2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试卷

这是一份2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g＝10N/kg）（　　）
A．1.3×106J B．13×105J C．13×104J D．1.3×105J
3．（3分）用一把带有刻度的直角尺，
①可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）
②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）
③可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3）
④可以量出一个圆的半径，如图（4）

上述四个方法中，正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°
5．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（　　）

A．10 B．4 C．3 D．5
6．（3分）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
7．（3分）将抛物线M：y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M′，若抛物线M′与x轴交于A、B两点，M′的顶点记为C，则∠ACB＝（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
8．（3分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
9．（3分）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
11．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF＝OA；
（4）AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝　 　．
14．（4分）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是　 　．

15．（4分）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为　 　cm．

16．（4分）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF是　 　．

17．（4分）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的　 　倍．
18．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是　 　（填序号）．

三.解答题：（共7个题，共90分）
19．（16分）计算：﹣22+（1﹣tan30°）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|﹣2|．
20．先化简，再求值：（x﹣y﹣）÷，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解．
21．（12分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　 　亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．
22．（12分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠BAC＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．

24．（12分）某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品．成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

26．（14分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．

2021年四川省绵阳市三台县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g＝10N/kg）（　　）
A．1.3×106J B．13×105J C．13×104J D．1.3×105J
【分析】解决此题要知道功等于力跟物体在力的方向上通过的距离的乘积，当力与距离垂直时不做功．
【解答】解：6.5t＝6500kg，
6500×2×10＝130000＝1.3×105（J），
故选：D．
3．（3分）用一把带有刻度的直角尺，
①可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）
②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）
③可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3）
④可以量出一个圆的半径，如图（4）

上述四个方法中，正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确个数．
【解答】解：①根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；
②可以画出∠AOB的平分线OP，可知正确；
③根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；
④此作法正确．
∴正确的有4个．
故选：A．
4．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．

5．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（　　）

A．10 B．4 C．3 D．5
【分析】设A点的坐标为（）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（），即（），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【解答】设 A（ ），
∴AB＝，
∵矩形 的面积为10，
∴BC＝，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形 对称中心的坐标为：（），即（）
∵对称中心在 的图象上，
∴，
∴mk﹣5m＝0，
∴m（k﹣5）＝0，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，
故选：D．
6．（3分）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
【分析】根据题意可以计算出所求式子的值．
【解答】解：由题意可得，
log5125﹣log381
＝3﹣4
＝﹣1，
故选：A．
7．（3分）将抛物线M：y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M′，若抛物线M′与x轴交于A、B两点，M′的顶点记为C，则∠ACB＝（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】想办法求出A、B、C三点坐标，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明△ACB是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：由题意抛物线M′的解析式为y＝﹣（x+2）2+3，顶点C（﹣2，3），
令y＝0，则﹣（x+2）2+3＝0，解得x＝1或﹣5，
不妨设A（﹣5，0），B（1，0），
则AC＝3，BC＝3，AB＝6，
∴AC2+BC2＝18+18＝36＝62，∵AB2＝62，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题．
【解答】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，
∴tan∠E＝，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
9．（3分）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2＝﹣a+1，
∴a3＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1，
∴2a3+a2﹣3a＝2×（2a﹣1）﹣a+1﹣3a＝4a﹣2﹣a+1﹣3a＝﹣1．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】如图，连接AC，取AC的中点O，求出OF，OE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点O，

∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝＝＝10，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝AD＝BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝4+5＝9．
故选：C．
11．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程﹣＝﹣3，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【解答】解：由关于x的不等式组得
∵有且仅有三个整数解，
∴＜x≤3，x＝1，2，或3．
∴，
∴﹣≤a＜3；
由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），
∴y＝2﹣a，
∵解为正数，且y＝1为增根，
∴a＜2，且a≠1，
∴﹣≤a＜2，且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．
故选：A．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF＝OA；
（4）AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角．
【解答】解：（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积＝△ABO的面积＝正方形ABCD的面积；
（3）正确．BE+BF＝AB＝OA；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP•OB，
AE2+CF2＝2OP•OB．
另法：AE2+CF2＝BF2+BE2＝EF2＝（PF+PE）2＝PE2+PF2+2PE•PF．
作OM⊥EF，M为垂足．
∵OE＝OF，
∴OM＝ME＝MF．
PE2+PF2＝（ME﹣MP）2+（MF+MP）2＝2（MO2+MP2）＝2OP2．
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴∠OEP＝45°＝∠PBF，
∵∠OPE＝∠FPB，
∴△OPE∽△FPB，
∴
∴PE•PF＝OP•PB，
∴AE2+CF2＝2OP2+2OP•PB＝2OP（OP+PB）＝2OP•OB．
故选：C．

二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝　3（x﹣y）2　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，
＝3（x2﹣2xy+y2），
＝3（x﹣y）2．
故答案为：3（x﹣y）2．
14．（4分）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是　8　．

【分析】连接CE、CG，先由菱形的性质得∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，则∠DCE+∠FCG＝90°，即∠ECG＝90°，然后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可．
【解答】解：连接CE、CG，如图所示：
∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，
∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，
∵∠ACD+∠BCF＝180°，
∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，
即∠ECG＝90°，
∵H是EG的中点，CH＝4，
∴EG＝2CH＝8
故答案为：8．

15．（4分）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为　10π　cm．

【分析】求出OA的长，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝2（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为10π．

16．（4分）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF是　米　．

【分析】设出大孔抛物线的解析式的一般形式y＝ax2+6，代入点A或B的坐标求得函数解析式，再由点F的纵坐标求得E、F的横坐标即可解答．
【解答】解：设大孔抛物线的解析式为y＝ax2+6，把点A（﹣10，0）代入解析式解得，
a＝﹣，
因此函数解析式为y＝﹣x2+6；
由NC＝4m，可知设点F的纵坐标为4，代入解析式y＝﹣x2+6，
解得：x＝±，
由抛物线对称性可知点E为（﹣，4），点F为（，4），
所以EF＝米．
故答案为：米．
17．（4分）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的　2　倍．
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，利用路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出y＝2x，进而可得出城际快车的平均速度是普通火车平均速度的2倍．
【解答】解：设普通火车的平均速度为x千米/小时，城际快车的平均速度为y千米/小时，则两地间的距离为2x千米，
依题意得：x+y＝2x，
解得：y＝2x，
∴＝2．
故答案为：2．
18．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b2+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1．其中正确的是　①③④⑤　（填序号）．

【分析】由对称轴大于﹣1可知①正确；当x＝﹣2时，由函数值可得出结论②错误；将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于﹣1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确，由对称轴大于﹣1可知④正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0且a﹣b+c＝2，两式相加即可判断⑤正确．
【解答】解：由﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，可知对称轴x＝﹣＞﹣1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a﹣b＜0，故①正确；
当x＝﹣2时，函数值小于0，
即4a﹣2b+c＜0，故②错误；
将点（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝2，即c＝2﹣a+b，
由图象可知对称轴x＝﹣＞﹣1得2a﹣b＜0，则（2a﹣b）2＞0，
即b2＞﹣4a2+4ab，
∴b2+8a＞8a﹣4a2+4ab＝4a（2﹣a+b）＝4ac，
故③正确；
又∵x＝﹣＞﹣1，
∴当x＞0时，函数值随x的增长而减少，故④正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，a﹣b+c＝2，
∴2a+2c＜2，即a+c＜1，故⑤正确．
故答案为①③④⑤．
三.解答题：（共7个题，共90分）
19．（16分）计算：﹣22+（1﹣tan30°）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+（1﹣）×+4+1+﹣2
＝﹣4+﹣1+4+1+﹣2
＝2﹣2．
20．先化简，再求值：（x﹣y﹣）÷，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解．
【分析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分．
【解答】解：原式＝•＝﹣x﹣y，
取二元一次方程x+2y＝7的一对整数解，如（不能取），
∴原式＝﹣（﹣1）﹣4＝﹣3．
21．（12分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．
【分析】（1）根据统计图，将2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列，再利用中位数定义求解可得；
（2）分别从2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率和2020年预计投资规模角度分析求解可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640，
∴图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，
故答案为：300；
（2）甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；
（3）列表如下：

W
G
D
R
X
W

（G，W）
（D，W）
（R，W）
（X，W）
G
（W，G）

（D，G）
（R，G）
（X，G）
D
（W，D）
（G，D）

（R，D）
（X，D）
R
（W，R）
（G，R）
（D，R）

（X，R）
X
（W，X）
（G，X）
（D，X）
（R，X）

由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率＝．
22．（12分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠BAC＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y＝解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用△BDE的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用△AEO与△EFP 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【解答】解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝k，2n＝k，
整理，得n＝2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
∴BD•EH＝（m+1）×2＝2，
所以解得m＝1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝4．
因此反比例函数的解析式为：y＝．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：
因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1．

（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当△BED∽△BPC时，＝＝，
＝，∵BF＝1，∴BH＝，
∴CH＝，
＝x+1，x＝1，
点P的坐标为（1，）；

如图3，当△BED∽△BPC时，＝，
EH＝2，BH＝1，由勾股定理，BE＝，
＝，BP＝，
＝，BF＝1，BH＝，
∴CH＝，
＝，x＝，
点P的坐标为（，）

点P的坐标为（1，）；（，）
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．

【分析】（1）由垂直的定义得到∠EDA＝90°，连接OD，则OA＝OD，得到∠1＝∠ODA，根据角平分线的定义得到∠2＝∠1＝∠ODA，根据平行线的性质得到∠BDO＝∠ACB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）由勾股定理得到AB＝＝＝10，推出△BDO∽△BCA，根据相似三角形的性质得到r＝，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
∴r＝，
在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，
∵∠3＝∠2，
∴tan∠3＝tan∠2＝．

24．（12分）某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品．成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w﹣150与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
由题意得：，
解得：．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；

（2）由题意，得﹣10x+700≥240，
解得x≤46．
设利润为w＝（x﹣30）•y
＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
解得：x1＝55，x2＝45，
∵a＝﹣10＜0，
∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．

（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
26．（14分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
【分析】（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；
（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；
②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直径，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①当AE：EC＝1：2时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝1；
当AE：EC＝2：1时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝4，
∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，
∴当t＝4时不合题意，舍去；
由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②如右图所示，
∵∠DFP＝90°，
∴∠DPF＝∠FDP＝45°，
∵∠DPF＝∠FPQ，
∴∠OPF＝90°，
∴∠DPA+∠QPB＝90°，
∵∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠PDA＝∠QPB，
∵点Q落在BC上，
∴∠DAP＝∠B＝90°，
∴△DAP∽△PBQ，
∴，
∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，
∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，
设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，
∵△AEP∽△CED，
∴，
即，
解得，a＝，
∴PQ＝，
∴，
解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，
即t的值是﹣1．