初中数学北师大版八年级下册4 分式方程导学案

分式的认识和性质

知识点一：分式概念：式子中A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0的式子。

对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）、分母中应含有字母；（2）、分母的值不能为零。分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。

知识点二：分式的值   （1）、分式无意义的条件：当B=0时，分式无意义。

（2）、分式的值为零的条件：需要同时满足：分式中 A＝0同时B≠0。

例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）   （2）    （3）     （4）    （5）

（6）0    （7）   （8）    （9）

例2、x为何值时，下列分式有意义？

（1）、 ；         （2）、；         （3）、

例3、当x取何值时，下列分式值为零：（1）、；（2）、；（3）、

知识点三：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式值不变，用式子表示为=，= （C是整式，且C≠0）．

例4、填空：（1）   （2）   （3）  （4）

例5、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“  ̶ ”号：

（1）                   （2）                （3）—

例6、（1）、若中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值          。

     （2）、若把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值是           。

例7、把下列各式的分子和分母中各项系数化为整数：（1）；⑵

  分式的约分和乘除运算

知识点一：分式的约分：分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式．

确定公因式的方法：（1）取分子和分母系数最大公约数；（2）字母取分子和分母中相同字母； 

                 （3）相同字母取最低次幂．

如果分子和分母是多项式，则先将多项式分解因式，才能容易发现和约去分子和分母中的公因式，将分式化为最简分式．

例1、约分（1）；   （2）；   （3）；   （4）

练习1、约分（1）；  （2）；  （3）；  （4）

知识点二：分式的乘法、除法、乘方运算法则

1、分式的乘法    公式：。    2、分式的除法    公式：。

例2、计算：     （1） ； （2）； （3）

例3、计算：（1） ； （2）； （3）（a2－a）÷

练习2、(1)、              (2)、÷·

练习3、（1）·÷    （2）  （3）   

通分和分式的加减

知识点一：分式的通分 ：把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式.

分式通分时，要注意几点：

（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；

（2）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；

（3）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母.

确定最简公分母的一般步骤：

   （1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

   （2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.

   （3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.

例题一：指出下列各组分式的最简公分母

（1）、，             （2）、,,                （3）、,,

例题二：通分（1）、        （2）、，       （3）、  

练习1：通分

（1）、   （2）、，   （3）、    （4）、

知识点二：分式加减法的法则

1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：

2、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：

   注：运算原则：分子去括号、合并同类项、约分、将结果化成最简分式或整式

例题三：计算（1）、                 （2）、

练习：计算（1）、+                （2）、

例题四：计算（1）、                      （2）、 

综合提高一：（1）、             （2）、化简求值:-+，a＝

综合提高二：若=+，求A、B的值.

分式方程

一、分式方程的定义：

分母中含未知数的方程叫分式方程。

二、解分式方程：

1、解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程（具体做法是“去分母”）。

2、解分式方程的一般步骤：

  （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

  （2）解这个整式方程；

  （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。

例1、下列方程是分式方程的是______________。

①；    ②；    ③；    ④

例2、解方程：

（1）                  （2）             （3）

练习1、解方程：

（1）            （2）=2           （3）

例3、若关于的分式方程的增根，求增根及a的值．

例4、已知关于的方程的解是正数，求m的取值范围.

例5、若方程无解,求m的值.

练习2、关于的方程会产生增根，求m的值．

练习3、若方程有负数根，求k的取值范围.

练习4、若关于的分式方程若无解,求m的值.

例6、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？

练习5、甲队单独做一项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比预期多用3天．若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，则规定的工期是多少天？

例7、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。

练习6、某中学到离学校15千米的西山春游，先遣队与大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前 小时到达目的地做准备工作，求先遣队与大队的速度各是多少？

课后练习

1、下列方程中是分式方程的是（   ）

A B  C  D

2、把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（   ）。

A、1-（1-x）=1   B、1+(1-x)=1   C、1-（1-x）=x-2   D、1+(1-x)=x-2

3、解方程得（   ）。

A．ｘ＝2      B．ｘ＝-2      C．无解     D．ｘ＝4

4、解方程 得（ ）。          

A．ｘ＝2      B．ｘ＝-2      C．无解       D．ｘ＝3

5、解方程得( )。

A．ｘ＝2.5       B．ｘ＝0      C．无解      D．ｘ＝1

6、将方程去分母化简后得到的方程是

A．  B．  C．  D．

7、方程的解是     ；当______时，的值等于  

8、当=        时，的值与的值相等

9、已知=3是方程的解。则=       

10、若与互为相反数，则的值为      

11、若与互为相反数，则可得方程___________，解得_________

12、解方程：

⑴            ⑵               （3）-1=

13、若分式方程的解为，求的值

14、为何值时，关于的方程的解为零.