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小学数学人教版五年级下册3的倍数的特征导学案
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这是一份小学数学人教版五年级下册3的倍数的特征导学案，共32页。学案主要包含了思路分析，规范解答，名师点评等内容，欢迎下载使用。
知识点一：长方体和正方体的认识
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
知识点二：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽
侧面积（左面、右面）＝宽×高 前（后）面积＝长×高
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12
表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）
没盖的表面积＝棱长×棱长×5
知识点三：长方体和正方体的体积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高
字母公式：v=abh v=sh
3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长
4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。
5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。
6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。
8、、体积和容积单位之间的进率：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升
字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1
9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。
考点1：长方体和正方体的特征
例1．（2019秋•海安县期末）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【思路分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．已知“用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米”．所用绳子的长度相当于6条高、4条宽、2条长，再加上打结处共用2分米．由此规范解答．
【规范解答】解：，
，
（分米）；
答：一共要用绳子42分米．
【名师点评】此题考查的目的使学生掌握长方体的特征，根据长方体棱长总和的计算方法规范解答．
1．（2019春•临泽县校级月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，求正方体的棱长．
【思路分析】长方体的棱长总和（长宽高），据此求出长方体的棱长总和，正方体的棱长总和棱长，再用棱长总和除以12即可．
【规范解答】解：，
，
（厘米），
答：正方体的棱长是4厘米．
【名师点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征以及它们棱长总和的计算方法．
2．（2019春•西安期末）某建筑长60米，宽50米，高70米．“七一节“快到了，为增添节日气氛，要给外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），张叔叔去商店买彩灯，每捆100米，他至少买几捆？
【思路分析】根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，要在这个建筑外墙棱上装上彩灯（沿地面一圈不挂），也就是求两条长，两条宽和4条高的长度和；最后用长度和每捆线长度即可规范解答．
【规范解答】解：整个建筑物需挂灯的边长总和为：
（米，
买彩灯捆数为：（捆；
答：他至少买5捆．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先要搞清是求哪几条棱的长度和，由于底面的四边不装，也就是求另外8条棱的长度和，再根据包含除法的意义规范解答即可．
3．（2019春•兴宾区期中）花花过生日，小姨送给她一个蛋糕，蛋糕盒（如图）用丝带捆扎，打结处的丝带长30厘米，捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？[来源:学+科+网]
【思路分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长两条宽条高结头用的30厘米，由此列式规范解答．
【规范解答】解：，
，
（厘米）；
答：捆扎这个蛋糕盒至少需要160厘米的丝带．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法规范解答．
考点2：长方体和正方体的表面积、体积的计算及应用
例2．（2019春•寻乌县期中）计算下面立体图形的表面积和体积．（单位：
【思路分析】（1）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
（2）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是184平方厘米，体积是160立方厘米．
（2）（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
1．（2019春•简阳市 期中）求下列图形的表面积和体积．
【思路分析】根据长方体的表面积：（长宽长高宽高），长方体的体积：，正方体的表面积，体积，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是254平方厘米，体积是210立方厘米．
（平方分米），
（立方分米），
答：这个正方体的表面积是294平方分米，体积是343立方分米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．（2019春•株洲期中）计算下面两个图形的表面积和体积．
【思路分析】（1）图1：根据长方体的表面积公式：，体积公式，规范解答即可；
（2）正方体的表面积公式：，体积公式积：，图2的表面积等于下面长方体的表面积加上上面正方体的4个面的面积，它的体积等于正方体与长方体的体积和．据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）表面积：
（平方米）
体积：
（立方米）
答：这个长方体的表面积是136平方米、体积是96立方米．
（2）表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：图2的表面积是310平方厘米、体积是325立方厘米．
【名师点评】掌握长、正方体的表面积和体积公式是解题的关键．
3．（2019春•龙岗区期中）如图是一个长方体盒子的展开图．
（1）求长方体盒子的表面积．
（2）求长方体盒子的体积．
【思路分析】（1）已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积长宽长高宽高，据此列式规范解答；
（2）已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，用公式：长方体的体积长宽高，据此列式规范解答．
【规范解答】解：
（1）
（平方厘米）
答：长方体盒子的表面积是88平方厘米．
（2）
（立方厘米）
答：长方体盒子的体积是48立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例3．（2019春•罗平县校级期中）在一块长为，宽为的长方形铁皮的四个角上剪去边长为的正方形，然后将它焊成无盖的盒子，这个盒子的表面积和容积各是多少？[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【思路分析】根据题意可知，把这块铁皮在四个角上剪去边为的正方形，将它焊成一个无盖的盒子，盒子的高就是4厘米，长是厘米，宽是厘米，这个盒子的表面积等于这块铁皮的面积减去4个边长是4厘米的正方形的面积和，再根据容积公式：，列式规范解答．
【规范解答】解：盒子的长是：（厘米）
宽是：（厘米）
高是4厘米，
盒子的表面积是：
（平方厘米）；
盒子的体积是：
（立方厘米）；
答：这个盒子的表面积是1056平方厘米，容积是2560立方厘米．
【名师点评】此题属于长方体的表面积和体积的实际应用，在求盒子的体积时，关键是求出盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式解决问题．
1．（2019春•郸城县期末）一只长方体的玻璃缸，长，宽，高，水深，如果投入一块棱长为的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【思路分析】先根据长方体的体积长宽高，分别计算出水的体积、长方体容器的体积，正方体铁块放玻璃缸中的体积，水的体积正方体的铁块在水中的体积长方体容器的容积溢出的水的体积，注意正方体铁块不是全部浸没在水中，它在容器中的高最大是4分米．据此规范解答即可．
【规范解答】解：
（立方分米）
（升
答：缸里的水溢出16升．
【名师点评】本题主要考查了学生水的体积正方体的铁块在水中的体积长方体容器的容积溢出的水的体积，这一数量关系的掌握情况，注意正方体铁块不是全部浸没在水中，它在容器中的高最大是4分米．
2．（2019•天津模拟）一个长方体容器装一些水，底面长3分米，宽2分米，高1.5分米，将一块土豆放入水中后，水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少立方分米？
【思路分析】由题意得土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2分米的长方体的体积，根据长方体体积长宽高列式规范解答即可．
【规范解答】解：由题意得：土豆的体积等于上升的水的体积为：
（立方分米）．
答：这个土豆的体积是1.2立方分米．
【名师点评】解决本题关键是明确土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2分米的长方体的体积．
3．（2019春•简阳市 期中）把一个棱长是的正方体铁块锻造成一个长、宽是的长方体铁皮，长方体铁皮厚多少？
【思路分析】设长方体铁皮的厚度为，根据题意可得正方体的体积长方体的体积，列方程求解．
【规范解答】解：设长方体铁皮的厚度为，
，
答：长方体铁皮的厚度为．
【名师点评】本题考查了长方体和正方体体积计算公式的应用，规范解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
考点3：组合图形的表面积、体积的计算及应用
例4．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？要给这个零件的表面涂上防锈漆涂漆部分的面积是多少平方厘米？
【思路分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出大小长方体的体积和就是这个零件的体积；由于大小长方体粘合在一起，所以涂漆的面积等于大长方体的表面积加上小长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（立方厘米）；
（平方厘米）；
答：这个零件的体积是1760立方厘米，要给这个零件的表面涂上防锈漆涂漆部分的面积是952平方厘米．
【名师点评】规范解答求组合图形的体积、表面积，关键是观察思路分析图形是有哪几部分组成的，是求各部分的体积（表面积）和、还是求各部分的体积（表面积）差，再个相应的公式规范解答．
1．（2019春•兰溪市期中）求下面立体图形的表面积和体积（单位
【思路分析】图（1）上面正方体只求它的4个面的面积，下面的长方体求出表面积，然后合并起来即可，根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，正方形的面积公式：，正方体的体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
图（2）表面积等于4个正方体的表面积和减去正方体的6个面的面积，也就是求3个正方体的表面积和，它的体积等于4个正方体的体积和，根据正方体的表面积公式：，积公式：，倍数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）表面积：
（平方厘米）；
体积：
（立方厘米）；
答：这个组合图形的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米．
（2）表面积：
（平方厘米）；
体积：
（立方厘米）；
答：这个组合图形的表面积是16200平方厘米、体积是108000立方厘米．
【名师点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．（2019春•浦东新区校级期中）求下面组合体的体积和表面积．（单位：米）
【思路分析】（1）根据图形的特点，在求表面积时，右面的小长方体只求它的前后、上下4个面的面积，左面的大长方体求出表面积，然后合并起来即可；它的体积等于大小长方体的体积和．
（2）根据图形的特点，在求表面积时，左面的小长方体只求它的前后、上下4个面的面积，右面的大长方体求出表面积，然后合并起来即可；它的体积等于大小长方体的体积和．
【规范解答】解：（1）
（平方米），
（立方米）；
答：它的表面积是148平方米，体积是80立方米．
（2）
（平方米）；
（立方米）；
答：它的表面积是5.88平方米，体积是0.56立方米．
【名师点评】规范解答求组合图形的体积（表面积），关键是观察思路分析图形是由哪几部分的组成的，是各部分的体积（表面积）和、还是求各部分的体积（表面积）差，再根据相应的体积（表面积）公式规范解答．
3．计算下面图形的表面积和体积．
【思路分析】它的表面积就是长6厘米、宽2厘米、高4厘米的表面积，根据长方体的表面积公式规范解答；它的体积等于大小长方体的体积差，根据长方体的体积公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：它的表面积是88平方厘米，体积是40立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
考点4：长方体、正方体的切拼
例5．（2019•江西模拟）一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为和的长方体，乘下的部分便成为一个正方体，表面积减少了．原长方体的底面积是多少？
【思路分析】如图，这个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，可知这个长方体的底面是一个正方形，则截去部分合在一起就是一个底面边长与剩下的正方体的棱长相等的长方体；减少的表面积就是这个长方体的4个侧面的面积，所以用减少的表面积除以4，就是一个侧面的面积，再除以高5厘米，就是这个长方体的底面边长，也就是剩下这个正方体的棱长，从而可求出原长方体的底面积．
【规范解答】解：如图，
（厘米）
（平方厘米）；
答：原长方体的底面积是36平方厘米．
【名师点评】本题是考查图形的切拼问题．关键是明确这个长方体上、下部减少的面展开再拼在一起是一个长方形．
1．（2019•济源校级模拟）把一个横截面是正方形的长方体木料锯掉3分米后变成一个正方体，而且原木料的表面积一共减少了48平方分米，求原来长方体的表面积和体积各是多少？
【思路分析】原木料的表面积减少的48平方分米就是锯掉的横截面是正方形、长为3分米的侧面积，由此可以求出这个正方形横截面的周长是：分米，所以这个横截面的边长就是分米，则原来长方体的长就是分米，由此利用长方体的表面积和体积公式代入数据即可计算．
【规范解答】解：长方体的横截面边长为：（分米），
原来长方体的长为：（分米），
所以原来长方体的表面积是：，
，
，
（平方分米）；
原来长方体的体积是：（立方分米）；
答：原来长方体的表面积是144平方分米，体积是112立方分米．
【名师点评】抓住长方体横截面是正方形的特点，根据锯掉部分的侧面积是48平方分米求出横截面的边长，是解决本题的关键．
2．（2019春•伊通县校级期末）从一个长方体上截下一个棱长的立方体后，剩下的部分是一个长方体，它的表面积是，剩下部分的长方体的体积是多少立方厘米？
【思路分析】从一个长方体上截下一个棱长的立方体后，剩下的部分是一个长方体，可知原来长方体的上下底面都是边长5厘米的正方形，即原来长方体的长和宽都是5厘米；长方体的四个侧面的面积是相等的，已知剩下部分长方体的表面积是110平方厘米，减求剩下两个底面的面积，得出它的四个侧面的面积之和，用每个侧面的面积除以5，就可以求出长方体的高；根据体积公式规范解答即可．
【规范解答】解：剩下的部分长方体的每个侧面的面积是：
（平方厘米）；
剩下的部分长方体的高是：
（厘米）；
剩下部分的长方体的体积是：
（立方厘米）；
答：长方体的体积是75立方厘米．
【名师点评】此题规范解答关键是求出剩下的部分长方体的每个侧面的面积，由于原来长方体的长和宽都是5厘米，即可求出剩下部分的高，再根据体积公式规范解答．
3．两个完全相同的小长方体框架长，宽，高．若将这两个小长方体框架焊接成一个大长方体框架，有如下三种情况，则大长方体框架的棱长总和比两个小长方体框架的棱长总和分别减少多少厘米？（先在图上标一标数据，再规范解答）
【思路分析】根据题意可知：把两个小长方体框架最大面重合起来焊成一个长10厘米，宽7厘米，高厘米的长方体；可以把两个小长方体框架前后面重合起来焊成一个长10厘米，宽厘米，高是5厘米的长方体，还可以两个小长方体框架左右面重合起来焊成一个长厘米，宽是7厘米，高是5厘米的长方体．根据长方体的棱长总和（长宽高），分别求出焊成长方体的棱长总和与原来两个小长方体的棱长总和相差多少厘米．
【规范解答】解：如图：
两个小长方体的棱长总和：
（厘米），
（厘米）；
（厘米）；
（厘米）；
答：大长方体框架的棱长总和比两个小长方体框架的棱长总和分别减少68厘米、60厘米、48厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例6．（2019•郴州模拟）一个长方体的高如果增加，就成为一个正方体，这时表面积就比原来增加了．原来长方体的体积是多少？
【思路分析】如果高增加2厘米，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长和宽少2厘米，如果高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了48平方厘米，据此可求出长方体的底面周长，进而求出原长方体的长和宽，从而求出高，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：（厘米）
（厘米）
（厘米）
（立方厘米）
答：原来这个长方体的体积是144立方厘米．
【名师点评】此题考查了长方体的体积，注意题中增加的面积长方体的底面周长增加的高．
1．（2019春•博白县校级期中）把3个棱长相等正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
【思路分析】3个正方体拼成一个长方体后，相当于减少了4个正方体的面，根据表面积就减少了100平方厘米，可求出正方体每个面的面积，进而求出正方体的棱长，然后再求出每个正方体的体积，拼成后的长方体的体积是正方体体积的3倍，即可求出这个长方体的体积．
【规范解答】解：（平方厘米），
因为25平方厘米厘米厘米，
所以正方体的棱长是5厘米，
（立方厘米）．
答：这个长方体的体积是375立方厘米．
故答案为：54．
【名师点评】本题是考查图形的切拼问题、长方体和正方体的体积．规范解答此题的关键是理解3个正方体拼成一个长方体后，减少了几个正方体的面．
2．（2019秋•淮阴区校级月考）如图：一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米．而原来长方体的长是宽的3倍，求新的长方体的表面积是多少平方厘米？
【思路分析】拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，是指增加了正方体的4个面的面积；由此即可求出正方体的一个面的面积是平方厘米，观察图形可知，原来的长方体的宽与高与正方体的棱长相等，原长方体的长是宽和高的3倍，所以原长方体的表面积是14个小正方体的面的面积之和，由此可以求出原长方体的表面积是平方厘米，再加上增加的60平方厘米，就是新长方体的表面积．
【规范解答】解：，
，
（平方厘米），
答：新长方体的表面积是270平方厘米．
【名师点评】规范解答此题要注意结合图形特点，得出原长方体的表面积是14个正方体面的面积之和是规范解答此题的关键．
3．（2019春•邻水县校级月考）把2个一样大的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长总和是，长方体的表面积是多少？体积是多少？
【思路分析】根据题干思路分析可得，把两个正方体拼组成一个大长方体后，长方体的棱长之和是条小正方体的棱长之和，由此即可求出原来小正方体的棱长是厘米，长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了2个正方体面的面积，即长方体的表面积是10个正方体的面的面积之和，体积等于两个正方体的体积之和，由此利用正方体的表面积和体积公式即可规范解答．
【规范解答】解：，
，
（厘米），
长方体的表面积是：（平方厘米），
长方体的体积是：（立方厘米），
答：长方体的表面积是90平方厘米，体积是54立方厘米．
【名师点评】抓住两个正方体拼组长方体的方法，得出长方体的棱长之和是正方体的16条棱长之和是规范解答此题的关键．
考点5：体积的等积变形（求不规则物体的体积）
例7．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？
【思路分析】根据“这时容器中的水深50厘米”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度，列式规范解答即可．
【规范解答】解：水位下降的高度：
（厘米）
露出水面被水浸湿的部分：
（厘米）
答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米．
【名师点评】解决此题明确露出水面的铁棍上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁棍提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解．
1．某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？
【思路分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据正方体的体积公式求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此规范解答．
【规范解答】解：
（厘米）
答：这个零件的高是25厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的、正方体的体积公式的灵活运用，注意正方体铁块铸成长方体零件时体积不变．
2．给一个底面长和宽都是的长方体鱼缸中倒入水．再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出．此时水深．这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计）
【思路分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积公式先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即石头的体积，由此即可列式规范解答．
【规范解答】解：10升立方分米，
（立方分米）
（立方分米）
答：这块观赏石的体积是2.6立方分米．
【名师点评】此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积．
3．（2019•龙海市模拟）一个无水观赏鱼缸长、宽、高分别是、、，在里面方有一块高为、体积为4200立方厘米假石山，如果水管以每分钟8立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？
【思路分析】根据题干可知，鱼缸内的水面高为28厘米时，就能把这个假石山完全淹没，由此只要求出水面高为28厘米时，鱼缸内的水的体积，再除以每分钟注水的体积，即可求出所需要的时间．
【规范解答】解：8立方分米立方厘米，[来源:学&科&网]
，
，
，
（分钟），
答：至少需要3.5分钟才能将假石山完全淹没．
【名师点评】规范解答此题要注意，鱼缸内水的体积是这个鱼缸内高28厘米的容积减去假石山的体积，由此利用长方体的体积公式即可规范解答，注意单位名称要统一．
1．（2019秋•定州市期末）
一个热水瓶可装水3 升 一针筒药水有5
人一天大约要喝水2 一盒牛奶有235
2400毫升毫升 2升毫升
【思路分析】根据生活经验，对体积单位、容积单位和数据大小的认识，可知：
计量一个热水瓶的容积用“升”做单位；
计量一针管药水用“毫升”做单位；
计量人一天大约要喝水用“升”做单位，
计量一盒牛奶用“毫升”做单位，
2400毫升毫升毫升，把3000毫升换算为升，除以进率1000，得3升，所以应用“升”做单位；
首先把2升换算为毫升，用2乘进率1000，再与300相加，即得2300毫升，所以应用“毫升”做单位．
【规范解答】解：
一个热水瓶可装水3 升一针筒药水有5 毫升
人一天大约要喝水2 升一盒牛奶有235 毫升
2400毫升毫升 升2升毫升 毫升
故答案为：升，毫升，升，毫升，升，毫升．
【名师点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
2．（2019春•榆树市校级期末） 0.8
【思路分析】（1）立方分米与升是等量关系二者互化数值不变．
（2）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．
（3）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．
（4）高级单位立方分米化低级单位立方厘米乘进率1000．
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）．
故答案为：0.8，2.7，6000，3050．
【名师点评】立方米、立方分米（升、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率．
3．（2019春•淮南期末）张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是 6 厘米．
【思路分析】首先根据长方体的棱长总和（长宽高），求出铁丝的长度，然后用铁丝的长度除以12即可求出正方体的棱长，据此规范解答．
【规范解答】解：
（厘米），
答：正方体的棱长是6厘米．
故答案为：6．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征以及长方体、正方体棱长总和公式的灵活运用．
4．（2019春•云梦县期中）用 做成一个 ，数字“4”的对面是数字“ 3 ”．
【思路分析】根据正方体的展开图可知，数字“4”的面如果作为底面，那么数字“5”的面就是前面，数字“6”的面就是后面，数字“1”的面是左面，数字“2”的面是右面，数字“3”的面是上面．所以与数字“4”相对的面是数字“3”．
【规范解答】解：根据上面的思路分析得：数字“4”的对面是数字“3”．
故答案为：3．
【名师点评】此题主要考查正方体的特征要即正方体展开图的形状．
5．（2019春•蒙城县期末）一个正方体的表面积是，它的棱长是 2 米．
【思路分析】根据正方体的表面积公式：，首先用表面积除以6求出一个面的面积，进而求出棱长即可．
【规范解答】解：（平方米），
因为，所以棱长是2米．
答：它的棱长是2米．
故答案为：2．
【名师点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用．
6．（2019春•简阳市 期末）两个完全相同的长方体，长，宽，高，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积比原来减少了 70平方厘米
【思路分析】要使拼成的长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个面的面积；由此利用长方体表面积公式即可求得其表面积；
【规范解答】解：比原来减少：（平方厘米）
答：拼成一个表面积最大的长方体后，比原来减少了70平方厘米．
故答案为：70平方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算，明确把2个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小．
7．（2019秋•江都区校级期末）一块长方体钢板，长2.8米，宽1.5米，厚2厘米．这块钢板的体积是 0.084 立方米．
【思路分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：2厘米米
（立方米）
答：这块钢板的体积是0.084立方米．
故答案为：0.084．
【名师点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
8．（2019春•越秀区期末）把3个棱长是的正方体拼成一个长方体．拼成的长方体的体积是 24 ，它的表面积比3个正方体的表面积之和少了 ．
【思路分析】根据题意可知：把3个棱长是的正方体拼成一个长方体．拼成的长方体的体积等于3个正方体的体积和，拼成长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的体积公式：，正方形面积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（立方厘米）；
（平方厘米）；
答：拼成的长方体的体积是24立方厘米，它的表面积比3个正方体的表面积和减少了16平方厘米．
故答案为：24、16．
【名师点评】此题主要考查正方体的体积公式、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
9．（2019春•惠州期中）求下列图形的表面积和体积．
（1）
（2）
【思路分析】（1）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
（2）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）表面积：（平方厘米）；
体积：（立方厘米）；
答：这个正方体的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米．
（2）表面积：
（平方厘米）；
体积：（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是136平方厘米，体积是96立方厘米．
【名师点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
10．（2019春•武城县期末）求如图图形的表面积和体积．
在棱长的正方体的上面挖去一个棱长的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积．
【思路分析】根据图形的特点可知：它的表面积等于小正方体的4个侧面的面积加上大正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式即可求出它的表面积，它的体积等于大小正方体的体积差，根据正方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方分米）；
（立方分米）；
答：它的表面积是448平方分米，体积是448立方分米．
【名师点评】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键熟记公式．
11．（2019春•攀枝花校级期中）计算下面图形的表面积和体积（单位：
【思路分析】根据题意，去掉的小正方体的表面积不变；体积就是原来大长方体的体积减去去掉的小长方体的体积．据此列式规范解答．
【规范解答】解：表面积：[来源:学*科*网]
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：图形的表面积是696平方厘米，体积是1016立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，关键是明白：求表面积时，注意去掉的小正方体的表面积与增加的面积相等．
12．（2019秋•盐城月考）如图，有一个长6分米、宽4分米、高是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【思路分析】根据长方体的特征，相对的棱的长度相等，由图形可知：所需绳子的长度等于2条长条宽条高打结用的2分米，据此规范解答．
【规范解答】解：
（分米），
答：一共用绳子48分米．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长和的计算方法，关键是弄清如何捆扎的．
13．（2019春•黄冈期末）小卖部要做一个长280厘米，宽50厘米，高80厘米的玻璃柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？
【思路分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．由题意可知，求这个柜台需要多少米角铁，也就是求这个长方体的棱长总和，长方体的棱长总和（长宽高），由此列式规范解答．
【规范解答】解：
（厘米）
1640厘米米
答：这个柜台需要16.4米角铁．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，根据长方体的棱长总和的计算方法解决问题，注意单位的统一．
14．（2019春•法库县月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么正方体的棱长是多少？
【思路分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的4组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和（长宽高），
正方体的特征是：12条棱的长度都相等，求出正方体的棱长总和，然后用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长．据此规范解答．
【规范解答】解：，
，
，
（厘米）；
答：正方体的棱长是2厘米．
【名师点评】此题考查的目的是掌握正方体、正方体的特征、以及长方体、正方体的棱长总和公式．
15．（2019春•长春期中）一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.5千克，一共需涂料多少千克？
【思路分析】根据长方体的表面积的计算方法，首先分清求的是哪5个面的总面积，即上面、前后面、左右面；求出5个面积，由此列式规范解答．
【规范解答】解：粉刷面积：
（平方米）
用多少涂料：（千克）
答：一共需涂料370千克．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，特别是利用长方体的表面积计算方法解决实际问题时，首先分清求的是哪些面的总面积．
16．（2019春•东莞市校级期末）一块长方体铁皮，长40厘米，宽30厘米，如图那样从四个角切掉长为5厘米的正方形，然后做成长方体盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？
【思路分析】（1）根据题干，这个盒子用的铁皮的面积就等于这个长方形的铁皮，减去4个边长是5厘米的正方形的面积；
（2）做成的盒子的底面长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，又因为长方体的容积长宽高，据此计算即可规范解答问题．
【规范解答】解：
（平方厘米）
盒子的底面长是（厘米）
宽是（厘米）
高是5厘米
容积是：（立方厘米）
答：这个盒子用了1100平方厘米铁皮，它的容积是3000立方厘米．
【名师点评】规范解答此题的关键是明确做成的盒子的长、宽、高是多少以及盒子的表面积包括哪几个部分．
17．（2019春•法库县校级期末）新建幸福小区要修建一个长50米，宽20米，深3米的游泳池，要在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？如果在池中放入1.5米深的水，需要多少立方米的水？
【思路分析】（1）第一问，求的是长方体的表面积，这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少上面，最后计算这五个面的面积，解决问题．
（2）第二问，求的是长方体的体积，根据长方体的体积计算公式规范解答即可．
【规范解答】解：（1），
，
，
，
（平方米）；
答：贴瓷砖部分的面积是1420平方米．
（2）（立方米）；
答：一共要放入1500立方米水．
【名师点评】此题重点考查学生对长方体表面积和体积计算公式的掌握与运用情况．在计算表面积时，要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积；再求一共要放入多少立方米水时，要乘水的高度，不要乘整个水池的高度．
18．（2019春•绍兴期末）如图是一个玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米．
（1）这个玻璃缸占地面积是多少平方分米？
（2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？
（3）石块沉入前玻璃缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算出这个石块的体积．
【思路分析】（1）求这个玻璃鱼缸的占地面积就是求这个长方体的底面积，用长宽即可求解；
（2）求做这个玻璃鱼缸需要的多少平方分米的玻璃，就是求这个长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体表面积的求解方法进行求解；
（3）上升部分的体积，就是石块的体积，上升部分可以看成是一个长12分米，宽8分米，高2分米的长方体，根据长方体的体积公式即可求解．
【规范解答】解：（1）（平方分米）
答：这个玻璃缸占地面积是96平方分米．
（2）
（平方分米）
答：做这个玻璃鱼缸需要196平方分米的玻璃．
（3）
（立方分米）
答：这个石块的体积是192立方分米．
【名师点评】规范解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算规范解答问题．
19．（2019春•蒙城县期末）一根2.5米长的长方体木料，把它截成3段后，表面积增加了，这根木料的体积是多少立方米？
【思路分析】根据题意可知：把这根长方体木料截成3段后，表面积增加了64平方分米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：64平方分米平方米，
（立方米），
答：这根木料的体积是0.4立方米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：面积单位相邻单位之间的进率及换算．
20．（2019春•隆昌市期末）一个长方体的容器（如图），里面的水深，把这个容器盖紧后竖放，使长、宽的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？（容器的厚度不计）
【思路分析】根据题意可知：这个容器无论正放还是竖放，容器内水的体积不变，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（厘米），
答：这时里面的水深15厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．
21．（2019春•惠阳区期中）一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30厘米，体积为3000立方厘米的假山石．如果水管以每分7立方分米的流量向缸中注水，至少需要多长时间才能将假山石完全浸没？
【思路分析】由题意可知：因为假山石高30厘米，所以当放入假山石鱼缸内的水面高为30厘米时，就能把这个假石山完全淹没，由此只要求出水面高为30厘米时，鱼缸内的水的体积，减去假山石的体积，再除以每分钟注水的体积，即可求出所需要的时间，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：3000立方厘米立方分米
（立方厘米）
30000立方厘米立方分米
（分钟）
答：至少需要3.86分钟才能将假山石完全浸没．
【名师点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
22．（2019秋•东海县期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，水深3分米．现将一个铁块浸入水中，水面上升到4.2分米（无水溢出），求这个铁块的体积是多少立方分米？
【思路分析】这个铁块的体积等于上升水的体积，用长方体容器的底面积乘上升水的高度，列式规范解答即可．
【规范解答】解：
（立方分米）
答：这个铁块的体积是24立方分米．
【名师点评】此题主要考查长方体的体积公式，完全浸入水中的不规则物体的体积等于上升的水的体积．
知识点一：长方体和正方体的认识
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
知识点二：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽
侧面积（左面、右面）＝宽×高 前（后）面积＝长×高
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12
表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）
没盖的表面积＝棱长×棱长×5
知识点三：长方体和正方体的体积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高
字母公式：v=abh v=sh
3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长
4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。
5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。
6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。
8、、体积和容积单位之间的进率：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升
字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1
9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。
考点1：长方体和正方体的特征
例1．（2019秋•海安县期末）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【思路分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．已知“用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米”．所用绳子的长度相当于6条高、4条宽、2条长，再加上打结处共用2分米．由此规范解答．
【规范解答】解：，
，
（分米）；
答：一共要用绳子42分米．
【名师点评】此题考查的目的使学生掌握长方体的特征，根据长方体棱长总和的计算方法规范解答．
1．（2019春•临泽县校级月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，求正方体的棱长．
【思路分析】长方体的棱长总和（长宽高），据此求出长方体的棱长总和，正方体的棱长总和棱长，再用棱长总和除以12即可．
【规范解答】解：，
，
（厘米），
答：正方体的棱长是4厘米．
【名师点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征以及它们棱长总和的计算方法．
2．（2019春•西安期末）某建筑长60米，宽50米，高70米．“七一节“快到了，为增添节日气氛，要给外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），张叔叔去商店买彩灯，每捆100米，他至少买几捆？
【思路分析】根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，要在这个建筑外墙棱上装上彩灯（沿地面一圈不挂），也就是求两条长，两条宽和4条高的长度和；最后用长度和每捆线长度即可规范解答．
【规范解答】解：整个建筑物需挂灯的边长总和为：
（米，
买彩灯捆数为：（捆；
答：他至少买5捆．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先要搞清是求哪几条棱的长度和，由于底面的四边不装，也就是求另外8条棱的长度和，再根据包含除法的意义规范解答即可．
3．（2019春•兴宾区期中）花花过生日，小姨送给她一个蛋糕，蛋糕盒（如图）用丝带捆扎，打结处的丝带长30厘米，捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？[来源:学+科+网]
【思路分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长两条宽条高结头用的30厘米，由此列式规范解答．
【规范解答】解：，
，
（厘米）；
答：捆扎这个蛋糕盒至少需要160厘米的丝带．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法规范解答．
考点2：长方体和正方体的表面积、体积的计算及应用
例2．（2019春•寻乌县期中）计算下面立体图形的表面积和体积．（单位：
【思路分析】（1）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
（2）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是184平方厘米，体积是160立方厘米．
（2）（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
1．（2019春•简阳市 期中）求下列图形的表面积和体积．
【思路分析】根据长方体的表面积：（长宽长高宽高），长方体的体积：，正方体的表面积，体积，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是254平方厘米，体积是210立方厘米．
（平方分米），
（立方分米），
答：这个正方体的表面积是294平方分米，体积是343立方分米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．（2019春•株洲期中）计算下面两个图形的表面积和体积．
【思路分析】（1）图1：根据长方体的表面积公式：，体积公式，规范解答即可；
（2）正方体的表面积公式：，体积公式积：，图2的表面积等于下面长方体的表面积加上上面正方体的4个面的面积，它的体积等于正方体与长方体的体积和．据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）表面积：
（平方米）
体积：
（立方米）
答：这个长方体的表面积是136平方米、体积是96立方米．
（2）表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：图2的表面积是310平方厘米、体积是325立方厘米．
【名师点评】掌握长、正方体的表面积和体积公式是解题的关键．
3．（2019春•龙岗区期中）如图是一个长方体盒子的展开图．
（1）求长方体盒子的表面积．
（2）求长方体盒子的体积．
【思路分析】（1）已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积长宽长高宽高，据此列式规范解答；
（2）已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，用公式：长方体的体积长宽高，据此列式规范解答．
【规范解答】解：
（1）
（平方厘米）
答：长方体盒子的表面积是88平方厘米．
（2）
（立方厘米）
答：长方体盒子的体积是48立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例3．（2019春•罗平县校级期中）在一块长为，宽为的长方形铁皮的四个角上剪去边长为的正方形，然后将它焊成无盖的盒子，这个盒子的表面积和容积各是多少？[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【思路分析】根据题意可知，把这块铁皮在四个角上剪去边为的正方形，将它焊成一个无盖的盒子，盒子的高就是4厘米，长是厘米，宽是厘米，这个盒子的表面积等于这块铁皮的面积减去4个边长是4厘米的正方形的面积和，再根据容积公式：，列式规范解答．
【规范解答】解：盒子的长是：（厘米）
宽是：（厘米）
高是4厘米，
盒子的表面积是：
（平方厘米）；
盒子的体积是：
（立方厘米）；
答：这个盒子的表面积是1056平方厘米，容积是2560立方厘米．
【名师点评】此题属于长方体的表面积和体积的实际应用，在求盒子的体积时，关键是求出盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式解决问题．
1．（2019春•郸城县期末）一只长方体的玻璃缸，长，宽，高，水深，如果投入一块棱长为的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
【思路分析】先根据长方体的体积长宽高，分别计算出水的体积、长方体容器的体积，正方体铁块放玻璃缸中的体积，水的体积正方体的铁块在水中的体积长方体容器的容积溢出的水的体积，注意正方体铁块不是全部浸没在水中，它在容器中的高最大是4分米．据此规范解答即可．
【规范解答】解：
（立方分米）
（升
答：缸里的水溢出16升．
【名师点评】本题主要考查了学生水的体积正方体的铁块在水中的体积长方体容器的容积溢出的水的体积，这一数量关系的掌握情况，注意正方体铁块不是全部浸没在水中，它在容器中的高最大是4分米．
2．（2019•天津模拟）一个长方体容器装一些水，底面长3分米，宽2分米，高1.5分米，将一块土豆放入水中后，水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少立方分米？
【思路分析】由题意得土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2分米的长方体的体积，根据长方体体积长宽高列式规范解答即可．
【规范解答】解：由题意得：土豆的体积等于上升的水的体积为：
（立方分米）．
答：这个土豆的体积是1.2立方分米．
【名师点评】解决本题关键是明确土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2分米的长方体的体积．
3．（2019春•简阳市 期中）把一个棱长是的正方体铁块锻造成一个长、宽是的长方体铁皮，长方体铁皮厚多少？
【思路分析】设长方体铁皮的厚度为，根据题意可得正方体的体积长方体的体积，列方程求解．
【规范解答】解：设长方体铁皮的厚度为，
，
答：长方体铁皮的厚度为．
【名师点评】本题考查了长方体和正方体体积计算公式的应用，规范解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
考点3：组合图形的表面积、体积的计算及应用
例4．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？要给这个零件的表面涂上防锈漆涂漆部分的面积是多少平方厘米？
【思路分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出大小长方体的体积和就是这个零件的体积；由于大小长方体粘合在一起，所以涂漆的面积等于大长方体的表面积加上小长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（立方厘米）；
（平方厘米）；
答：这个零件的体积是1760立方厘米，要给这个零件的表面涂上防锈漆涂漆部分的面积是952平方厘米．
【名师点评】规范解答求组合图形的体积、表面积，关键是观察思路分析图形是有哪几部分组成的，是求各部分的体积（表面积）和、还是求各部分的体积（表面积）差，再个相应的公式规范解答．
1．（2019春•兰溪市期中）求下面立体图形的表面积和体积（单位
【思路分析】图（1）上面正方体只求它的4个面的面积，下面的长方体求出表面积，然后合并起来即可，根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，正方形的面积公式：，正方体的体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
图（2）表面积等于4个正方体的表面积和减去正方体的6个面的面积，也就是求3个正方体的表面积和，它的体积等于4个正方体的体积和，根据正方体的表面积公式：，积公式：，倍数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）表面积：
（平方厘米）；
体积：
（立方厘米）；
答：这个组合图形的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米．
（2）表面积：
（平方厘米）；
体积：
（立方厘米）；
答：这个组合图形的表面积是16200平方厘米、体积是108000立方厘米．
【名师点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
2．（2019春•浦东新区校级期中）求下面组合体的体积和表面积．（单位：米）
【思路分析】（1）根据图形的特点，在求表面积时，右面的小长方体只求它的前后、上下4个面的面积，左面的大长方体求出表面积，然后合并起来即可；它的体积等于大小长方体的体积和．
（2）根据图形的特点，在求表面积时，左面的小长方体只求它的前后、上下4个面的面积，右面的大长方体求出表面积，然后合并起来即可；它的体积等于大小长方体的体积和．
【规范解答】解：（1）
（平方米），
（立方米）；
答：它的表面积是148平方米，体积是80立方米．
（2）
（平方米）；
（立方米）；
答：它的表面积是5.88平方米，体积是0.56立方米．
【名师点评】规范解答求组合图形的体积（表面积），关键是观察思路分析图形是由哪几部分的组成的，是各部分的体积（表面积）和、还是求各部分的体积（表面积）差，再根据相应的体积（表面积）公式规范解答．
3．计算下面图形的表面积和体积．
【思路分析】它的表面积就是长6厘米、宽2厘米、高4厘米的表面积，根据长方体的表面积公式规范解答；它的体积等于大小长方体的体积差，根据长方体的体积公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方厘米）；
（立方厘米）；
答：它的表面积是88平方厘米，体积是40立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
考点4：长方体、正方体的切拼
例5．（2019•江西模拟）一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为和的长方体，乘下的部分便成为一个正方体，表面积减少了．原长方体的底面积是多少？
【思路分析】如图，这个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，可知这个长方体的底面是一个正方形，则截去部分合在一起就是一个底面边长与剩下的正方体的棱长相等的长方体；减少的表面积就是这个长方体的4个侧面的面积，所以用减少的表面积除以4，就是一个侧面的面积，再除以高5厘米，就是这个长方体的底面边长，也就是剩下这个正方体的棱长，从而可求出原长方体的底面积．
【规范解答】解：如图，
（厘米）
（平方厘米）；
答：原长方体的底面积是36平方厘米．
【名师点评】本题是考查图形的切拼问题．关键是明确这个长方体上、下部减少的面展开再拼在一起是一个长方形．
1．（2019•济源校级模拟）把一个横截面是正方形的长方体木料锯掉3分米后变成一个正方体，而且原木料的表面积一共减少了48平方分米，求原来长方体的表面积和体积各是多少？
【思路分析】原木料的表面积减少的48平方分米就是锯掉的横截面是正方形、长为3分米的侧面积，由此可以求出这个正方形横截面的周长是：分米，所以这个横截面的边长就是分米，则原来长方体的长就是分米，由此利用长方体的表面积和体积公式代入数据即可计算．
【规范解答】解：长方体的横截面边长为：（分米），
原来长方体的长为：（分米），
所以原来长方体的表面积是：，
，
，
（平方分米）；
原来长方体的体积是：（立方分米）；
答：原来长方体的表面积是144平方分米，体积是112立方分米．
【名师点评】抓住长方体横截面是正方形的特点，根据锯掉部分的侧面积是48平方分米求出横截面的边长，是解决本题的关键．
2．（2019春•伊通县校级期末）从一个长方体上截下一个棱长的立方体后，剩下的部分是一个长方体，它的表面积是，剩下部分的长方体的体积是多少立方厘米？
【思路分析】从一个长方体上截下一个棱长的立方体后，剩下的部分是一个长方体，可知原来长方体的上下底面都是边长5厘米的正方形，即原来长方体的长和宽都是5厘米；长方体的四个侧面的面积是相等的，已知剩下部分长方体的表面积是110平方厘米，减求剩下两个底面的面积，得出它的四个侧面的面积之和，用每个侧面的面积除以5，就可以求出长方体的高；根据体积公式规范解答即可．
【规范解答】解：剩下的部分长方体的每个侧面的面积是：
（平方厘米）；
剩下的部分长方体的高是：
（厘米）；
剩下部分的长方体的体积是：
（立方厘米）；
答：长方体的体积是75立方厘米．
【名师点评】此题规范解答关键是求出剩下的部分长方体的每个侧面的面积，由于原来长方体的长和宽都是5厘米，即可求出剩下部分的高，再根据体积公式规范解答．
3．两个完全相同的小长方体框架长，宽，高．若将这两个小长方体框架焊接成一个大长方体框架，有如下三种情况，则大长方体框架的棱长总和比两个小长方体框架的棱长总和分别减少多少厘米？（先在图上标一标数据，再规范解答）
【思路分析】根据题意可知：把两个小长方体框架最大面重合起来焊成一个长10厘米，宽7厘米，高厘米的长方体；可以把两个小长方体框架前后面重合起来焊成一个长10厘米，宽厘米，高是5厘米的长方体，还可以两个小长方体框架左右面重合起来焊成一个长厘米，宽是7厘米，高是5厘米的长方体．根据长方体的棱长总和（长宽高），分别求出焊成长方体的棱长总和与原来两个小长方体的棱长总和相差多少厘米．
【规范解答】解：如图：
两个小长方体的棱长总和：
（厘米），
（厘米）；
（厘米）；
（厘米）；
答：大长方体框架的棱长总和比两个小长方体框架的棱长总和分别减少68厘米、60厘米、48厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例6．（2019•郴州模拟）一个长方体的高如果增加，就成为一个正方体，这时表面积就比原来增加了．原来长方体的体积是多少？
【思路分析】如果高增加2厘米，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长和宽少2厘米，如果高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了48平方厘米，据此可求出长方体的底面周长，进而求出原长方体的长和宽，从而求出高，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：（厘米）
（厘米）
（厘米）
（立方厘米）
答：原来这个长方体的体积是144立方厘米．
【名师点评】此题考查了长方体的体积，注意题中增加的面积长方体的底面周长增加的高．
1．（2019春•博白县校级期中）把3个棱长相等正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
【思路分析】3个正方体拼成一个长方体后，相当于减少了4个正方体的面，根据表面积就减少了100平方厘米，可求出正方体每个面的面积，进而求出正方体的棱长，然后再求出每个正方体的体积，拼成后的长方体的体积是正方体体积的3倍，即可求出这个长方体的体积．
【规范解答】解：（平方厘米），
因为25平方厘米厘米厘米，
所以正方体的棱长是5厘米，
（立方厘米）．
答：这个长方体的体积是375立方厘米．
故答案为：54．
【名师点评】本题是考查图形的切拼问题、长方体和正方体的体积．规范解答此题的关键是理解3个正方体拼成一个长方体后，减少了几个正方体的面．
2．（2019秋•淮阴区校级月考）如图：一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米．而原来长方体的长是宽的3倍，求新的长方体的表面积是多少平方厘米？
【思路分析】拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，是指增加了正方体的4个面的面积；由此即可求出正方体的一个面的面积是平方厘米，观察图形可知，原来的长方体的宽与高与正方体的棱长相等，原长方体的长是宽和高的3倍，所以原长方体的表面积是14个小正方体的面的面积之和，由此可以求出原长方体的表面积是平方厘米，再加上增加的60平方厘米，就是新长方体的表面积．
【规范解答】解：，
，
（平方厘米），
答：新长方体的表面积是270平方厘米．
【名师点评】规范解答此题要注意结合图形特点，得出原长方体的表面积是14个正方体面的面积之和是规范解答此题的关键．
3．（2019春•邻水县校级月考）把2个一样大的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长总和是，长方体的表面积是多少？体积是多少？
【思路分析】根据题干思路分析可得，把两个正方体拼组成一个大长方体后，长方体的棱长之和是条小正方体的棱长之和，由此即可求出原来小正方体的棱长是厘米，长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了2个正方体面的面积，即长方体的表面积是10个正方体的面的面积之和，体积等于两个正方体的体积之和，由此利用正方体的表面积和体积公式即可规范解答．
【规范解答】解：，
，
（厘米），
长方体的表面积是：（平方厘米），
长方体的体积是：（立方厘米），
答：长方体的表面积是90平方厘米，体积是54立方厘米．
【名师点评】抓住两个正方体拼组长方体的方法，得出长方体的棱长之和是正方体的16条棱长之和是规范解答此题的关键．
考点5：体积的等积变形（求不规则物体的体积）
例7．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？
【思路分析】根据“这时容器中的水深50厘米”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度，列式规范解答即可．
【规范解答】解：水位下降的高度：
（厘米）
露出水面被水浸湿的部分：
（厘米）
答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米．
【名师点评】解决此题明确露出水面的铁棍上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁棍提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解．
1．某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？
【思路分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据正方体的体积公式求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此规范解答．
【规范解答】解：
（厘米）
答：这个零件的高是25厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的、正方体的体积公式的灵活运用，注意正方体铁块铸成长方体零件时体积不变．
2．给一个底面长和宽都是的长方体鱼缸中倒入水．再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出．此时水深．这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计）
【思路分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积公式先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即石头的体积，由此即可列式规范解答．
【规范解答】解：10升立方分米，
（立方分米）
（立方分米）
答：这块观赏石的体积是2.6立方分米．
【名师点评】此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积．
3．（2019•龙海市模拟）一个无水观赏鱼缸长、宽、高分别是、、，在里面方有一块高为、体积为4200立方厘米假石山，如果水管以每分钟8立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？
【思路分析】根据题干可知，鱼缸内的水面高为28厘米时，就能把这个假石山完全淹没，由此只要求出水面高为28厘米时，鱼缸内的水的体积，再除以每分钟注水的体积，即可求出所需要的时间．
【规范解答】解：8立方分米立方厘米，[来源:学&科&网]
，
，
，
（分钟），
答：至少需要3.5分钟才能将假石山完全淹没．
【名师点评】规范解答此题要注意，鱼缸内水的体积是这个鱼缸内高28厘米的容积减去假石山的体积，由此利用长方体的体积公式即可规范解答，注意单位名称要统一．
1．（2019秋•定州市期末）
一个热水瓶可装水3 升 一针筒药水有5
人一天大约要喝水2 一盒牛奶有235
2400毫升毫升 2升毫升
【思路分析】根据生活经验，对体积单位、容积单位和数据大小的认识，可知：
计量一个热水瓶的容积用“升”做单位；
计量一针管药水用“毫升”做单位；
计量人一天大约要喝水用“升”做单位，
计量一盒牛奶用“毫升”做单位，
2400毫升毫升毫升，把3000毫升换算为升，除以进率1000，得3升，所以应用“升”做单位；
首先把2升换算为毫升，用2乘进率1000，再与300相加，即得2300毫升，所以应用“毫升”做单位．
【规范解答】解：
一个热水瓶可装水3 升一针筒药水有5 毫升
人一天大约要喝水2 升一盒牛奶有235 毫升
2400毫升毫升 升2升毫升 毫升
故答案为：升，毫升，升，毫升，升，毫升．
【名师点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
2．（2019春•榆树市校级期末） 0.8
【思路分析】（1）立方分米与升是等量关系二者互化数值不变．
（2）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．
（3）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．
（4）高级单位立方分米化低级单位立方厘米乘进率1000．
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）．
故答案为：0.8，2.7，6000，3050．
【名师点评】立方米、立方分米（升、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率．
3．（2019春•淮南期末）张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是 6 厘米．
【思路分析】首先根据长方体的棱长总和（长宽高），求出铁丝的长度，然后用铁丝的长度除以12即可求出正方体的棱长，据此规范解答．
【规范解答】解：
（厘米），
答：正方体的棱长是6厘米．
故答案为：6．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征以及长方体、正方体棱长总和公式的灵活运用．
4．（2019春•云梦县期中）用 做成一个 ，数字“4”的对面是数字“ 3 ”．
【思路分析】根据正方体的展开图可知，数字“4”的面如果作为底面，那么数字“5”的面就是前面，数字“6”的面就是后面，数字“1”的面是左面，数字“2”的面是右面，数字“3”的面是上面．所以与数字“4”相对的面是数字“3”．
【规范解答】解：根据上面的思路分析得：数字“4”的对面是数字“3”．
故答案为：3．
【名师点评】此题主要考查正方体的特征要即正方体展开图的形状．
5．（2019春•蒙城县期末）一个正方体的表面积是，它的棱长是 2 米．
【思路分析】根据正方体的表面积公式：，首先用表面积除以6求出一个面的面积，进而求出棱长即可．
【规范解答】解：（平方米），
因为，所以棱长是2米．
答：它的棱长是2米．
故答案为：2．
【名师点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用．
6．（2019春•简阳市 期末）两个完全相同的长方体，长，宽，高，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积比原来减少了 70平方厘米
【思路分析】要使拼成的长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个面的面积；由此利用长方体表面积公式即可求得其表面积；
【规范解答】解：比原来减少：（平方厘米）
答：拼成一个表面积最大的长方体后，比原来减少了70平方厘米．
故答案为：70平方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算，明确把2个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小．
7．（2019秋•江都区校级期末）一块长方体钢板，长2.8米，宽1.5米，厚2厘米．这块钢板的体积是 0.084 立方米．
【思路分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：2厘米米
（立方米）
答：这块钢板的体积是0.084立方米．
故答案为：0.084．
【名师点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
8．（2019春•越秀区期末）把3个棱长是的正方体拼成一个长方体．拼成的长方体的体积是 24 ，它的表面积比3个正方体的表面积之和少了 ．
【思路分析】根据题意可知：把3个棱长是的正方体拼成一个长方体．拼成的长方体的体积等于3个正方体的体积和，拼成长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的体积公式：，正方形面积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（立方厘米）；
（平方厘米）；
答：拼成的长方体的体积是24立方厘米，它的表面积比3个正方体的表面积和减少了16平方厘米．
故答案为：24、16．
【名师点评】此题主要考查正方体的体积公式、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
9．（2019春•惠州期中）求下列图形的表面积和体积．
（1）
（2）
【思路分析】（1）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
（2）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解：（1）表面积：（平方厘米）；
体积：（立方厘米）；
答：这个正方体的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米．
（2）表面积：
（平方厘米）；
体积：（立方厘米）；
答：这个长方体的表面积是136平方厘米，体积是96立方厘米．
【名师点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
10．（2019春•武城县期末）求如图图形的表面积和体积．
在棱长的正方体的上面挖去一个棱长的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积．
【思路分析】根据图形的特点可知：它的表面积等于小正方体的4个侧面的面积加上大正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式即可求出它的表面积，它的体积等于大小正方体的体积差，根据正方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（平方分米）；
（立方分米）；
答：它的表面积是448平方分米，体积是448立方分米．
【名师点评】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键熟记公式．
11．（2019春•攀枝花校级期中）计算下面图形的表面积和体积（单位：
【思路分析】根据题意，去掉的小正方体的表面积不变；体积就是原来大长方体的体积减去去掉的小长方体的体积．据此列式规范解答．
【规范解答】解：表面积：[来源:学*科*网]
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：图形的表面积是696平方厘米，体积是1016立方厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，关键是明白：求表面积时，注意去掉的小正方体的表面积与增加的面积相等．
12．（2019秋•盐城月考）如图，有一个长6分米、宽4分米、高是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
【思路分析】根据长方体的特征，相对的棱的长度相等，由图形可知：所需绳子的长度等于2条长条宽条高打结用的2分米，据此规范解答．
【规范解答】解：
（分米），
答：一共用绳子48分米．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长和的计算方法，关键是弄清如何捆扎的．
13．（2019春•黄冈期末）小卖部要做一个长280厘米，宽50厘米，高80厘米的玻璃柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？
【思路分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．由题意可知，求这个柜台需要多少米角铁，也就是求这个长方体的棱长总和，长方体的棱长总和（长宽高），由此列式规范解答．
【规范解答】解：
（厘米）
1640厘米米
答：这个柜台需要16.4米角铁．
【名师点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，根据长方体的棱长总和的计算方法解决问题，注意单位的统一．
14．（2019春•法库县月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么正方体的棱长是多少？
【思路分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的4组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和（长宽高），
正方体的特征是：12条棱的长度都相等，求出正方体的棱长总和，然后用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长．据此规范解答．
【规范解答】解：，
，
，
（厘米）；
答：正方体的棱长是2厘米．
【名师点评】此题考查的目的是掌握正方体、正方体的特征、以及长方体、正方体的棱长总和公式．
15．（2019春•长春期中）一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.5千克，一共需涂料多少千克？
【思路分析】根据长方体的表面积的计算方法，首先分清求的是哪5个面的总面积，即上面、前后面、左右面；求出5个面积，由此列式规范解答．
【规范解答】解：粉刷面积：
（平方米）
用多少涂料：（千克）
答：一共需涂料370千克．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，特别是利用长方体的表面积计算方法解决实际问题时，首先分清求的是哪些面的总面积．
16．（2019春•东莞市校级期末）一块长方体铁皮，长40厘米，宽30厘米，如图那样从四个角切掉长为5厘米的正方形，然后做成长方体盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？
【思路分析】（1）根据题干，这个盒子用的铁皮的面积就等于这个长方形的铁皮，减去4个边长是5厘米的正方形的面积；
（2）做成的盒子的底面长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，又因为长方体的容积长宽高，据此计算即可规范解答问题．
【规范解答】解：
（平方厘米）
盒子的底面长是（厘米）
宽是（厘米）
高是5厘米
容积是：（立方厘米）
答：这个盒子用了1100平方厘米铁皮，它的容积是3000立方厘米．
【名师点评】规范解答此题的关键是明确做成的盒子的长、宽、高是多少以及盒子的表面积包括哪几个部分．
17．（2019春•法库县校级期末）新建幸福小区要修建一个长50米，宽20米，深3米的游泳池，要在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？如果在池中放入1.5米深的水，需要多少立方米的水？
【思路分析】（1）第一问，求的是长方体的表面积，这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少上面，最后计算这五个面的面积，解决问题．
（2）第二问，求的是长方体的体积，根据长方体的体积计算公式规范解答即可．
【规范解答】解：（1），
，
，
，
（平方米）；
答：贴瓷砖部分的面积是1420平方米．
（2）（立方米）；
答：一共要放入1500立方米水．
【名师点评】此题重点考查学生对长方体表面积和体积计算公式的掌握与运用情况．在计算表面积时，要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积；再求一共要放入多少立方米水时，要乘水的高度，不要乘整个水池的高度．
18．（2019春•绍兴期末）如图是一个玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米．
（1）这个玻璃缸占地面积是多少平方分米？
（2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？
（3）石块沉入前玻璃缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算出这个石块的体积．
【思路分析】（1）求这个玻璃鱼缸的占地面积就是求这个长方体的底面积，用长宽即可求解；
（2）求做这个玻璃鱼缸需要的多少平方分米的玻璃，就是求这个长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体表面积的求解方法进行求解；
（3）上升部分的体积，就是石块的体积，上升部分可以看成是一个长12分米，宽8分米，高2分米的长方体，根据长方体的体积公式即可求解．
【规范解答】解：（1）（平方分米）
答：这个玻璃缸占地面积是96平方分米．
（2）
（平方分米）
答：做这个玻璃鱼缸需要196平方分米的玻璃．
（3）
（立方分米）
答：这个石块的体积是192立方分米．
【名师点评】规范解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算规范解答问题．
19．（2019春•蒙城县期末）一根2.5米长的长方体木料，把它截成3段后，表面积增加了，这根木料的体积是多少立方米？
【思路分析】根据题意可知：把这根长方体木料截成3段后，表面积增加了64平方分米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：64平方分米平方米，
（立方米），
答：这根木料的体积是0.4立方米．
【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：面积单位相邻单位之间的进率及换算．
20．（2019春•隆昌市期末）一个长方体的容器（如图），里面的水深，把这个容器盖紧后竖放，使长、宽的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？（容器的厚度不计）
【思路分析】根据题意可知：这个容器无论正放还是竖放，容器内水的体积不变，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：
（厘米），
答：这时里面的水深15厘米．
【名师点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．
21．（2019春•惠阳区期中）一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30厘米，体积为3000立方厘米的假山石．如果水管以每分7立方分米的流量向缸中注水，至少需要多长时间才能将假山石完全浸没？
【思路分析】由题意可知：因为假山石高30厘米，所以当放入假山石鱼缸内的水面高为30厘米时，就能把这个假石山完全淹没，由此只要求出水面高为30厘米时，鱼缸内的水的体积，减去假山石的体积，再除以每分钟注水的体积，即可求出所需要的时间，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式规范解答．
【规范解答】解：3000立方厘米立方分米
（立方厘米）
30000立方厘米立方分米
（分钟）
答：至少需要3.86分钟才能将假山石完全浸没．
【名师点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
22．（2019秋•东海县期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，水深3分米．现将一个铁块浸入水中，水面上升到4.2分米（无水溢出），求这个铁块的体积是多少立方分米？
【思路分析】这个铁块的体积等于上升水的体积，用长方体容器的底面积乘上升水的高度，列式规范解答即可．
【规范解答】解：
（立方分米）
答：这个铁块的体积是24立方分米．
【名师点评】此题主要考查长方体的体积公式，完全浸入水中的不规则物体的体积等于上升的水的体积．
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