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2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
2．（4分）如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）2021年1月29日4时47分，我国长征四号丙火箭将3颗遥感三十一号卫星送入高度约为1100公里、与赤道存在63.4度倾角的轨道，发射任务取得圆满成功，数据1100用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×102 B．1.1×103 C．1.1×104 D．11×102
4．（4分）甲、乙和丙三位同学排成一排照相，则甲同学在乙丙之间的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（ ）
A．122° B．120° C．117° D．116°
6．（4分）山茶花是温州市的市花，品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表．
株数（株）
7
9
12
2
花径（cm）
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的中位数为（ ）
A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm
7．（4分）如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．18tanα米 B．（18sinα+1.6）米
C．（+1.6）米 D．（18tanα+1.6）米
8．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
10．（4分）勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣2a+1＝ ．
12．（5分）不等式组的解集为 ．
13．（5分）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 人．
14．（5分）半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 ．
15．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
16．（5分）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示．已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+|﹣|﹣40．
（2）解方程：+＝3．
18．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
19．（8分）今年3月5日是第58个“学习雷锋纪念日”，某校组织七、八年级全体学生开展“学习雷锋知识竞赛活动”．为了解竞赛成绩情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级80，80，85，85，90，90，90，95，95，100；八年级80，85，85，90，90，90，90，95，95，100．分析数据如表：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
a
90
90
39
八年级
90
90
b
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）求出表格中a，b的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
20．（8分）如图，在4×4的方格纸MNOP中，请在所给网格中按要求画格点四边形（顶点都在格点上，且均不与点M，N，O，P重合）．
（1）在图1中画格点四边形ABCD，使点A，B，C，D分别落在MN，NO，OP，PM上，且对角线AC＝BD，AC不垂直BD．
（2）在图2中画格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在MN，NO，OP，PM上，设它的两条对角线的夹角为α，且tanα＝2．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴．
（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
23．（12分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
24．（14分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．
（1）求证：＝．
（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．
（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．
2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
【分析】原式利用除法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣8÷2
＝﹣4．
故选：A．
2．（4分）如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．
故选：C．
3．（4分）2021年1月29日4时47分，我国长征四号丙火箭将3颗遥感三十一号卫星送入高度约为1100公里、与赤道存在63.4度倾角的轨道，发射任务取得圆满成功，数据1100用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×102 B．1.1×103 C．1.1×104 D．11×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1100＝1.1×103．
故选：B．
4．（4分）甲、乙和丙三位同学排成一排照相，则甲同学在乙丙之间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，甲同学在乙丙之间的结果有2个，
∴甲同学在乙丙之间的概率为＝，
故选：D．
5．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（ ）
A．122° B．120° C．117° D．116°
【分析】先根据圆周角定理得到∠D，然后根据根据圆内接四边形的性质得到结论．
【解答】解：∵∠AOC＝116°，
∴∠D＝∠AOC＝58°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝112°，
故选：A．
6．（4分）山茶花是温州市的市花，品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表．
株数（株）
7
9
12
2
花径（cm）
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的中位数为（ ）
A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这批“金心大红”花径的中位数为＝6.6（cm），
故选：B．
7．（4分）如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．18tanα米 B．（18sinα+1.6）米
C．（+1.6）米 D．（18tanα+1.6）米
【分析】根据实际问题，得到BE＝18米，DE＝1.60米，易得四边形DEBC为矩形，则BC＝DE＝1.60m，CD＝BE＝18m，在Rt△ADC中根据正切的定义得到AC＝18tanα，然后利用AB＝AC+BC进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意知，BE＝18米，DE＝1.60米，
四边形DEBC为矩形，BC＝DE＝1.60m，CD＝BE＝18m，
在Rt△ADC中，
∵tan∠α＝，
∴AC＝18tanα，
∴AB＝AC+BC＝（18tanα+1.60）米，
故选：D．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BF＝BE，利用勾股定理求得BF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝＝＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，
可得：﹣x2+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
10．（4分）勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝2AC＝2a，根据勾股定理表示出AB的长，可得△AKI∽△ACB，最后利用相似三角形对应边成比例可得答案．
【解答】解：如图所示，
设BC＝2AC＝2a，
由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝C＝BC＝2a，
由勾股定理可得，AB＝，
∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，
∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，
∴△AKI∽△ACB，
∴，
∴IK＝，
∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝（），
∴AK＝，
∵△AEJ∽△BCA，
∴，
∴AJ＝，
∵△ABC∽△HIN，
∴，
∴，
∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，
∴，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣2a+1＝ （a﹣1）2 ．
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把原式化为积的形式．
【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
12．（5分）不等式组的解集为 x＞1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式3﹣2x＜1，得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
13．（5分）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 11 人．
【分析】根据直方图给出的数据，把抽查到的家庭每月开支在225元及以上的人数相加即可得出答案．
【解答】解：抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11（人）．
故答案为：11．
14．（5分）半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 2π ．
【分析】根据弧长公式l＝进行计算即可．
【解答】解：半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：l＝＝2π，
故答案为：2π．
15．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，证明△AOD≌△BAE，可得OD＝AE，AD＝BE，再根据tanB＝，可得tan∠AOD＝，即＝，设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，可得A（3a，a），B（2a，4a），C（2a，a），再根据△ABC的面积为1，建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，
∵线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，
∴∠OAB＝∠OAD＝∠E＝90°，OA＝AB，
∴∠OAD+∠BAE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠BAE，
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴OD＝AE，AD＝BE，
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠AOD，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，
∴DE＝AD+AE＝4a，
∴A（3a，a），B（2a，4a），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3a•a＝3a2，
∵点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴C（2a，a），
∴BC＝4a﹣a＝a，
∵△ABC的面积为1，
∴BC•BE＝1，即×a×a＝1，
∴a2＝，
∴k＝3a2＝3×＝，
故答案为：．
16．（5分）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示．已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2）cm，则AA1＝ 2 cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2．
【分析】如图，设圆心为OM连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H．设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝xcm．想办法求出x2，可得结论．
【解答】解：如图，设圆心为OM连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H．设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝xcm．
设正八边形的边长为mcm，
则有4+2＝m+m+m，
∴m＝2，
∴A1A2＝2（cm），AA1＝2（cm），
在Rt△HA1A2中，A1A22＝A1H2+A2H2，
∴8＝（x）2+（x﹣x）2，
∴x2＝8+4，
∴S弓形＝﹣×x×x＝（cm2），
故答案为：2，．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+|﹣|﹣40．
（2）解方程：+＝3．
【分析】（1）直接根据实数的运算法则计算即可；
（2）先变同分母，再根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1＝3﹣1；
（2）由题意得＝3，
∴x﹣2＝3x﹣3，
∴x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝．
18．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
【分析】（1）根据AB＝CD，可得AC＝BD．利用SAS即可证明结论；
（2）由（1）知△ACE≌△DBF，可得∠ACE＝∠DBF．再根据直角三角形的性质即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC．
∴AC＝BD．
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS）；
（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF．
∵BF⊥CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∴∠HBC＝∠HCB＝45°．
19．（8分）今年3月5日是第58个“学习雷锋纪念日”，某校组织七、八年级全体学生开展“学习雷锋知识竞赛活动”．为了解竞赛成绩情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级80，80，85，85，90，90，90，95，95，100；八年级80，85，85，90，90，90，90，95，95，100．分析数据如表：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
a
90
90
39
八年级
90
90
b
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）求出表格中a，b的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数和众数的定义求解即可；
（2）从平均数、中位数及方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）a＝×（80×2+85×2+90×3+95×3+100）＝89，b＝90；
（2）七，八年级学生成绩的中位数与众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，
∴八年级学生成绩较好．
20．（8分）如图，在4×4的方格纸MNOP中，请在所给网格中按要求画格点四边形（顶点都在格点上，且均不与点M，N，O，P重合）．
（1）在图1中画格点四边形ABCD，使点A，B，C，D分别落在MN，NO，OP，PM上，且对角线AC＝BD，AC不垂直BD．
（2）在图2中画格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在MN，NO，OP，PM上，设它的两条对角线的夹角为α，且tanα＝2．
【分析】（1）周长相等的线段AC，BD，即可解决问题．
（2）作出满足条件的对角线EG，FH，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图2中，四边形EFGH即为所求作（答案不唯一）．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴．
（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
【分析】（1）把（﹣2，0），（6，0）代入二次函数y＝ax2+bx+6中，解二元一次方程组即可求出a、b，从而求出二次函数表达式，并由对称轴x＝﹣求出对称轴；
（2）抛物线的对称性和已知条件，设BP＝m，CP＝5m，BD＝CD＝m+2，求出m＝1，得出点C的横坐标为5，再把5代入抛物线即可．
【解答】（1）解：将A，B两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
对称轴为：x＝2．
（2）设BC与对称轴交于点D，则PD＝2，
由抛物线的对称性可知BD＝CD，
令BP＝m，则BD＝CD＝m+2．
∵PC＝5PB，
∴m+2+2＝5m，
∴m＝1即点C的横坐标为5，
∴点P的纵坐标＝点C的纵坐标＝﹣×52+2×5+6＝3.5．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠ECH＝∠BCH，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，即∠BCH+∠ACH＝90°，利用垂径定理易得CD⊥AB，即∠CAO+∠ACH＝90°，等量代换可得结果；
（2）由折叠的性质可得∠B＝∠CEB，EH＝BH，利用圆周角定理可得∠B＝∠AMC，定量代换可得∠AMC＝∠AEM，易得AE＝AM＝10，又因为OC＝OA，可得3+OH＝13﹣OH，可得OH，利用边角关系可得结果．
【解答】（1）证明：连接CO，
由翻折可知∠ECH＝∠BCH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCH+∠ACH＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAO+∠ACH＝90°，
∴∠BCH＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠ECH＝∠ACO，
即∠ACE+∠ECO＝∠DCO+∠ECO，
∴∠ACE＝∠DCO．
（2）解：连接CO，
由翻折可知∠B＝∠CEB，EH＝BH，
∵∠B＝∠AMC，∠CEB＝∠AEM，
∴∠AMC＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10，
∴OC＝OA＝13，
∴3+OH＝13﹣OH，
∴OH＝5，
∴sin∠ACE＝sin∠DCO＝．
23．（12分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+200；
（2）日销售利润w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）由题意得﹣2x+200≥68，
∴x≤66，
日销量利润w＝（﹣2x+200）（x﹣40）﹣m（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（2m+280）x﹣8000﹣200m
∵m＞0，
∴对称轴x＝＞70．
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≤66＜70，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝66时，w有最大值（﹣2×66+200）（66﹣40﹣m），
∴68（26﹣m）＝1360，
∴m＝6．
24．（14分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．
（1）求证：＝．
（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．
（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明∠AED＝∠ACO＝∠BCD，则△BCD∽△AED，即可求解；
（2）证明AF∥DC，则，而，进而求解；
（3）当点E在线段OA上时，n＝1﹣2m，则，即可求解；当点E在x轴负半轴时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意知OA＝OB＝1，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°．
∵DE⊥AC，
∴∠AED+∠EAC＝90°．
∵∠ACO+∠EAC＝90°，
∴∠AED＝∠ACO＝∠BCD，
∴△BCD∽△AED，
∴＝；
（2）如图，连接AF，由题意可知AF＝AC，
∴∠AFC＝∠ACF＝∠BCD，
∴AF∥DC，
∴．
∵，
∴AE＝CF．
又∵AO⊥CF，
∴OF＝CO＝m，
即AE＝CF＝2m，
∴n+2m＝1，
∴n＝1﹣2m；
（3）存在，理由：
如上图，过点C作CH⊥AB于H，
则有CH＝BH＝BCcos45°＝（1﹣m），
由（1）可知AB＝，即AH＝AB﹣BH＝（1+m），
∴tan∠BAC＝．
∵∠ECO＝∠BAC，
∴＝tan∠ECO＝tan∠BAC＝，
即．
当点E在线段OA上时，n＝1﹣2m，
∴，
∴解得m＝﹣1+（舍去负值），
∴OC＝﹣1．
当点E在x轴负半轴时，
同理可得n＝2m﹣1，
∴，
解得m＝（舍去负值），
∴OC＝，
综上所述，OC的长为﹣1或．
2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
2．（4分）如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）2021年1月29日4时47分，我国长征四号丙火箭将3颗遥感三十一号卫星送入高度约为1100公里、与赤道存在63.4度倾角的轨道，发射任务取得圆满成功，数据1100用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×102 B．1.1×103 C．1.1×104 D．11×102
4．（4分）甲、乙和丙三位同学排成一排照相，则甲同学在乙丙之间的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（ ）
A．122° B．120° C．117° D．116°
6．（4分）山茶花是温州市的市花，品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表．
株数（株）
7
9
12
2
花径（cm）
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的中位数为（ ）
A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm
7．（4分）如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．18tanα米 B．（18sinα+1.6）米
C．（+1.6）米 D．（18tanα+1.6）米
8．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
10．（4分）勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣2a+1＝ ．
12．（5分）不等式组的解集为 ．
13．（5分）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 人．
14．（5分）半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 ．
15．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
16．（5分）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示．已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+|﹣|﹣40．
（2）解方程：+＝3．
18．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
19．（8分）今年3月5日是第58个“学习雷锋纪念日”，某校组织七、八年级全体学生开展“学习雷锋知识竞赛活动”．为了解竞赛成绩情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级80，80，85，85，90，90，90，95，95，100；八年级80，85，85，90，90，90，90，95，95，100．分析数据如表：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
a
90
90
39
八年级
90
90
b
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）求出表格中a，b的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
20．（8分）如图，在4×4的方格纸MNOP中，请在所给网格中按要求画格点四边形（顶点都在格点上，且均不与点M，N，O，P重合）．
（1）在图1中画格点四边形ABCD，使点A，B，C，D分别落在MN，NO，OP，PM上，且对角线AC＝BD，AC不垂直BD．
（2）在图2中画格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在MN，NO，OP，PM上，设它的两条对角线的夹角为α，且tanα＝2．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴．
（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
23．（12分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
24．（14分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．
（1）求证：＝．
（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．
（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．
2021年浙江省温州市龙港市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
【分析】原式利用除法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣8÷2
＝﹣4．
故选：A．
2．（4分）如图所示的一个六角螺帽毛坯底面正六边形的边长、高和内孔直径都相等，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，是一行三个矩形，中间的矩形的长较大，两边的矩形相同．
故选：C．
3．（4分）2021年1月29日4时47分，我国长征四号丙火箭将3颗遥感三十一号卫星送入高度约为1100公里、与赤道存在63.4度倾角的轨道，发射任务取得圆满成功，数据1100用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×102 B．1.1×103 C．1.1×104 D．11×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1100＝1.1×103．
故选：B．
4．（4分）甲、乙和丙三位同学排成一排照相，则甲同学在乙丙之间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，甲同学在乙丙之间的结果有2个，
∴甲同学在乙丙之间的概率为＝，
故选：D．
5．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（ ）
A．122° B．120° C．117° D．116°
【分析】先根据圆周角定理得到∠D，然后根据根据圆内接四边形的性质得到结论．
【解答】解：∵∠AOC＝116°，
∴∠D＝∠AOC＝58°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝112°，
故选：A．
6．（4分）山茶花是温州市的市花，品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表．
株数（株）
7
9
12
2
花径（cm）
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的中位数为（ ）
A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这批“金心大红”花径的中位数为＝6.6（cm），
故选：B．
7．（4分）如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（ ）
A．18tanα米 B．（18sinα+1.6）米
C．（+1.6）米 D．（18tanα+1.6）米
【分析】根据实际问题，得到BE＝18米，DE＝1.60米，易得四边形DEBC为矩形，则BC＝DE＝1.60m，CD＝BE＝18m，在Rt△ADC中根据正切的定义得到AC＝18tanα，然后利用AB＝AC+BC进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意知，BE＝18米，DE＝1.60米，
四边形DEBC为矩形，BC＝DE＝1.60m，CD＝BE＝18m，
在Rt△ADC中，
∵tan∠α＝，
∴AC＝18tanα，
∴AB＝AC+BC＝（18tanα+1.60）米，
故选：D．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BF＝BE，利用勾股定理求得BF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝＝＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，
可得：﹣x2+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
10．（4分）勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BC＝2AC＝2a，根据勾股定理表示出AB的长，可得△AKI∽△ACB，最后利用相似三角形对应边成比例可得答案．
【解答】解：如图所示，
设BC＝2AC＝2a，
由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝C＝BC＝2a，
由勾股定理可得，AB＝，
∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，
∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，
∴△AKI∽△ACB，
∴，
∴IK＝，
∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝（），
∴AK＝，
∵△AEJ∽△BCA，
∴，
∴AJ＝，
∵△ABC∽△HIN，
∴，
∴，
∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，
∴，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣2a+1＝ （a﹣1）2 ．
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把原式化为积的形式．
【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
12．（5分）不等式组的解集为 x＞1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式3﹣2x＜1，得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
13．（5分）某城市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到如图所示的频数直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），则抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有 11 人．
【分析】根据直方图给出的数据，把抽查到的家庭每月开支在225元及以上的人数相加即可得出答案．
【解答】解：抽查到的家庭每月开支在225元及以上的有：7+3+1＝11（人）．
故答案为：11．
14．（5分）半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 2π ．
【分析】根据弧长公式l＝进行计算即可．
【解答】解：半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：l＝＝2π，
故答案为：2π．
15．（5分）如图，在直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，过点B向下作x轴的垂线，交该反比例函数图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1，tanB＝，则k的值为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，证明△AOD≌△BAE，可得OD＝AE，AD＝BE，再根据tanB＝，可得tan∠AOD＝，即＝，设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，可得A（3a，a），B（2a，4a），C（2a，a），再根据△ABC的面积为1，建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E，
∵线段OA绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB，
∴∠OAB＝∠OAD＝∠E＝90°，OA＝AB，
∴∠OAD+∠BAE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠BAE，
∴△AOD≌△BAE（AAS），
∴OD＝AE，AD＝BE，
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠AOD，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
设AD＝a（a＞0），则OD＝3a，BE＝a，AE＝3a，
∴DE＝AD+AE＝4a，
∴A（3a，a），B（2a，4a），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3a•a＝3a2，
∵点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴C（2a，a），
∴BC＝4a﹣a＝a，
∵△ABC的面积为1，
∴BC•BE＝1，即×a×a＝1，
∴a2＝，
∴k＝3a2＝3×＝，
故答案为：．
16．（5分）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示．已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2）cm，则AA1＝ 2 cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2．
【分析】如图，设圆心为OM连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H．设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝xcm．想办法求出x2，可得结论．
【解答】解：如图，设圆心为OM连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H．设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝xcm．
设正八边形的边长为mcm，
则有4+2＝m+m+m，
∴m＝2，
∴A1A2＝2（cm），AA1＝2（cm），
在Rt△HA1A2中，A1A22＝A1H2+A2H2，
∴8＝（x）2+（x﹣x）2，
∴x2＝8+4，
∴S弓形＝﹣×x×x＝（cm2），
故答案为：2，．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+|﹣|﹣40．
（2）解方程：+＝3．
【分析】（1）直接根据实数的运算法则计算即可；
（2）先变同分母，再根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1＝3﹣1；
（2）由题意得＝3，
∴x﹣2＝3x﹣3，
∴x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝．
18．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
【分析】（1）根据AB＝CD，可得AC＝BD．利用SAS即可证明结论；
（2）由（1）知△ACE≌△DBF，可得∠ACE＝∠DBF．再根据直角三角形的性质即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC．
∴AC＝BD．
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS）；
（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF．
∵BF⊥CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∴∠HBC＝∠HCB＝45°．
19．（8分）今年3月5日是第58个“学习雷锋纪念日”，某校组织七、八年级全体学生开展“学习雷锋知识竞赛活动”．为了解竞赛成绩情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级80，80，85，85，90，90，90，95，95，100；八年级80，85，85，90，90，90，90，95，95，100．分析数据如表：
平均数
中位数
众数
方差
七年级
a
90
90
39
八年级
90
90
b
30
根据以上信息回答下列问题：
（1）求出表格中a，b的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数和众数的定义求解即可；
（2）从平均数、中位数及方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）a＝×（80×2+85×2+90×3+95×3+100）＝89，b＝90；
（2）七，八年级学生成绩的中位数与众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，
∴八年级学生成绩较好．
20．（8分）如图，在4×4的方格纸MNOP中，请在所给网格中按要求画格点四边形（顶点都在格点上，且均不与点M，N，O，P重合）．
（1）在图1中画格点四边形ABCD，使点A，B，C，D分别落在MN，NO，OP，PM上，且对角线AC＝BD，AC不垂直BD．
（2）在图2中画格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在MN，NO，OP，PM上，设它的两条对角线的夹角为α，且tanα＝2．
【分析】（1）周长相等的线段AC，BD，即可解决问题．
（2）作出满足条件的对角线EG，FH，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图2中，四边形EFGH即为所求作（答案不唯一）．
21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴．
（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
【分析】（1）把（﹣2，0），（6，0）代入二次函数y＝ax2+bx+6中，解二元一次方程组即可求出a、b，从而求出二次函数表达式，并由对称轴x＝﹣求出对称轴；
（2）抛物线的对称性和已知条件，设BP＝m，CP＝5m，BD＝CD＝m+2，求出m＝1，得出点C的横坐标为5，再把5代入抛物线即可．
【解答】（1）解：将A，B两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
对称轴为：x＝2．
（2）设BC与对称轴交于点D，则PD＝2，
由抛物线的对称性可知BD＝CD，
令BP＝m，则BD＝CD＝m+2．
∵PC＝5PB，
∴m+2+2＝5m，
∴m＝1即点C的横坐标为5，
∴点P的纵坐标＝点C的纵坐标＝﹣×52+2×5+6＝3.5．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠ECH＝∠BCH，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，即∠BCH+∠ACH＝90°，利用垂径定理易得CD⊥AB，即∠CAO+∠ACH＝90°，等量代换可得结果；
（2）由折叠的性质可得∠B＝∠CEB，EH＝BH，利用圆周角定理可得∠B＝∠AMC，定量代换可得∠AMC＝∠AEM，易得AE＝AM＝10，又因为OC＝OA，可得3+OH＝13﹣OH，可得OH，利用边角关系可得结果．
【解答】（1）证明：连接CO，
由翻折可知∠ECH＝∠BCH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCH+∠ACH＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAO+∠ACH＝90°，
∴∠BCH＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠ECH＝∠ACO，
即∠ACE+∠ECO＝∠DCO+∠ECO，
∴∠ACE＝∠DCO．
（2）解：连接CO，
由翻折可知∠B＝∠CEB，EH＝BH，
∵∠B＝∠AMC，∠CEB＝∠AEM，
∴∠AMC＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10，
∴OC＝OA＝13，
∴3+OH＝13﹣OH，
∴OH＝5，
∴sin∠ACE＝sin∠DCO＝．
23．（12分）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表．
售价（元/件）
45
50
60
日销售量（件）
110
100
80
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元．
（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元（m＞0），要想在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，求m的值．（每件销售利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+200；
（2）日销售利润w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）由题意得﹣2x+200≥68，
∴x≤66，
日销量利润w＝（﹣2x+200）（x﹣40）﹣m（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（2m+280）x﹣8000﹣200m
∵m＞0，
∴对称轴x＝＞70．
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵x≤66＜70，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝66时，w有最大值（﹣2×66+200）（66﹣40﹣m），
∴68（26﹣m）＝1360，
∴m＝6．
24．（14分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．
（1）求证：＝．
（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．
（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明∠AED＝∠ACO＝∠BCD，则△BCD∽△AED，即可求解；
（2）证明AF∥DC，则，而，进而求解；
（3）当点E在线段OA上时，n＝1﹣2m，则，即可求解；当点E在x轴负半轴时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意知OA＝OB＝1，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°．
∵DE⊥AC，
∴∠AED+∠EAC＝90°．
∵∠ACO+∠EAC＝90°，
∴∠AED＝∠ACO＝∠BCD，
∴△BCD∽△AED，
∴＝；
（2）如图，连接AF，由题意可知AF＝AC，
∴∠AFC＝∠ACF＝∠BCD，
∴AF∥DC，
∴．
∵，
∴AE＝CF．
又∵AO⊥CF，
∴OF＝CO＝m，
即AE＝CF＝2m，
∴n+2m＝1，
∴n＝1﹣2m；
（3）存在，理由：
如上图，过点C作CH⊥AB于H，
则有CH＝BH＝BCcos45°＝（1﹣m），
由（1）可知AB＝，即AH＝AB﹣BH＝（1+m），
∴tan∠BAC＝．
∵∠ECO＝∠BAC，
∴＝tan∠ECO＝tan∠BAC＝，
即．
当点E在线段OA上时，n＝1﹣2m，
∴，
∴解得m＝﹣1+（舍去负值），
∴OC＝﹣1．
当点E在x轴负半轴时，
同理可得n＝2m﹣1，
∴，
解得m＝（舍去负值），
∴OC＝，
综上所述，OC的长为﹣1或．
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