2021年高考数学模拟考试卷十四含解析

高考数学模拟考试卷（十四）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）在复平面内，复数为虚数单位），则对应的点的坐标为　　

A． B． C．， D．，

3．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为　　

A． B． C． D．

6．（5分）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论珍奇鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点，在内球表面上有一点，连接线段．若线段不穿过小球内部，则线段长度的最大值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线上存在点，使得．设△的面积为．若，则该双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列不等式中成立的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，且，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回．某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为ts，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm，则（　　）

A．圆形轨道的周长为（2πvt）km 

B．月球半径为 

C．近月点与远月点的距离为 

D．椭圆轨道的离心率为

12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是　　

A．“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形 

B．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 

C．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体“的体积为 

D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体“的外接球直径为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）的展开式中，第5项为常数项，则　　．

14．（5分）已知向量，的夹角为，，，则　　．

15．（5分）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点在第二象限，在第一象限），，，则双曲线的离心率为　　．

16．（5分）设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式　　．

①存在最小值且最小值不等于；

②不存在正整数，使得且．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为在区间，中正整数的个数，求数列的前项和．

18．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．若（C），，为的中点，求的最大值．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，．

（1）若为中点，求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试．根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰．

（1）求张先生通过面试的概率；

（2）记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

22．（12分）设函数，其中为常数，且．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设函数，，是函数的两个极值点，证明：．

高三模拟考试卷（十四）答案

1．解：由，得，则，

由，得，则，

．

故选：．

2．解：因为，

所以，对应的点．

故选：．

3．解：函数的定义域为，故选项错误；

当时，（1），故选项错误；

当时，，，则，故选项错误．

综上，选项符合题意．

故选：．

4．解：因为，

所以，

则．

故选：．

5．解：某学校高一年级星期五随机安排6节课，

上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，

基本事件总数，

其中2节数学恰好相邻包含的基本事件个数，

则2节数学恰好相邻的概率为．

故选：．

6．解：过球心作截面圆如图，

外层与内层的表面积分别为和，大球与小球的半径分别为5与4，

则的最大值为．

故选：．

7．解：由可得，

设，，

由可得：，

所以，

又因为，即，

所以，

可得离心率，

故选：．

8．解：当时，，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

作出的图象如图：

令，则函数恰有5个零点，

即方程恰有5个根，

即有两个不等实根，且一个根属于，一个根属于，内．

令，

则，解得．

实数的取值范围是．

故选：

9．解：函数，在上单调递增，，故错误；

函数，在上单调递减，，函数，在上单调递增，，

，故正确；

函数单调递减，，故正确；

，故错误，

故选：．

10．解：,

,

是等腰直角三角形，,

,

,

的周期为，且，

，

又,,．

故选：．

11．解：由题，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道，环绕周期为ts，

则可得环绕的圆形轨道周长为vtkm，半径为km，故A错误；

则月球半径为（）km，故B正确；

则近月点与远月点的距离为（m+﹣n）km，故C正确；

设椭圆的方程为（a＞b＞0），则m+R＝a+c，n+R＝a﹣c，

解得2a＝m+n+2R，2c＝m﹣n

所以椭圆的离心率为e＝，故D错误，

故选：BC．

12．解：如图，将“等腰四面体”补成一个长方体，设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，

则，得，

结合图形，容易判断出选项都是正确的；

对于，由，，，得，

因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，所以“等腰四面体”的体积为，故选项正确；

对于，三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为，故选项错误．

故选：．

13．解：二项式的展开式的第5项为，

令，解得，

故答案为：6．

14．解：因为向量，的夹角为，，，

所以，

所以．

故答案为：．

15．解：如图，

由，可得，

则在以为圆心，以为半径的圆上，

联立，解，

设，则，，

又，，，，

解得，，代入，

得，即，

双曲线的离心率为．

故答案为：4．

16．解：因为等差数列的前项和为，

其对应图像为开口向上的抛物线，对称轴为，

若存在最小值且最小值不等于，

则，且，

整理得，，

不存在正整数，使得且，且存在最小值且最小值不等于，

则连续两项取得最小值，令，，

即，

整理得，，

所以，

令，，

则有，

令，则为一个符合题意的通项公式．

故答案为：．

17．解：（1）设等差数列的公差为，

由，，可得，，

解得，，

则；

（2）为在区间，中正整数的个数．

由，则，可得正整数，即，

同理可得，，，

，即，

所以，

则数列的前项和．

18．解：，

，

（1）由，，得：，，

故递减区间，，，

（2）由（C），得，

锐角中，为锐角，

所以，

所以，即，

由余弦定理得，，

，

又，

故有：，

由，（当时取等号）即：的最大值为6．

所以：的最大值为．

19．（1）证明：设交于，因为为正方形，所以为中点，

连接，因为为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）解：因为平面，平面，所以，

又底面为正方形，所以，

又因为，所以平面，

又平面，所以平面平面，

过作于，连接，

又因为平面平面，所以平面，

所以，

所以为直线与平面所成的角，

其正弦值为．

直线与平面所成角的正弦值为．

20．解：（1）记张先生第次答对面试官提出的问题为事件，2，3，4，，则，张先生前三个问题均回答正确为事件，前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件．前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件，则．

根据题意，得，，．

因为事件，，互斥，所以，

即张先生能够通过面试的概率为．

（2）根据题意，，4，5．表明前面三个问题均回答错误（淘汰）或均回答正确（通过），所以；表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误（淘汰）或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确（通过），

所以；表明前面四个问题中有两个回答错误，两个回答正确，所以．

所以的分布列为：

故．

21．解：（1）由题意，点在椭圆上的一个动点，且的最小值为1，得，

因为当垂直长轴时，，所以，即，

又由，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）假设存在斜率为的直线，设为，

由（1）知，，，

所以以线段为直径的圆为，

由题意，圆心到直线的距离，得，

所以，

联立，得，

由题意，△，

解得，又，所以，

设，，，，

则，，

所以

，

若，

则，

所以，解得，或，

又，所以，即，

故存在符合条件的直线，其方程为或．

22．解：（Ⅰ）函数的定义域为，

，

令，

△，

①当时，，，在上单调递增，

②当时，由解得，，

所以，

所以当时，，，单调递增，

当，时，，，单调递减，

当，时，，，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增，

在，上单调递减，

在，上单调递增，

当时，在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的两个极值点为，，则，

所以，，

所以

，

记（a），

（a），

因为，

所以，，

所以（a），（a）在上单调递增，

所以（a），

即，

所以．