中考冲刺-数学-第41课开放性问题

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要点梳理　　开放型问题的内涵：所谓开放型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等．　　(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；　　(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．　　对于开放型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．　　解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域．三个解题方法　　(1)条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；　　(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；　　(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．
对应巩固训练 1.　已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解　如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C； (4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°；感悟提高　　判断一个四边形是平行四边的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等，都能得到平行四边形的结论．
变式测试1　(2011·宜宾) 如图，飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：　　(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；　　(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．解　此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分．(1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连接AM、BM.(2)第一步，在Rt△AMN中，第二步，在Rt△BMN中，其中AN＝d＋BN，
2.　如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E. (1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？ [要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在 结论中，不写推理过程，写出4个结论即可．]　　(2)若∠ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形． [要求：写出 6个结论即可，其他要求同(1)．]　　解　下列结论可供选择：(1)①DE是⊙O的切线；　　②AB＝BC；　　③∠A＝∠C；　　④DE2＝BE·CE；　　⑤CD2＝CE·CB；　　⑥∠C＋∠CDE＝90°；　　⑦CE2＋DE2＝CD2.
(2)若∠ABC为直角时，　　①CE＝BE；　　②DE＝BE；　　③DE＝CE；　　④DE∥AB；　　⑤CB是⊙O的切线；　　⑥DE＝½AB；　　⑦∠A＝∠CDE＝45°； 　　⑧∠C＝∠CDE＝45°；　　⑨CB2＝CD·CA；　　
感悟提高　　寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点(尤其是运用特殊几何图形的判定和性质)：在几何中诸如相等关系(如线段相等、角相等、两角互余互补、弧相等、成比例线段、勾股弦关系等)，特殊图形(如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形等)，两图形的关系(如线段垂直、平行、三角形、全等、相似等)．变式测试2　已知△ABC内接于⊙O.(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？　(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有怎样的关系时，△ABC∽△ACD?　(3)画出符合(1)、(2)题意的两种图形，使图形的CD＝2 cm.解　(1)当点O在AB上(即O为AB的中点)时，∠ACB是直角．(2)∵∠ACB＝90°，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD.(3)以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，连接AC、BC，得△ABC即为所求；作直径为5 cm的⊙O，在直径AB上取一点D，使AD＝1 cm，BD＝4 cm，过D点作CD⊥AB交⊙O于点C，连接AC、BC即为所求；易证△ACD∽△CBD，CD2＝AD×BD＝1×4＝4，CD＝2.　　　
3.已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是________．(只需写出一个)　　答案　 或2或16　　解析　设第三个数为x，　　①由x2＝4×8，x2＝32，可知x＝　　②由42＝8·x，8x＝16，可知x＝2；　　③由82＝4·x，64＝4x，可知x＝16；　　故第三个数为 或2或16.感悟提高　　由于题中没有明确告知4、8以及所求的第三个数中，哪个数是另两数的比例中项，因此，隐含着多种确定方法．这是一种开放型试题，主要考查学生的发散思维能力．变式测试3　已知x2－ax－24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是________．(只需填一个)　　答案　±23，±10，±5，±2　　解析　利用十字相乘法对－24进行分解后再求解a.
4.　已知点A(1，2)和B(－2，5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．　　解　解法一：　设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，2)，B(－2，5)，　　　　②－①，得3a－3b＝3，即a＝b＋1.　　设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1，　　故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1.　　又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1，　　故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.解法二：因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C(0，0)，用同样的方法可以求出另一个二次函数．
感悟提高　　本题也是一道开放型试题，解题入口宽，但如何用简洁的方法来做，这就体现了不同学生的思维层次，这是一道既考查基本方法又体现灵活性的题目．变式测试4　已知一次函数y＝－x－4和反比例函数y＝(k≠0)．(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为A、B，试问∠AOB是锐角还是钝角？为什么？　　解　(1)解两个函数关系式构成的方程组，　　　　　　(2)当090°，是钝角．