2021年江苏省无锡市新吴区新一教育集团中考数学段考试卷（3月份）

这是一份2021年江苏省无锡市新吴区新一教育集团中考数学段考试卷（3月份），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（a2）3＝a8D．a2•a3＝a5
3．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是（ ）
A．75°B．55°C．40°D．35°
5．（3分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）＝4.5
B．1.4（1+2x）＝4.5
C．1.4（1+x）2＝4.5
D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．6B．﹣6C．12D．﹣12
8．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．）
9．（2分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为 ．
10．（2分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．（2分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
13．（2分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 ．
14．（2分）如图，点E是正方形ABCD内一点，点E到点A，B和D的距离分别为1，，，延长AE与BC相交于点F，则EF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共计64分．）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
16．（6分）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程组．
17．（6分）现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0，现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y），求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．（用树状图法或列表法表示）
18．（8分）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？
19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AD＝8，DC＝5，求CE的长．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
21．（8分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
22．（8分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF，若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
（3）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于E点，经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）是否存在a和相应的x轴正半轴上一点F，使得△ACE与△ADF相似，如果存在，求出所有a的值和点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年江苏省无锡市新吴区新一教育集团中考数学段考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共计24分．）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣5的相反数是：﹣（﹣5）＝5．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a3＝a2C．（a2）3＝a8D．a2•a3＝a5
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故B选项错误；
C、（a2）3＝a6，故C选项错误；
D、a2•a3＝a5，故D选项正确．
故选：D．
3．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、三棱柱、球的俯视图，即可解答．
【解答】解：A、俯视图为圆，故错误；
B、俯视图为矩形，正确；
C、俯视图为三角形，故错误；
D、俯视图为圆，故错误；
故选：B．
4．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是（ ）
A．75°B．55°C．40°D．35°
【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠1＝75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝75°，
∴∠4＝∠1＝75°，
∵∠2+∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．
故选：C．
5．（3分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）＝4.5
B．1.4（1+2x）＝4.5
C．1.4（1+x）2＝4.5
D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5
【分析】根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2＝2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.4（1+x）2＝4.5，
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝20°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠C＝50°．
故选：D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．6B．﹣6C．12D．﹣12
【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（m，3），
∴OE＝﹣m，CE＝3，
∴OC＝＝6，
∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝6，∠BOD＝∠BOC＝30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB＝OB•tan30°＝6×＝2，
∴点D的坐标为：（﹣6，2），
∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，
∴k＝xy＝﹣12．
故选：D．
8．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△ABC中，设AB＝2a，已知∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE＝CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，设AB＝2a，
∴AC＝a，BC＝a；
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝2a；
设DE＝EC＝x，则AE＝2a﹣x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2＝x2，解得x＝；
∴AE＝，EC＝，
∴sin∠ACE＝＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．）
9．（2分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为 1.65×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1650000＝1.65×106，
故答案为：1.65×106．
10．（2分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
12．（2分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 15π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
13．（2分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠ACB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
14．（2分）如图，点E是正方形ABCD内一点，点E到点A，B和D的距离分别为1，，，延长AE与BC相交于点F，则EF的长为 ．
【分析】作BM⊥AF垂足为M，根据勾股定理逆定理得到△EMB是直角三角形，利用△ABM∽△AFB得到AF，可得结论．
【解答】解：作BM⊥AF垂足为M，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接EG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转后得到△ABG，
∴∠EAG＝∠DAB＝90°，DE＝BG＝，
∵AE＝AG＝1，
∴EG＝＝，
∵EG2+EB2＝（）2+（2）2＝10，BG2＝（）2＝10，
∴BG2＝EG2+EB2，
∴∠BEG＝90°，
∵∠AEG＝∠AGE＝45°，∠BEM+∠AEG＝90°，
∴∠BEM＝45°，
∵EB＝2，
∴ME＝MB＝2，
在Rt△ABM中，AB＝＝＝，
在△ABM和△AFB中，∠BAM＝∠BAF，∠AMB＝∠ABF，
∴△ABM∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣1＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共计64分．）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定求解可得；
（2）先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝2×+3+﹣1﹣1
＝+1+
＝2+1；
（2）原式＝•
＝2a．
16．（6分）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程组．
【分析】（1）根据解不等式的方法及步骤，去括号，移项，合并同类项求出不等式的解；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得2（x﹣1）≤3x+3．
去括号，得2x﹣2≤3x+3，
移项，得2x﹣3x≤3+2，
合并同类项，得﹣x≤5，
∴x≥﹣5．
在数轴上表示为：
（2），
由①﹣②，得﹣5x＝﹣5，
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝﹣2．
∴原方程组的解为：．
17．（6分）现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0，现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y），求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．（用树状图法或列表法表示）
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，
∴点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率为．
18．（8分）某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？
【分析】（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
（2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占25%，
故总人数有10÷25%＝40人；
（2）喜欢足球的有40×30%＝12人，
喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12＝3人，
故条形统计图补充为：
（3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多1200×＝90人．
19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AD＝8，DC＝5，求CE的长．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质可知AB＝CD＝5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE＝∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝BA＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝3．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】（1）证明：连接CO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BC，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠CEA，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AO＝2.5，即⊙O的半径为2.5．
21．（8分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
w＝w1+w2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元．
22．（8分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF，若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
（3）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值．
【分析】（1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得＝＝，∠ACE＝∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE＝∠CBF，再根据∠CAE+∠CBE＝90°，判断出∠EBF＝90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF，再根据CE、EF的关系，求出CE的长度即可．
（3）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△BCF，即可判断出＝＝，据此求出BF；然后判断出∠EBF＝90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF，进而求出k的值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴＝＝，
∵∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2）如图①，
∵△CAE∽△CBF，
∴∠CBF＝∠CAE，＝＝，
∵AE＝2，
∴BF＝，
∵∠CAE+∠CBE＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
在Rt△EBF中，EF＝＝，
∵四边形EFCG为正方形，
∴CE＝EF＝；
（3）如图②，连接BF，
∵＝，∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CEF，
∴＝，
又∠ACB＝∠ECF，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，
∵AE＝2，
∴BF＝，
∵∠EBF＝90°，
∴EF2＝BE2+BF2＝1+，
∵CE＝EF，
∴CE2＝（1+）（1+）＝9，
解得k＝或k＝﹣（不合题意，舍去）．
即k的值是．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于E点，经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）是否存在a和相应的x轴正半轴上一点F，使得△ACE与△ADF相似，如果存在，求出所有a的值和点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0解方程可以求得A点坐标，过点D作DF⊥x轴于点F，根据可以求得D点坐标，由A、D两点坐标可以求直线l的函数表达式；
（2）△ACE三边可以用含a的式子表示，根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似可以求得AF的长，从而求得F点坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），OA＝1，
过点D作DF⊥x轴于点F，则，
∴OF＝4，
当x＝4时，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A（﹣1，0），D（4，5a）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0，得y＝﹣3a，
y＝ax+a中，令x＝0，得y＝a，
∴E（0，﹣3a），C（0，a），
又∵AF＝4﹣（﹣1）＝5，
∴＝，
CE＝（﹣3a）﹣a＝﹣4，
AC＝，
，
∵△ACE与△ADF相似，
①∠DAF显然不等于∠EAC；
②若∠DAF＝∠AEC，则，
解得：，（舍去），
此时，AE＝＝2，
CE＝﹣4a＝，
AD＝＝，
∵对应边成比例且夹角相等的三角形相似，
∴或，
即或，
解得：AF＝或5，
∵A（﹣1，0），
∴F点坐标为或（4，0）；
③若∠DAF＝∠ACE，
则﹣a＝1，
∴a＝﹣1，
此时，AC＝＝，
CE＝﹣4a＝4，
AD＝5＝5，
∵对应边成比例且夹角相等的三角形相似，
∴或，
即或，
解得：AF＝20或AF＝，
又∵A（﹣1，0）
∴F点坐标为（19，0）或（），
综上所述，F点坐标为，（4，0），（19，0）或（）．