初中数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理综合与测试单元测试精练

2020-2021学年沪科版数学八年级下册第十八章 勾股定理练习单元测试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB的长为(　　)

   A．5     B．6     C．8     D．10

2．下列各组数是勾股数的是(　　)

   A．6，7，8     B．1，，2     C．5，4，3     D．0.3，0.4，0.5

3．直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的，斜边长为10，则它的面积为(　　)

   A．10     B．15     C．20     D．30

4．如图，P是第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则P点的坐标为(　　)

   A．(2，2)     B．(，)     C．(2，)     D．(，2)

5．若等腰直角三角形斜边上的高为1，则它的周长是(　　)

   A．4     B．2 ＋1     C．4      D．2 ＋2

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，若∠B＝90°，则∠BCD的度数为(　　)

   A．100°     B．120°     C．135°     D．145°

7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里(1里＝500米)，问这块沙田面积有多大？则这块沙田的面积为(　　)

   A．7.5平方千米     B．15平方千米 

   C．75平方千米     D．750平方千米

8．在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，则AB边上的高是(　　)

   A．     B．     C．     D．

9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的点D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为(　　)

   A．     B．3     C．1     D．

10．四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM的较长直角边，若AM＝2 EF，则正方形ABCD的面积为(　　)

   A．14S     B．13S     C．12S     D．11S

二、填空题(每题3分，共18分)

11．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现绳子的下端刚好接触地面，则旗杆的高度是________．

12．若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__________．

13．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射后，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________．

14．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是__________．

15．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？”大意：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木头下的A点，缠绕木头7周，葛梢与木头上端B点刚好齐平(如图)．则葛藤长是________尺．(注：1丈等于10尺，葛藤缠绕木头以最短的路径向上长，误差忽略不计)

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为cm/s，若点P的运动时间为t s，则当△ABP是直角三角形时，t的值是____________．

三、解答题(17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分)

17．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．

18.如图，有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)在图①中画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；

(2)在图②中画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；

(3)在图③中画一个面积为5的等腰直角三角形；

(4)在图④中画一个一边长为2 ，面积为6的等腰三角形．

19．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两艘渔船同时出发，2小时后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离．

20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．

21．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．

(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．

(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形．

(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

22．如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.

(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；

(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

答案

一、1.C　2.C

3．B　点拨：设较短直角边长为x(x＞0)，则有x2＋(3x)2＝102，解得x＝，∴直角三角形的面积为x·3x＝15.

4．B　5.D

6．C　点拨：如图，连接AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝2 .

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°.

∵CD＝1，AD＝3，AC＝2 ，

∴AC2＋CD2＝9＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，

且∠ACD＝90°，

∴∠DCB＝90°＋45°＝135°.

7．A　点拨：由题意可得三角形沙田的三边长分别为2.5千米，6千米，6.5千米．因为2.52＋62＝6.52，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以这块沙田的面积为×6×2.5＝7.5(平方千米)，故选A.

8．A

9．A　点拨：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5.设ED＝x，则D′E＝x，AE＝4－x，在Rt△AD′E中，AD′＝AC－CD′＝2，根据勾股定理可得方程22＋x2＝(4－x)2，再解方程即可．

10．B　点拨：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝4a2＋b2.

由题意知，EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b.

∵AM＝2 EF，∴2a＝2 b，∴a＝b.

∵正方形EFGH的面积为S，∴b2＝S，

∴正方形ABCD的面积为4a2＋b2＝13b2＝13S.故选B.

二、11.12米

12．5　点拨：∵a2－6a＋9＋|b－4|＝0，∴(a－3)2＋|b－4|＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，解得a＝3，b＝4，∴该直角三角形的斜边长为＝＝5.

13.　14.　15.29

16．32或50　点拨：如图①，当∠APB＝90°时，AP⊥BC，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP＝BC＝8 cm，∴t＝8，解得t＝32；如图②，当∠PAB＝90°时，过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝8 cm，∴PE＝BP－BE＝cm.在Rt△AEC中，AE2＝AC2－CE2，∴AE＝＝6 cm.在Rt△PAB中，AP2＝BP2－AB2，在Rt△AEP中，AP2＝PE2＋AE2，∴－100＝＋36，解得t＝50.综上所述，t的值为32或50.

三、17.解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，

∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.

∴AC＝AB＝×20＝10.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10 .

18．解：(1)所画图形如图①所示．

(2)所画图形如图②所示．

(3)所画图形如图③所示．

(4)所画图形如图④所示．

19．解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，∴MP＝＝34海里．

答：P岛与M岛之间的距离为34海里．

20．解：如图，过B点作BM⊥FD于点M.

在△ACB中，

∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，

∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝20，

∴BC＝＝＝10 .

∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，∴BM＝BC＝5 ，

∴CM＝＝＝15.

在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，

∴∠DBM＝∠BDM＝45°，∴MD＝BM＝5 ，

∴CD＝CM－MD＝15－5 .

21．解：(1)锐角；钝角

(2)＞；＜

(3)∵c为最长边长，2＋4＝6，∴4≤c＜6.

a2＋b2＝22＋42＝20.

①当a2＋b2＞c2，即c2＜20时，4≤c＜2 ，

∴当4≤c＜2 时，△ABC是锐角三角形；

②当a2＋b2＝c2，即c2＝20时，c＝2 ，

∴当c＝2 时，△ABC是直角三角形；

③当a2＋b2＜c2，即c2＞20时，2 ＜c＜6，

∴当2 ＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．

22．解：(1)(3，4)；(0，1)

(2)点E能恰好落在x轴上．

∵四边形OABC为长方形，

∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，

由折叠的性质可得，DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.

如图，假设点E恰好落在x轴上．

在Rt△CDE中，

由勾股定理可得EC＝＝＝2 ，

则OE＝OC－CE＝m－2 .

在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，

即42＋(m－2 )2＝m2，

解得m＝3 .