（0，3）和E（6，0）两点．
（1）求直线MN的函数表达式和k的值；
（2）求△BMN的面积．
22．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
23．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
24．（8分）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC＝，AB＝4，求半径OE的长．
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN长度的最大值．
26．（11分）已知△ABC是等边三角形，AB＝6，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图所示放置，让等边△ABC向右平移（BC只能在EF上移动）．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板DEF的斜边DF上．
（1）若点C平移到与点F重合，求等边△ABC平移的距离；
（2）在等边△ABC向右平移的过程中，AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH交AB于点P，如图2．
①求证：EB＝AH；
②若∠HEF＝30°，求EH的长；
③判断PG的长度在等边△ABC平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG的长；如果变化，请说明理由．
2021年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题四个选项。其中只有一个是正确的）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
【分析】根据乘积为1的两个数是互为倒数，进行求解即可．
【解答】解：∵×2＝1，
∴的倒数是2，
故选：A．
2．（3分）将210000用科学记数法表示为（ ）
A．21×104B．2.1×105C．2.1×106D．21万
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：210000＝2.1×105，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．（a+b）2＝a2+b2
C．8x4÷2x2＝4x2D．（﹣2a）3＝8a3
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（a2）3＝a6，故选项A错误；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项B错误；
8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确；
（﹣2a）3＝﹣8a3，故选项D错误；
故选：C．
4．（3分）一组数据：3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．2B．2.4C．2.8D．3
【分析】根据数据的众数确定出x的值，进而求出方差即可．
【解答】解：∵一组数据3，4，5，x，8的众数是5，
∴x＝5，
∴这组数据的平均数为×（3+4+5+5+8）＝5，
则这组数据的方差为×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]＝2.8．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，
∴点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在第四象限，
故选：D．
6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣5
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝3； x1x2＝﹣2．
则x1+x2+x1x2＝3+（﹣2）＝1．
故选：B．
7．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．3a3b的系数是3
C．位似图形必定相似D．若|a|＝|b|，则a＝b
【分析】根据线段的性质、单项式、相似图形和绝对值进行判断解答．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、3a3b的系数是3，是真命题；
C、位似图形必定相似，是真命题；
D、若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
故选：D．
8．（3分）关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围（ ）
A．8≤a＜9B．8＜a≤9C．8＜a＜9D．8≤a≤9
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于a的不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：，
解①得，x≤13，
解②得，x＞2+a，
∴不等式组的解集为：2+a＜x≤13，
∵不等式组只有3个整数解，
∴10≤2+a＜11，
解得，8≤a＜9，
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝68°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20°B．23°C．25°D．34°
【分析】利用圆周角定理求出∠D，再利用三角形的外角的性质求出∠ABD即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∴∠D＝∠COB＝45°，
∵∠CEB＝∠D+∠ABD，
∴∠ABD＝68°﹣45°＝23°，
故选：B．
10．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2﹣2B．y＝﹣2（x+1）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣4
【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（0，1），根据点平移的规律，点（0，1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于（ ）
A．8B．16C．24D．32
【分析】先由CD∥AB，证得△ABE∽△CDE，再根据已知条件及相似三角形的性质得出S△CDE的值，然后根据△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等及CE＝2AE，得出S△BCE的值，最后利用关系式S△BCD＝S△CDE+S△BCE，可得答案．
【解答】解：∵CD∥AB
∴△ABE∽△CDE
又∵AE：CE＝1：2
∴＝
∵S△ABE＝4
∴S△CDE＝16
∵AE：CE＝1：2
∴CE＝2AE
∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等
∴S△BCE＝2S△ABE
∵S△ABE＝4
∴S△BCE＝2×4＝8
∴S△BCD＝S△CDE+S△BCE＝16+8＝24
故选：C．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，F是CD的中点，作BE⊥AD于点E，连接EF、BF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CBF＝∠ABFB．FE＝FB
C．2S△EFB＝S四边形DEBCD．∠BFE＝3∠DEF
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵AB＝2AD，
∴CD＝2AD，
∵F是CD的中点，
∴DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠CBF＝∠ABF，故A正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故B正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故C正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故D错误，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，知x+3＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
14．（3分）计算的结果是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：＝＝4．
故答案为：4．
15．（3分）如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝ 110 °．
【分析】根据对顶角相等得出∠2＝∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，
∴∠1＝∠MEN，
∴AB∥CD，
∴∠3+∠BMN＝180°，
∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN＝，
∴∠3＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
16．（3分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
【分析】判断平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据概率的意义求解即可．
【解答】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这5个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、圆共3个，
因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
17．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是 6﹣π ．
【分析】分别求出DC＝BC＝CE＝2，BD＝BF＝2，求出∠DCE＝90°，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案．
【解答】解：
过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，
由勾股定理得：BD＝2，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，
∴BM＝FM＝2，ME＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF
＝++﹣
＝6﹣π，
故答案为：6﹣π．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．其中正确的有 ①③④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
3a+c＝0，
c＝﹣3a，故③正确；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＝，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＝，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：|﹣1|+（2021﹣1）0﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．
（2）解方程：2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+3﹣3×
＝﹣1+1+3﹣
＝3；
（2）∵2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（﹣x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
20．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】以CA为角的一边，在三角形的内部作∠ACD＝∠B，射线CD交AB于点D，△ACD即为所求．
【解答】解：如图，△ACD即为所求．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB，BC交于点M，N，直线MN与坐标轴交于D（0，3）和E（6，0）两点．
（1）求直线MN的函数表达式和k的值；
（2）求△BMN的面积．
【分析】（1）设直线MN的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标，进而根据待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）设直线MN的解析式是y＝kx+b，
把D、E的坐标代入得：，
解得：，
∴直线MN的解析式是：y＝﹣x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M的坐标是（2，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点M，
∴k＝2×2＝4，
即反比例函数的解析式是y＝；
（2）∵B（4，2），
∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N的坐标是（4，1），
∴BN＝2﹣1＝1，
∵M（2，2），
∴BM＝4﹣2＝2，
∴S△BMN＝＝1．
22．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝ 10 ，b＝ 0.28 ，c＝ 50 ；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【分析】（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）由题意c＝＝50，
a＝50×0.2＝10，b＝＝0.28，c＝50；
故答案为10，0.28，50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50＝320÷50＝6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200＝528（人）．
23．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【分析】（1）设该项工程的规定时间是x天，根据“甲的工作量+乙的工作量＝1”列出方程并解答；
（2）根据工作时间＝和施工费用＝施工时间×每天施工的费用解答．
【解答】解：（1）设该项工程的规定时间是x天，
由题意得：，
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：该项工程的规定时间是30天．
（2）甲、乙队合做完成所需的天数为：．
则该工程施工费用是：18×（3500+2500）＝108000（元）．
答：该工程施工费用为108000元．
24．（8分）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC＝，AB＝4，求半径OE的长．
【分析】（1）证明：连接OD，根据正方形的性质证明△CDP≌△CBP可得∠CDP＝∠CBP，再根据等腰三角形的性质可以证明结论；
（2）由∠CDP＝∠CBE，可得tan∠CBE＝tan∠CDP＝＝，再根据锐角三角函数和勾股定理即可得结果．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，
∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBP+∠BEC＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠CDP+∠ODE＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴DP是⊙O的切线；
（2）∵∠CDP＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠CDP＝＝，
∴CE＝×4＝2，
∴DE＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠F+∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中，＝，
∴DF＝4，
∴EF＝＝2，
∴OE＝，
25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN长度的最大值．
【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），可以求得该函数的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以求得直线AC的解析式，再根据点P的坐标，即可写出点M和点N的坐标，然后即可表示出线段MN，再根据二次函数的性质，即可得到段MN长度的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴，
解得，
即这个二次函数的表达式是y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即点C的坐标为（0，﹣3），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+a，
，
解得，
即直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点P的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m﹣3），点N的坐标为（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，MN取得最大值，此时MN＝，
即线段MN长度的最大值是．
26．（11分）已知△ABC是等边三角形，AB＝6，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图所示放置，让等边△ABC向右平移（BC只能在EF上移动）．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板DEF的斜边DF上．
（1）若点C平移到与点F重合，求等边△ABC平移的距离；
（2）在等边△ABC向右平移的过程中，AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH交AB于点P，如图2．
①求证：EB＝AH；
②若∠HEF＝30°，求EH的长；
③判断PG的长度在等边△ABC平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG的长；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）就是刚开始时C点与F的距离；
（2）①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，证明△EBN≌△HAG即可；
②此时HEF是等腰三角形，作HI⊥EF于点I，由（1）知，EF＝2AB，从而IE＝AB＝6，EH自然求出；
③由于前面已经证明了△EBN≌△HAG，从而有GH＝EN，则△ENP≌△HGP，PG＝NP＝AB．
【解答】解：（1）等边△ABC未平移时，如图1，
∵∠ABC＝60°，BD⊥BF，
∴∠DBA＝30°，
∵∠BDF＝60°，
∴BA⊥DF，
∴2AB＝BF＝BC+CF，
∵AB＝BC，
∴CF＝AB＝6，
即：点C平移到与点F重合时，等边△ABC平移的距离为6；
（2）①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，如图2，
由（1）知AB⊥DF，
∴MENG是矩形，
∴GN＝EM＝AB，
∵∠ACB＝60°，∠DFE＝30°，
∴∠CHF＝30°，
∴∠AHG＝30°，
∵EN∥DF，
∴∠BEN＝30°＝∠AHG，
∵AG+GB＝AB，
BN+GB＝NG＝AB，
∴BN＝AG，
在△EBN和△HAG中，
，
∴△EBN≌△HAG（AAS），
∴EB＝AH；
②如图3，作HI⊥EF于点I，
∵∠HEF＝30°＝∠HFE，
∴IE＝IF，
由（1）知EF＝2AB＝12，
∴IE＝6，
∴IH＝，
∴EH＝4；
③不变．如图2，
∵△EBN≌△HAG，
∴GH＝NE，
在△ENP和△HGP中，
，
∴△ENP≌△HGP（AAS），
∴GP＝NP＝NG＝＝3．
本数（本）
频数（人数）
频率
5
a
0.2
6
18
0.36
7
14
b
8
8
0.16
合计
c
1
本数（本）
频数（人数）
频率
5
a
0.2
6
18
0.36
7
14
b
8
8
0.16
合计
c
1