2021年辽宁省鞍山市铁西区中考数学质检试卷（3月份）（Word版 含解析）

这是一份2021年辽宁省鞍山市铁西区中考数学质检试卷（3月份）（Word版 含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图放置的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝10﹣6毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ ）
A．102个B．104个C．106个D．108个
3．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．73°
4．下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4B．2x3•3x3＝6x3
C．2a÷2a﹣2＝a3D．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70B．1.65、1.75C．1.70、1.75D．1.70、1.70
7．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．3B．2C．2D．4
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．分解因式：﹣2a3+2a＝ ．
10．关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的范围 ．
11．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
12．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为 L．
13．如图，等腰Rt△ABP的斜边AB＝2，点M、N在斜边AB上．若△PMN是等腰三角形且底角正切值为2，则MN＝ ．
14．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，E为AD边中点，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CEF，延长EF分别交AB、CB延长线于N、G两点，连接AF，延长AF交CB边于点H，则下列结论正确的有 ．（填序号即可）
①四边形AHCE为平行四边形；②sin∠FCG＝；③＝；④＝．
16．如图，等边三角形ABC的边长为2，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按此规律进行下去，点A2021的坐标是 ．
三、解答题：（共102分）
17．先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
18．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点P（1，﹣1）为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△A′B′C′，并写出线段BC扫过的面积．
19．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下五种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．跳舞；D．演讲；E．书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）求扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数．
（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程D的学生约有多少人．
20．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是 ；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
21．如图，小岛A在港口P的南偏西37°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发．
（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
22．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
23．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
25．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
（1）求证：FG＝AE；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，若，GF＝2，求CP的长．
26．如图（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0）与y轴交于点C，连接BC，连接AC，点P是抛物线一点且位于直线BC上方，作PM平行于y轴交BC于点M．
（1）求抛物线解析式并直接写出直线BC解析式；
（2）求PM+MC的最大值及点P坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点N，使∠CNB＝∠CAB，若存在请直接写出点N坐标；若不存在请说出理由．
参考答案
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．如图放置的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
故选：C．
2．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝10﹣6毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ ）
A．102个B．104个C．106个D．108个
解：100×10﹣6＝10﹣4；＝104个．
故选：B．
3．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．73°
解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，
∴∠2＝∠ABC＝54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝54°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4B．2x3•3x3＝6x3
C．2a÷2a﹣2＝a3D．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
解：A.3x2+4x2＝7x2，故本选项不合题意；
B.2x3•3x3＝6x6，故本选项不合题意；
C.2a÷2a﹣2＝a3，故本选项符合题意；
D．（﹣a2b）3＝a6b3，故本选项不合题意．
故选：C．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
故选：A．
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70B．1.65、1.75C．1.70、1.75D．1.70、1.70
解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．3B．2C．2D．4
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB＝，AC＝，
∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，
在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC1＝＝＝3，
故选：A．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
解：当点Q在AC上时，
∵∠A＝30°，AP＝x，
∴PQ＝xtan30°＝，
∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，
∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，
∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．
∴＝＝．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．分解因式：﹣2a3+2a＝ ﹣2a（a+1）（a﹣1） ．
解：原式＝﹣2a（a2﹣1）
＝﹣2a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：﹣2a（a+1）（a﹣1）．
10．关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的范围 m＜1且m≠0 ．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
11．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 4 ．
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．
故答案为：4．
12．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为 3.75 L．
解：由图象可得，
每分钟的进水量为：20÷4＝5（L），
每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝5﹣10÷8＝5﹣1.25＝3.75（L），
故答案为：3.75．
13．如图，等腰Rt△ABP的斜边AB＝2，点M、N在斜边AB上．若△PMN是等腰三角形且底角正切值为2，则MN＝ 1或 ．
解：如图1中，当PM＝PN时，过点P作PH⊥AB于H．
∵PA＝PB，∠APB＝90°，PH⊥AB，
∴AH＝BH＝1，
∴PH＝HA＝HB＝1，
∵tan∠PMN＝2＝，
∴MH＝NH＝，
∴MN＝1．
如图2中，当MP＝MN时，设MP＝MN＝x．
∵tan∠MNP＝＝2，
∴NH＝，
在Rt△PHM中，则有x2＝（x﹣）2+12，
解得x＝，
∴MN＝，
当NP＝NM时，同法可得MN＝，
综上所述，满足条件的MN的值为1或．
14．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为 ﹣32 ．
解：∵A（﹣3，4），
∴OC＝＝5，
∴CB＝OC＝5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5＝﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入y＝得，4＝，
解得：k＝﹣32．
故答案是：﹣32．
15．如图，在正方形ABCD中，E为AD边中点，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CEF，延长EF分别交AB、CB延长线于N、G两点，连接AF，延长AF交CB边于点H，则下列结论正确的有 ①②④ ．（填序号即可）
①四边形AHCE为平行四边形；②sin∠FCG＝；③＝；④＝．
解：如图，连接DF，过点F作PQ⊥AD，交AD于P，交BC于Q，
∵将△CDE沿CE翻折，
∴EF＝DE，CF＝CD，∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴EC垂直平分DF，
∴EC⊥DF，FM＝DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝CD，
∵E为AD边中点，
∴AE＝DE，
又∵DM＝FM，
∴EM∥AF，
∴四边形AECH是平行四边形，故①正确；
设AE＝DE＝a，则EF＝a，AD＝CD＝BC＝2a，
∴EC＝＝＝a，
∵S△DEC＝×DC×DE＝×EC×DM，
∴a•2a＝a•DM，
∴DM＝a，
∴DF＝a，
∵∠DCE+∠DEC＝90°＝∠DEC+∠EDM，
∴∠DCE＝∠EDM，
又∵∠DPF＝∠CDE＝90°，
∴△DEC∽△PFD，
∴，
∴，
∴PF＝a，PD＝a，
∴PE＝a，
∴sin∠PFE＝＝，
∵PQ⊥AD，AD∥BC，
∴PQ⊥CB，
∴∠FCG+∠QFC＝90°＝∠PFE+∠QFC，
∴∠PFE＝∠FCG，
∴sin∠FCG＝，故②正确；
∵PQ⊥AD，PQ⊥CB，∠BCD＝90°，
∴四边形DCQP是矩形，
∴PQ＝CD＝2a，
∴FQ＝a，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△HGF，
∴＝（）2＝，故③错误；
∵△AEF∽△HGF，
∴，
∴，
∴GH＝a，
∴GB＝，
∵AD∥BC，
∴△ANE∽△BNG，
∴＝，
∴AN＝2BN，
∵AB＝2a，
∴BN＝a，
∵四边形AECH是平行四边形，
∴AH＝EC＝a，
∵＝，
∴AF＝a，
∴＝，故④正确；
故答案为①②④．
16．如图，等边三角形ABC的边长为2，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按此规律进行下去，点A2021的坐标是 ．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝1，∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∴A（，），C（1，0），
∵BA1⊥AC，
∴AA1＝A1C，
∴A1（，），
∵A1B1∥OA，
∴∠A1B1C＝∠ABC＝60°，
∴△A1B1C是等边三角形，
∴A2是A1C的中点，
∴A2（，），
同理A3（，），
…
∴An（，），
∴点A2021的坐标是，
故答案为：．
三、解答题：（共102分）
17．先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
解：（﹣x+1）÷
＝[﹣（x﹣1）]÷
＝•
＝•
＝，
∵分式的分母x+1≠0，x2﹣1≠0，x2+2x+1≠0，
解得：x≠±1，
∴取x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
18．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点P（1，﹣1）为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△A′B′C′，并写出线段BC扫过的面积．
解：如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．
（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；
（3）△A′B′C′即为所求，
线段BC扫过的面积为：
＝．
19．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下五种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．跳舞；D．演讲；E．书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）求扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数．
（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程D的学生约有多少人．
解：（1）这次抽查的学生人数是25÷25%＝100（人）；
（2）C课程人数为100﹣（10+25+25+20）＝20（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝72°；
（4）估计该校选择课程D的学生约有1200×25%＝300（人）．
20．疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．
（1）甲同学在A入口处测量体温的概率是 ；
（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
解：（1）∵学校有A、B、C三个大门入口，
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有3种，
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）＝＝．
21．如图，小岛A在港口P的南偏西37°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发．
（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得81﹣9x＝18x．
解得x＝3．
故出发后3小时两船与港口P的距离相等．
（2）设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．
则点E在点P的正南方向．
在Rt△CEP中，∠CPE＝37°，
则PE＝PC•cs37°．
在Rt△PED中，∠EPD＝60°，
则PE＝PD•cs60°．
则PC•cs37°＝PD•cs60°．
则（81﹣9y）cs37°＝18y•cs60°．
，
解得y＝4．
答：出发后4小时乙船在甲船的正东方向．
22．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y＝，可得k＝1×3＝3，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b，
∴b＝，
∴y2＝x+，
令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC＝7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝，
∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
23．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC•BC＝CM•CN
∴7＝3•CM
∴CM＝
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
解：（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．
（2）设每星期利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x＝55时，W最大值＝6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x＝52时，销售300+30×8＝540，
当x＝58时，销售300+30×2＝360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
25．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
（1）求证：FG＝AE；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，若，GF＝2，求CP的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴GF＝AE；
（2）结论：．
理由：如图2中，过点G作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴．
（3）解：如图2中，过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N．
由，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．
26．如图（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0）与y轴交于点C，连接BC，连接AC，点P是抛物线一点且位于直线BC上方，作PM平行于y轴交BC于点M．
（1）求抛物线解析式并直接写出直线BC解析式；
（2）求PM+MC的最大值及点P坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点N，使∠CNB＝∠CAB，若存在请直接写出点N坐标；若不存在请说出理由．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令y＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，得y＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为．
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，4），
∴OC＝4，OB＝3，
∴BC＝5，
设P（m，），
则M（m，），
∴PM＝（）﹣（）
＝，
过点M作ME⊥y轴于点E，
则，
即，
∴，
∴
＝+
＝，
∴当m＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
（3）∵tan∠CAB＝＝＝4，∠CNB＝∠CAB，
∴tan∠CNB＝4，
当点N在x轴上方时，如图所示：
tan∠CNB＝tan（∠1+∠2）
＝
＝
＝4，
解得（舍去），
∴N（1，），
当点N在x轴下方时，同理可得：
N（1，），
故N点坐标为（1，）和（1，）．
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1