2020—2021学年北师大版八年级下数学期中模拟卷（Word版 含解析）

这是一份2020—2021学年北师大版八年级下数学期中模拟卷（Word版 含解析），共23页。试卷主要包含了5，则BB'＝　 　．等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年北师大版八年级下数学期中模拟卷

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共25题，选择12道、填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式组x＞3x≤1的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
4．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．

A．16 B．18 C．26 D．28
5．如图，△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿AC方向平移到△DEF位置，点D在AC上，连接BF．若AD＝4，BF＝8，∠ABF＝90°，则AB的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3c＜﹣3d C．1﹣a＞1﹣c D．b﹣d＞0
7．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜12-a；则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2
8．如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
9．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有几个（　　）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD＝CD；（4）AD⊥BC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（　　）

A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
11．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
12．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（　　）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．不等式1﹣4x≥x﹣8的非负整数解为　 　．
14．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，请写出原来每天生产汽车x辆应满足的不等式为　 　．
15．若不等式组x＞ax＞3的解集为x＞3，则a的取值范围是　 　．
16．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为　 　度．
17．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若BC＝42，S△PB'C＝4.5，则BB'＝　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．①解不等式2x﹣1≥3x﹣3，并求出它的非负数整数解；
②解不等式组5x-1＜3(x+1)2x-13-5x+12≤1，并求出它的解集分别在数轴上表示出来．
20．在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）．

22．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
23．为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备供选择，其中每台的价格、工作量如下表：

甲型
乙型
价格（万元/台）
12
10
产量（吨/月）
240
180
（1）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
（2）在（1）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
24．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）
（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．

25．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？






参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．不等式组x＞3x≤1的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到；依此可求不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
【解析】不等式组x＞3x≤1的解集在数轴上表示为．
故选：D．
3．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
4．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．

A．16 B．18 C．26 D．28
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
5．如图，△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿AC方向平移到△DEF位置，点D在AC上，连接BF．若AD＝4，BF＝8，∠ABF＝90°，则AB的长是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据平移的性质和勾股定理解答即可．
【解析】∵将△ABC沿AC方向平移到△DEF位置，
∴AD＝CF＝4，
∵AB＝AC，
∴在直角三角形ABF中，AF＝AC+CF＝AB+4，
根据勾股定理可得：AB2+BF2＝AF2，
即AB2+82＝（AB+4）2，
解得：AB＝6，
故选：B．
6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣3c＜﹣3d C．1﹣a＞1﹣c D．b﹣d＞0
【分析】依据实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，即可得到a，b，c，d的大小关系，进而利用不等式的基本性质得出结论．
【解析】∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故A选项错误；
∵c＜d，∴﹣3c＞﹣3d，故B选项错误；
∵a＜c，∴1﹣a＞1﹣c，故C选项正确；
∵b＜d，∴b﹣d＜0，故D选项错误；
故选：C．
7．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜12-a；则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2
【分析】根据已知不等式的解集，结合x的系数确定出2﹣a为负数，求出a的范围即可．
【解析】∵关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜12-a，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2．
故选：D．
8．如图，已知直线y1＝ax+b与y2＝mx+n相交于点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1＝ax+b都在直线y2＝mx+n的上方，即有y1＞y2．
【解析】根据题意当x＞2时，若y1＞y2．
故选：B．
9．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有几个（　　）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD＝CD；（4）AD⊥BC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．
【解析】∵△ABC是等腰三角形，AD是角平分线，
∴BD＝CD，且AD⊥BC，
又BE＝CF，
∴△EBD≌△FCD，且△ADE≌△ADF，
∴∠ADE＝∠ADF，即AD平分∠EDF．
所以四个都正确．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（　　）

A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【解析】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
11．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【分析】设该商品可打x折，则该商品的实际售价为550×x10元，根据“利润不低于10%”列出不等式求解可得．
【解析】设该商品可打x折，
根据题意，得：550×x10-400≥400×10%，
解得：x≥8，
故选：C．
12．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（　　）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD＝BE，∠DBE＝60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，所以∠BAE＝∠ABC＝60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE＝BD＝4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE＝CD，所以△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD．
【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE＝60°，
∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE＝CD，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+4＝5+4＝9，所以③正确．
故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
\13．不等式1﹣4x≥x﹣8的非负整数解为　1、0　．
【分析】先解不等式求出其解集，再找到此范围内的非负整数即可得．
【解析】∵1﹣4x≥x﹣8，
∴﹣4x﹣x≥﹣8﹣1，
﹣5x≥﹣9，
x≤95，
则该不等式的非负整数解为1和0，
故答案为：1、0．
14．某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，请写出原来每天生产汽车x辆应满足的不等式为　15（x+6）＞20x　．
【分析】设原来每天生产汽车x辆，则改进工艺后每天生产汽车（x+6）辆，依据“现在15天的产量＞原来20天的产量”可得不等式．
【解析】设原来每天生产汽车x辆，则改进工艺后每天生产汽车（x+6）辆，
根据题意，得：15（x+6）＞20x，
故答案为：15（x+6）＞20x．
15．若不等式组x＞ax＞3的解集为x＞3，则a的取值范围是　a≤3　．
【分析】根据求不等式组的解集的方法：同大取较大可知a≥3．
【解析】不等式组x＞ax＞3的解集为x＞3，则a≤3．
故答案为：a≤3．
16．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为　30或150　度．
【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
【解析】①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD=12AB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=12AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
17．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若BC＝42，S△PB'C＝4.5，则BB'＝　2　．

【分析】先判断出△PB'C是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质利用面积列式求出B'C，然后根据BB'＝BC﹣B'C代入数据计算即可得解．
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，
∴平移后∠PB'C＝∠CBA＝45°，
∴△PB'C是等腰直角三角形，
∴S△PB'C=12B'C•（12B'C）＝4.5，
解得：B'C＝32，
∴BB'＝BC﹣B'C＝42-32=2．
故答案为：2．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　cm．

【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，BD＝BC＝12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB＝13，所以△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD，即可解答．
【解析】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=52+122=13，
△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案为：42．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．①解不等式2x﹣1≥3x﹣3，并求出它的非负数整数解；
②解不等式组5x-1＜3(x+1)2x-13-5x+12≤1，并求出它的解集分别在数轴上表示出来．
【分析】（1）不等式移项合并后，将x系数化为1，求出解集，进一步求出它的非负数整数解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解析】（1）2x﹣1≥3x﹣3，
2x﹣3x≥﹣3+1，
﹣x≥﹣2，
解得：x≤2，
故它的非负数整数解为0，1，2；
（2）5x-1＜3(x+1)①2x-13-5x+12≤1②，
由①解得：x＜2；
由②解得：x≥﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：

20．在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．

【分析】（1）利用A点和C点的位置确定平移的方向与距离，然后画出B、C的对应点P、Q即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点M、N即可；
（3）利用网格特点，画出A、B、C关于直线DE的对称点F、G、H即可．
【解析】（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）．

【分析】（1）先由AB＝AC，∠A＝36°，可求∠B＝∠ACB=180°-∠A2=72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD＝DC，进而可得∠ACD＝∠A＝36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，根据等角对等边可得：CD＝CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD＝CD＝CB＝b，由△BCD的周长是a，可得AB＝a﹣b，由AB＝AC，可得AC＝a﹣b，进而得到△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB=180°-∠A2=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a，
∴AB＝a﹣b，
∵AB＝AC，
∴AC＝a﹣b，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
22．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，解之可得；
（2）先解关于x的方程得出x＝1，再将x＝1代入x@a＜5列出关于a的不等式，解之可得．
【解析】（1）∵x@3＜5，
∴2x﹣3＜5，
解得：x＜4；

（2）解方程2（2x﹣1）＝x+1，得：x＝1，
∴x@a＝1@a＝2﹣a＜5，
解得：a＞﹣3．
23．为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备供选择，其中每台的价格、工作量如下表：

甲型
乙型
价格（万元/台）
12
10
产量（吨/月）
240
180
（1）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
（2）在（1）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）设节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，根据该公司购买节能设备的资金不超过110万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
（2）根据甲型、乙型的产量和公司要求每月的产量不低于2040吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
【解析】（1）设购买节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，根据题意得：
12x+10（10﹣x）≤110，
解得：x≤5，
∵x取非负整数，
∴x＝0，1，2，3，4，5，
∴有6种购买方案．

（2）由题意：240x+180（10﹣x）≥2040，
解得：x≥4，
则x为4或5．
当x＝4时，购买资金为：12×4+10×6＝108（万元），
当x＝5时，购买资金为：12×5+10×5＝110（万元），
则最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台．
24．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）
（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）可以证明△BDE≌△ACE推出BD＝AC，BD⊥AC．
（2）如图2中，不发生变化．只要证明△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，所以∠BDE+∠DOF＝90°，可得∠DFO＝180°﹣90°＝90°，即可证明．
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明△BED≌△AEC即可．
②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°即可解决问题．
【解析】（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．
理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥CB
∴∠AEC＝∠BED＝90°．
在△AEC和△BED中，
AE=BE∠AEC=∠BEDEC=ED，
∴△AEC≌△BED，
∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AC⊥BD．

（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．

理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=EC，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；

（3）①如图3中，结论：BD＝AC，

理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=EC，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC．

②能；设BD与AC交于点F，由△BED≌△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
即BD与AC所成的锐角的度数为60°．
25．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【分析】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB＝BC＝9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB＝BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程﹣P运动的路程＝18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP＝2t，
则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ＝5t；

（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，
解得t=97，
所以当t=97s时，△PBQ为等边三角形；

（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t＝18，
解得t＝6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．