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2020-2021学年七年级下册期中重难点突破训练卷（二）
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这是一份2020-2021学年七年级下册期中重难点突破训练卷（二），共27页。
A．3B．﹣3C．±3D．±3
2．（3分）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（ ）
A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定
4．（3分）方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．﹣2
5．（3分）如图，学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，则李老师家在学校的（ ）
A．北偏东30°方向，相距500m处
B．北偏西30°方向，相距500m处
C．北偏东60°方向，相距500m处
D．北偏西60°方向，相距500m处
6．（3分）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
7．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
8．（3分）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近-10的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
9．（3分）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2B．96cm2C．44 cm2D．16 cm2
10．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．0
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如果（2x﹣1）3＝﹣8，那么x＝ ．
12．（4分）如果点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，则x的值为 ．
13．（4分）若a为实数，则﹣2﹣a ﹣a-5（填“＞”、“＝”或“＜”）
14．（4分）在平面直角坐标系中，C（﹣1，5），D（﹣3，1），经过原点的直线m上有一点（3，2），平移线段CD，对应线段为EF（C对应E），若点E、F分别恰好在直线m和x轴上，则E点坐标为 ．
15．（4分）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=-3k+6，则﹣2x﹣2y＝ ．
16．（4分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为 ．
17．（4分）如图，已知三角形ABC的面积为28，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形A′B′C′，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，点D恰为AC′的中点，则三角形CDC′的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（-12）2-116+|2-3|﹣（3-2）+3-8．
19．（6分）解方程组：x+y2=y-5x5x-y6-3x-12=1
20．（6分）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．
21．（8分）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x．
求（1）x和这个正数a的值；
（2）17+3a的立方根．
22．（8分）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
23．（8分）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2+1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x-y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
24．（10分）2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求∠AEN∠CDG的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
2020-2021学年七年级下册期中重难点突破训练卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）实数9的平方根（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±3
【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：∵9=3，
∴3的平方根是±3，
故选：D．
【点睛】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．
2．（3分）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而结合绝对值的性质得出a+b，a﹣b的符号即可得出答案．
【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，
∴a＞0，b＜0，a+b＞0，a﹣b＞0，
∴点Q（a+b，a﹣b）在第一象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a+b，a﹣b的符号是解题关键．
3．（3分）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（ ）
A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答．
【解答】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，
又∵垂线段最短，
∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键．
4．（3分）方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．﹣2
【分析】根据方程的解的定义，将方程的解代入，然后解关于k的一元一次方程即可．
【解答】解：∵方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，
∴2k+5×1＝7，
解得k＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5．（3分）如图，学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，则李老师家在学校的（ ）
A．北偏东30°方向，相距500m处
B．北偏西30°方向，相距500m处
C．北偏东60°方向，相距500m处
D．北偏西60°方向，相距500m处
【分析】以学校为原点建立坐标系，确定李老师家的位置．
【解答】解：学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴的正方向，以李老师家为原点，则学校在第四象限；以学校为原点建立坐标系，则李老师家在第二象限，即北偏西30°方向，相距500m处．
故选：B．
【点睛】本题利用了平面直角坐标系来理解生活中的相对位置问题．
6．（3分）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义及平行公理，难度不大．
7．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：①当∠DCA＝∠CAF时，AB∥CD，符合题意；
②当∠C＝∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C＝180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B＝180°时，
又∵∠GDE+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定是解题关键．
8．（3分）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近-10的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】利用“夹逼法”求得-10的取值范围，可得答案．
【解答】解：因为9＜10＜16，
所以3＜10＜4．
所以﹣4＜-10＜-3．
所以，这四点中所表示的数最接近-10的是点N．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题时，利用了“夹逼法”求得无理数的取值范围．
9．（3分）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2B．96cm2C．44 cm2D．16 cm2
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的性质，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：x+3y=14x+y-2y=6，
解得：x=8y=2，
∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．0
【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解答】解：观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）…；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标与P5坐标相同，为（5，2），
故经过第2021次运动后，动点P的纵坐标是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如果（2x﹣1）3＝﹣8，那么x＝ -12 ．
【分析】方程利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：∵（2x﹣1）3＝﹣8，
∴2x﹣1＝﹣2，
解得：x=-12．
故答案为：-12．
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．（4分）如果点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，则x的值为 3或﹣1 ．
【分析】直接利用点到x轴和y轴距离相等，得出横纵坐标的关系进而得出答案．
【解答】解：∵点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，
∴2x＝x+3或2x+x+3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
13．（4分）若a为实数，则﹣2﹣a ＞ ﹣a-5（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】将两数求差，根据差与0的大小可得答案．
【解答】解：∵﹣2﹣a﹣（﹣a-5）
＝﹣2﹣a+a+5
=5-2
＞0，
∴﹣2﹣a＞﹣a-5．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，明确求差法是解决比较两数大小的方法之一是解题的关键．
14．（4分）在平面直角坐标系中，C（﹣1，5），D（﹣3，1），经过原点的直线m上有一点（3，2），平移线段CD，对应线段为EF（C对应E），若点E、F分别恰好在直线m和x轴上，则E点坐标为 （6，4） ．
【分析】利用平移的性质判断出点E的纵坐标为4，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意点E的纵坐标为4，可得E（6，4），
∵点E向左平移2个单位，向下平移4个单位得到F，
∴F（4，0）．
故答案为（6，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=-3k+6，则﹣2x﹣2y＝ ﹣4 ．
【分析】程组利用加减法表示出x+y与x﹣y，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：x+2y=3k①2x+y=-3k+6②，
①+②，得3x+3y＝6，
∴（x+y）＝6，
∴x+y＝2，
∴﹣2x﹣2y＝﹣2（x+y）＝﹣2×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（4分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为 70° ．
【分析】利用垂直定义可得∠COE＝90°，进而可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得∠AOD，再利用角平分线定义可得答案．
【解答】解：∵EO⊥CD于点O，
∴∠COE＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠COB＝90°+50°＝140°，
∴∠AOD＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】此题主要考查了垂直定义，关键是理清图中角之间的和差关系．
17．（4分）如图，已知三角形ABC的面积为28，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形A′B′C′，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，点D恰为AC′的中点，则三角形CDC′的面积为 14 ．
【分析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，然后求出CD=12AB，点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解．
【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，D为AC'的中点，
∴CD∥AB，CD=12AB（三角形的中位线），
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积=12△ABC的面积=12×28＝14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了平移变换的性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，以及等高三角形的面积的比等于底边的比，是小综合题，但难度不大．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（-12）2-116+|2-3|﹣（3-2）+3-8．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=14-14+3-2-3+2-2
＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）解方程组：x+y2=y-5x5x-y6-3x-12=1
【分析】方程整理成一般式后，利用加减消元法求解可得．
【解答】解：方程组整理成一般式可得：5x+y=0①-8x-y=3②，
①+②，得：﹣3x＝3，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①，得：﹣5+y＝0，
解得：y＝5，
所以方程组的解为x=-1y=5．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（6分）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．
【分析】根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行可知DE∥FC，故∠1＝∠ECF＝∠2．根据内错角相等两直线平行可知，FG∥BC．
【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠2＝∠1（已知），
∴∠BCF＝∠2（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，比较简单．
21．（8分）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x．
求（1）x和这个正数a的值；
（2）17+3a的立方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出x的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；
（2）将a的值代入计算得出17+3a的值，再求其立方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
∴x＝4．
∴2x﹣2＝2×4﹣2＝6，
∴a＝36．
（2）∵a＝36，
∴17+3a＝17+3×36＝125，
∵125的立方根为5，
∴17+3a的立方根为5．
【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，属于基本计算能力的考查，比较简单．
22．（8分）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ∠CBC'＝90°+∠B′C′O ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【分析】（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的平移与点的坐标的变化规律．
23．（8分）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2+1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x-y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）根据题意得：m-1=2n2+1=-4，
解得：m=3n=-10，
代入得：2m﹣n＝6+10＝16≠6，
则（2，﹣4）不是和谐数对；
（2）x+y=6①x-y=2a②，
①+②得：2x＝2a+6，
解得：x＝a+3，
把x＝a+3代入①得：y＝3﹣a，
根据题意得：m-1=a+3n2+1=3-a，
解得：m=a+4n=4-2a，
代入得：2m﹣n＝2a+8﹣4+2a＝4a+4，
当4a+4＝6，即a=12时，满足2m﹣n＝6，即以方程组的解为数对即（x，y）为和谐数对．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
24．（10分）2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：12x+10y=140010x+12y=1240，
解得：x=100y=20，
∴足球和跳绳的单价分别为100元、20元，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
（2）由题意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：180080=22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a＝16时，b=1043（舍去）；
当a＝17时，b=883（舍去）；
当a＝18时，b＝24；
当a＝19时，b=563（舍去）；
当a＝20时，b=403（舍去）；
当a＝21时，b＝8；
当a＝22时，b=83（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
答：有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一利润：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利润：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识；理解题意，列出方程组和方程是解题的关键．
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求∠AEN∠CDG的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴∠C＝∠1+∠2；
（2）
∵∠BDF＝∠GDF，
∵∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝90°-12∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∴∠AEN＝∠CEM，
∴∠AEN∠CDG=∠CEM∠CDG=90°-∠PDC∠CDG=90°-(90°-12∠CDG)∠CDG=12；
（3）
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BMA＝∠PBD＝50°，
∴∠ADB＝∠AMB﹣∠MAD＝50°﹣∠MAD＝50°﹣∠CAM，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
评卷人
得 分
评卷人
得 分
A．3B．﹣3C．±3D．±3
2．（3分）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（ ）
A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定
4．（3分）方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．﹣2
5．（3分）如图，学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，则李老师家在学校的（ ）
A．北偏东30°方向，相距500m处
B．北偏西30°方向，相距500m处
C．北偏东60°方向，相距500m处
D．北偏西60°方向，相距500m处
6．（3分）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
7．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
8．（3分）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近-10的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
9．（3分）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2B．96cm2C．44 cm2D．16 cm2
10．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．0
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如果（2x﹣1）3＝﹣8，那么x＝ ．
12．（4分）如果点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，则x的值为 ．
13．（4分）若a为实数，则﹣2﹣a ﹣a-5（填“＞”、“＝”或“＜”）
14．（4分）在平面直角坐标系中，C（﹣1，5），D（﹣3，1），经过原点的直线m上有一点（3，2），平移线段CD，对应线段为EF（C对应E），若点E、F分别恰好在直线m和x轴上，则E点坐标为 ．
15．（4分）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=-3k+6，则﹣2x﹣2y＝ ．
16．（4分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为 ．
17．（4分）如图，已知三角形ABC的面积为28，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形A′B′C′，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，点D恰为AC′的中点，则三角形CDC′的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（-12）2-116+|2-3|﹣（3-2）+3-8．
19．（6分）解方程组：x+y2=y-5x5x-y6-3x-12=1
20．（6分）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．
21．（8分）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x．
求（1）x和这个正数a的值；
（2）17+3a的立方根．
22．（8分）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
23．（8分）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2+1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x-y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
24．（10分）2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求∠AEN∠CDG的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
2020-2021学年七年级下册期中重难点突破训练卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）实数9的平方根（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±3
【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：∵9=3，
∴3的平方根是±3，
故选：D．
【点睛】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．
2．（3分）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而结合绝对值的性质得出a+b，a﹣b的符号即可得出答案．
【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，
∴a＞0，b＜0，a+b＞0，a﹣b＞0，
∴点Q（a+b，a﹣b）在第一象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a+b，a﹣b的符号是解题关键．
3．（3分）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（ ）
A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答．
【解答】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，
又∵垂线段最短，
∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键．
4．（3分）方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．﹣2
【分析】根据方程的解的定义，将方程的解代入，然后解关于k的一元一次方程即可．
【解答】解：∵方程kx+5y＝7有一组解是x=2y=1，
∴2k+5×1＝7，
解得k＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5．（3分）如图，学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，则李老师家在学校的（ ）
A．北偏东30°方向，相距500m处
B．北偏西30°方向，相距500m处
C．北偏东60°方向，相距500m处
D．北偏西60°方向，相距500m处
【分析】以学校为原点建立坐标系，确定李老师家的位置．
【解答】解：学校在李老师家的南偏东30°方向，距离是500m，以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴的正方向，以李老师家为原点，则学校在第四象限；以学校为原点建立坐标系，则李老师家在第二象限，即北偏西30°方向，相距500m处．
故选：B．
【点睛】本题利用了平面直角坐标系来理解生活中的相对位置问题．
6．（3分）有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义及平行公理，难度不大．
7．（3分）如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④B．②③④C．①③④D．①②③
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：①当∠DCA＝∠CAF时，AB∥CD，符合题意；
②当∠C＝∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C＝180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B＝180°时，
又∵∠GDE+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定是解题关键．
8．（3分）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近-10的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】利用“夹逼法”求得-10的取值范围，可得答案．
【解答】解：因为9＜10＜16，
所以3＜10＜4．
所以﹣4＜-10＜-3．
所以，这四点中所表示的数最接近-10的是点N．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题时，利用了“夹逼法”求得无理数的取值范围．
9．（3分）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2B．96cm2C．44 cm2D．16 cm2
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的性质，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：x+3y=14x+y-2y=6，
解得：x=8y=2，
∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点P2021的纵坐标是（ ）
A．1B．2C．﹣2D．0
【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【解答】解：观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）…；
∵2021÷6＝336…5，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标与P5坐标相同，为（5，2），
故经过第2021次运动后，动点P的纵坐标是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如果（2x﹣1）3＝﹣8，那么x＝ -12 ．
【分析】方程利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：∵（2x﹣1）3＝﹣8，
∴2x﹣1＝﹣2，
解得：x=-12．
故答案为：-12．
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．（4分）如果点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，则x的值为 3或﹣1 ．
【分析】直接利用点到x轴和y轴距离相等，得出横纵坐标的关系进而得出答案．
【解答】解：∵点（2x，x+3）在x轴上方，该点到x轴和y轴距离相等，
∴2x＝x+3或2x+x+3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
13．（4分）若a为实数，则﹣2﹣a ＞ ﹣a-5（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】将两数求差，根据差与0的大小可得答案．
【解答】解：∵﹣2﹣a﹣（﹣a-5）
＝﹣2﹣a+a+5
=5-2
＞0，
∴﹣2﹣a＞﹣a-5．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，明确求差法是解决比较两数大小的方法之一是解题的关键．
14．（4分）在平面直角坐标系中，C（﹣1，5），D（﹣3，1），经过原点的直线m上有一点（3，2），平移线段CD，对应线段为EF（C对应E），若点E、F分别恰好在直线m和x轴上，则E点坐标为 （6，4） ．
【分析】利用平移的性质判断出点E的纵坐标为4，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意点E的纵坐标为4，可得E（6，4），
∵点E向左平移2个单位，向下平移4个单位得到F，
∴F（4，0）．
故答案为（6，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=3k2x+y=-3k+6，则﹣2x﹣2y＝ ﹣4 ．
【分析】程组利用加减法表示出x+y与x﹣y，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：x+2y=3k①2x+y=-3k+6②，
①+②，得3x+3y＝6，
∴（x+y）＝6，
∴x+y＝2，
∴﹣2x﹣2y＝﹣2（x+y）＝﹣2×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（4分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为 70° ．
【分析】利用垂直定义可得∠COE＝90°，进而可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得∠AOD，再利用角平分线定义可得答案．
【解答】解：∵EO⊥CD于点O，
∴∠COE＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠COB＝90°+50°＝140°，
∴∠AOD＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】此题主要考查了垂直定义，关键是理清图中角之间的和差关系．
17．（4分）如图，已知三角形ABC的面积为28，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形A′B′C′，使点B′和点C重合，连接AC′交A′C于点D，点D恰为AC′的中点，则三角形CDC′的面积为 14 ．
【分析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，然后求出CD=12AB，点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解．
【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，D为AC'的中点，
∴CD∥AB，CD=12AB（三角形的中位线），
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积=12△ABC的面积=12×28＝14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了平移变换的性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线等于第三边的一半的性质，以及等高三角形的面积的比等于底边的比，是小综合题，但难度不大．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（-12）2-116+|2-3|﹣（3-2）+3-8．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=14-14+3-2-3+2-2
＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）解方程组：x+y2=y-5x5x-y6-3x-12=1
【分析】方程整理成一般式后，利用加减消元法求解可得．
【解答】解：方程组整理成一般式可得：5x+y=0①-8x-y=3②，
①+②，得：﹣3x＝3，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①，得：﹣5+y＝0，
解得：y＝5，
所以方程组的解为x=-1y=5．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（6分）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．
【分析】根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行可知DE∥FC，故∠1＝∠ECF＝∠2．根据内错角相等两直线平行可知，FG∥BC．
【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠2＝∠1（已知），
∴∠BCF＝∠2（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，比较简单．
21．（8分）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x．
求（1）x和这个正数a的值；
（2）17+3a的立方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出x的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；
（2）将a的值代入计算得出17+3a的值，再求其立方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
∴x＝4．
∴2x﹣2＝2×4﹣2＝6，
∴a＝36．
（2）∵a＝36，
∴17+3a＝17+3×36＝125，
∵125的立方根为5，
∴17+3a的立方根为5．
【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，属于基本计算能力的考查，比较简单．
22．（8分）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系 ∠CBC'＝90°+∠B′C′O ．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【分析】（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的平移与点的坐标的变化规律．
23．（8分）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2+1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x-y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）根据题意得：m-1=2n2+1=-4，
解得：m=3n=-10，
代入得：2m﹣n＝6+10＝16≠6，
则（2，﹣4）不是和谐数对；
（2）x+y=6①x-y=2a②，
①+②得：2x＝2a+6，
解得：x＝a+3，
把x＝a+3代入①得：y＝3﹣a，
根据题意得：m-1=a+3n2+1=3-a，
解得：m=a+4n=4-2a，
代入得：2m﹣n＝2a+8﹣4+2a＝4a+4，
当4a+4＝6，即a=12时，满足2m﹣n＝6，即以方程组的解为数对即（x，y）为和谐数对．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
24．（10分）2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：12x+10y=140010x+12y=1240，
解得：x=100y=20，
∴足球和跳绳的单价分别为100元、20元，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
（2）由题意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：180080=22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a＝16时，b=1043（舍去）；
当a＝17时，b=883（舍去）；
当a＝18时，b＝24；
当a＝19时，b=563（舍去）；
当a＝20时，b=403（舍去）；
当a＝21时，b＝8；
当a＝22时，b=83（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
答：有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一利润：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利润：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识；理解题意，列出方程组和方程是解题的关键．
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求∠AEN∠CDG的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴∠C＝∠1+∠2；
（2）
∵∠BDF＝∠GDF，
∵∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝90°-12∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∴∠AEN＝∠CEM，
∴∠AEN∠CDG=∠CEM∠CDG=90°-∠PDC∠CDG=90°-(90°-12∠CDG)∠CDG=12；
（3）
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BMA＝∠PBD＝50°，
∴∠ADB＝∠AMB﹣∠MAD＝50°﹣∠MAD＝50°﹣∠CAM，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
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