初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试导学案

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试导学案，共6页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。

要求熟悉并掌握第一章基础知识，并会灵活应用
教学重点
第一章的直角三角形，等腰、等边三角形的性质
教学难点
三角形性质与角平分线、垂直平分线的综合应用，不等式解不等式应用题
知识详解
三角形证明
先来试一试
1、已知：如图，ＡＮ⊥ＯＢ，ＢＭ⊥ＯＡ，垂足分别为Ｎ、Ｍ，ＯＭ＝ＯＮ，ＢＭ与ＡＮ相交于点Ｐ。求证：ＰＭ＝ＰＮ
定理的内容、用途
全等三角形的性质
内容：三角形全等的对应边相等、对应角相等。
用途：证明两个三角形中，两个角或两条线段相等。
注意：一定要“对应相等”；书写时对应顶点对应着写
【典型例题】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=12cm，则△DEB的周长为（ ）
A、6cm B、8cm C、12cm D、24cm

1、三角形全等的判定
三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）
公理 两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）
【典型例题】如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS


1、等腰三角形性质定理
内容：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。“三线合一”
用途：证明同一个三角形中，两个角相等
方法：经常作高、中线或角平分线等辅助线，利用三角形全等来证明
【典型例题】如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且， 则∠A 的度数为（ ）
A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°
4、等腰三角形的判定定理
内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
用途：同一个三角形中，证明两条边相等
【典型例题】已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD， AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD

扩展：在一个三角形中，较大的角所对的边较大，较小的角所对的边较小。（大角对大边，小角对小边）
等边三角形的性质定理
内容：所有等腰三角形的性质
等边三角形的三边相等，三角相等都是60°
用途：同一个三角形中，两条边相等，两角相等
【典型例题】如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________，_________.
1、等边三角形的判定
方法：定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
定义：三边相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有两个角为60°的三角形是等边三角形
【典型例题】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，CD=CF，且∠F=30°，求证：△ABC是等边三角形。
1、直角三角形性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
用途：确定线段长度数量关系
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长。

8、直角三角形的判定定理
内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
用途：证直角三角形或垂直关系
【典型例题】若，则以a，b,c为边的三角形是 三角形
线段垂直平分线的性质定理
内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．（外心）
用途：证明两条线段相等
【典型例题】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm， cm，那么△的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
10、线段垂直平分线的判定定理
内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
用途：证直角三角形或垂直关系
【典型例题】AB=AC,DB=DC,E是AD上一点，求证 ：BE=CE

11、角平分线的性质定理
内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）
用途：证明两条线段相等
【典型例题】如图，在△ABC中，，AM平分∠， cm，则点M到AB的距离是
12、角平分线的判定定理
内容：在一个角的内部，且到角的 两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
用途：证明两个角相等
【典型例题】如图，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是点E,F.BE,CF 交于点D，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等(外心)
到三角形三边的距离相等（内心）


随堂检测
一、填空题
1、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是 度.
2、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是___．
3、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分为15cm和12cm的两部分，则底边长为____．
4、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充
一个条件 .
5、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，则∠C=
6、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm， 则∠ADC的度数是 度.
7、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为 . .
8、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52cm2和42cm2，则直角三角形的两条直角边的和是 cm.
二、证明题
1、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE＝CD．
求证：BD＝DE.
2、求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等角也不相等
3、如图，在四边形中，，平分∠.求证：.
1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，
. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分
交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出的
周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，
BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；
③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：
命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：
图21
4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的
平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.
求证：.
5．（8分）如图22，在中，.
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.
（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.
图23
6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶
点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问
PC与PD相等吗？试说明理由.