沪科版第18章 勾股定理综合与测试单元测试同步训练题

  勾股定理检测题

（本检测题满分：100分，时间：90分钟）得分

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列说法中正确的是（     ）

A.已知是三角形的三边，则

B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以

D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以

2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来

的（     ）

A.1倍           B.2倍              C.3倍            D.4倍

3.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为（     ）

A.锐角三角形       B.直角三角形    

C.钝角三角形       D.等腰直角三角形

4.如图，已知正方形B的面积为144，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积     为（     ）

A.313             B.144              C.169             D.25

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（     ）

A.6 cm           B.8.5 cm            C.cm           D.cm

6.分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（     ）

A.三内角之比为1︰2︰3              B.三边长的平方之比为1︰2︰3

  C.三边长之比为3︰4︰5              D.三内角之比为3︰4︰5

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，BC＝9，点M,N在AB上，且AM＝AC,BN＝BC，则MN的长为（     ）

  A.6               B.7                C.8                   D.9

8.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（     ）

A.6 cm          B.8 cm         C.10 cm        D.12 cm

9.如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，那么这个三角形一定是（     ）

A.锐角三角形     B.直角三角形  

C.钝角三角形     D.等腰三角形

10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为(       )

A．2a      B．2a      C．3a      D.a

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角

为直角，则所需木棒的最短长度为________.

12.在△ABC中，AB＝AC＝17 cm，BC＝16 cm，AD⊥BC于点D，则AD＝_______.

13. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4则S1+S2+S3+S4=         ．

14.如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱.

15.（2015·湖南株洲中考）　如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　　　　.

16.（2015·湖北黄冈中考）在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为        .

17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.

三、解答题（共46分）

19.（6分）（2016·湖南益阳中考）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

20.（6分）如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB＝5 km，BC＝4 km，

若每天凿隧道0.2 km，问几天才能把隧道AC凿通？

21.（6分）若三角形的三个内角的比是1︰2︰3，最短边长为1，最长边长为2.

求：（1）这个三角形各内角的度数；

（2）另外一条边长的平方.

22.（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.

23.（7分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：

a＝__________，b＝__________，c＝__________.

（2）以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？

24.（7分）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm.

求：（1）FC的长；（2）EF的长.

25.（7分）如图，在长方体中，，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？

勾股定理检测题参考答案

1.Ｃ   解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三边是不是斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；D.∠B=90°时，有b2＝a2＋c2，所以a2＋b2＝c2不成立，故D选项错误.

2.B   解析：设原直角三角形的两直角边长分别是a，b，斜边长是c，则a2＋b2＝c2，则扩大后的直角三角形两直角边长的平方和为斜边长的平方为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.

3.B   解析：在△ABC中，由AB＝6，AC＝8，BC＝10，可推出AB2＋AC2＝BC2.由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B．

4.D   解析：设三个正方形A，B，C的边长依次为a，b，c，因为三个正方形的边组成一个直角三角形，所以a2＋b2＝c2，故SA＋SB＝SC，即SA＝169－144＝25.

5.C   解析：由勾股定理可知，所以AB=13 cm,再由三角形的面积公式，有，得.

6.D   解析：在A选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B，C选项中，都符合勾股定理的条件，所以A，B，C选项中的三角形都是直角三角形.在D选项中，求出三角形的三个内角分别是45°，60°，75°，所以不是直角三角形，故选D．

7.C   解析：在Rt△ABC中，AC＝40，BC＝9，由勾股定理得AB＝41.因为BN=BC＝9，，所以.

8.C   解析：如图为圆柱的侧面展开图，

∵ 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径.

∵ （cm），

∴ （cm）．

∵ cm，∴ =100（cm），

∴ AB= 10 cm,即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm．

9.B   解析：由，

整理，得，

即，所以，

符合，所以这个三角形一定是直角三角形.

10.Ａ   解析：因为a∶b＝3∶4，所以设a＝3k，b＝4k（k＞0）.

在Rt△ABC中，∠C＝90°,由勾股定理，得a2＋b2＝c2.

因为c＝10，所以9k2＋16k2＝100，解得k＝2，所以a＝6，b＝8，

所以S△ABC＝ab＝×6×8＝24.故选A.

11.30 cm   解析：当50 cm长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长为x cm（x＞0），由勾股定理，得,解得x=30.

12.15 cm   解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线互相重合，

∴

∵ BC＝16，∴

∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB=90°.

在Rt△ADB中，∵ AB＝AC＝17，由勾股定理，得.∴ AD=15 cm．

13.108   解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为9，12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为.

14.612   解析：由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为12 ｍ,所以楼道上铺地毯的长度为5＋12＝17（ｍ）.因为楼梯宽为2 ｍ,地毯每平方米18元，所以铺完这个楼道需要的钱数为18×17×2＝612（元）.

15.6　   解析：∵ △ABH≌△BCG≌△CDF≌△DAE，∴ AH＝DE.

又∵ 四边形ABCD和EFGH都是正方形，

∴ AD=AB=10，HE=EF=2，且AE⊥DE.

∴ 在Rt△ADE中，，∴ +=

∴ +=，∴ AH=6或AH= - 8（不合题意,舍去）.

16.126或66　   解析：本题分两种情况．

（1）如图（1），在锐角△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高AD=12，

第16题答图（1）

在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得=25，∴ BD=5.在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，

由勾股定理，得=256，

∴ CD=16，∴ BC的长为BD+DC=5+16=21，

△ABC的面积=·BC·AD=×21×12=126.
（2）如图（2），在钝角△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高AD=12，

第16题答图（2）

在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得
=25，∴ BD=5.
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得
=256，∴ CD=16.∴ BC=DC-BD=16-5=11.

△ABC的面积=·BC·AD=×11×12=66.

综上，△ABC的面积是126或66.
17.49   解析：正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49 ．

18.4   解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得，所以AB=5.他们仅仅少走了（步）．

19.解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

设，∴ ．   

由勾股定理，得，

      ，

∴ ，

解得．

∴ ． 

∴ ．                   

20.解：在Rt△中，由勾股定理，得，

即，解得AC=3,或AC=－3（舍去）.

因为每天凿隧道0.2 km，

所以凿隧道用的时间为3÷0.2＝15（天）．

答：15天才能把隧道AC凿通.

21.解：（1）因为三个内角的比是1︰2︰3，

所以设三个内角的度数分别为k，2k，3k（k≠0）.

由k＋2k＋3k＝180°，得k＝30°，

所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.

（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2.

设另外一条直角边长为x，则，即.

所以另外一条边长的平方为3.

22.分析：旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．

解：设旗杆未折断部分的长为x m，则折断部分的长为（16－x）m，

根据勾股定理,得，

解得，即旗杆在离底部6 m处断裂．

23.分析：从表中的数据找到规律．

解：（1）n2－1  2n  n2＋1

（2）以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．

理由如下：

∵ a2＋b2＝（n2－1）2＋4n2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2＝c2，

∴ 以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．

24.分析：（1）因为将△翻折得到△，所以，则在Rt△中，可求得 的长，从而的长可求；

（2）由于，可设的长为，在Rt△中，利用勾股定理解直角三角形即可．

解：（1）由题意,得AF＝AD＝BC＝10 cm，

在Rt△ABF中，∠B＝90°，

∵ cm，∴ ,BF=6 cm,

∴ （cm）．
（2）由题意,得，设的长为，则.

在Rt△中，∠C＝90°，

由勾股定理,得即，

解得，即的长为5 cm．

25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形长为，宽为，

连接，则构成直角三角形.

由勾股定理,得.
蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形长为，宽为，

连接，则构成直角三角形.

由勾股定理,得,.

蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形长为宽为AB=2，连接，则构成直角三角形.

由勾股定理，得

∴ 蚂蚁从点出发穿过到达点时路程最短,最短路程是5．