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《2021年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题卷)》(浙江卷)（含解析）
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这是一份《2021年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题卷)》(浙江卷)（含解析），共27页。试卷主要包含了在等差数列中，，，记，则数列，已知点，椭圆等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）
A．5500立方尺 B．4000立方尺 C．6000立方尺 D．5000立方尺
6．已知直线与相交于、两点，则为钝角三角形的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在等差数列中，，，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
9．已知点，椭圆：()的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.设过点的动直线与相交于.两点，当的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
第II卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．
12． 的展开式中的系数为______，常数项为__________．
13．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为____，渐近线方程为__________．
14．若，则______，______.
15．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
16.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为_____.
17．设中，，且满足，，当面积最大时，则与夹角的大小是______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角C为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．
21．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，l与y轴的交点为P，点M在抛物线E上，过点M作MN⊥l于点N，如图1．已知cos∠FMN＝，且四边形PFMN的面积为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A，B，C都在抛物线E上（如图2），求正方形ABCD面积的最小值．
22．已知函数．
（1）当时，证明；
（2）当时，令
①若有两个零点，求a的取值范围；
②已知，证明：．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据补给和并集的定义求解即可.
【详解】
易知，则.
故选：D.
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
先求出复数，进而得到其对应点所在象限.
【详解】
,
∴复数在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，
故选：D
3．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上的截距最大时的最优解，代入目标函数计算即可得解.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即.
故选：C.
4．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在处的函数值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
且，满足条件；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于C选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于D选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
，不满足条件.
故选：A.
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）
A．5500立方尺 B．4000立方尺 C．6000立方尺 D．5000立方尺
【答案】D
【解析】
由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积
【详解】
解：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积V13×1×2＝3，四棱锥的体积V21×3×1＝1，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
∴V＝V1+2V2＝5立方丈＝5000立方尺．
故选：D．
6．已知直线与相交于、两点，则为钝角三角形的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设圆心到直线的距离为，根据已知条件可得出，可出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，整理可得，解得.
因为直线不过圆心，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
易知为上的增函数，且为奇函数，将转化为，利用单调性求解.
【详解】
因为函数的定义域为R，且，
所以为奇函数，又为上的增函数，
所以，
即，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8．在等差数列中，，，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】
由题意，计算公差，写出等差数列的通项公式，可得，从而得且，所以可判断数列不存在最小项，且最大项为.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
因为，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
9．已知点，椭圆：()的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.设过点的动直线与相交于.两点，当的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
先由已知求出椭圆方程，再设直线方程l：y＝kx﹣2，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理，将的面积表示为关于k的表达式，利用不等式求得最值及取得最值时的k即可．
【详解】
设椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），
因为直线AF的斜率为，所以，解得c．
又椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，∴，可得a＝2．
则的方程为，
当l⊥x轴时，不存在；所以直线存在斜率，
则设，设.，将代入得：
，由得，
，
又点到直线的距离，
令，则，
则，当且仅当时时等号成立，且满足，∴，
当的面积最大时直线的斜率为，
故选：D.
10．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
要发现与､与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可.
【详解】
令，则方程至少有个实数根，
当时，方程还有一个根，
只要，方程就有个实数根，
，方程只有个实数根，
当时，方程只有个实数根，
当时，方程有个或个实数根，
当时，且，
当时，且，
当时，且，
若时，有一个解，有两个解，
且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故不可能成立，
故选：.
第II卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．
【答案】
【解析】
根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与比较，进行第二次运算，即可得答案.
【详解】
因为，
所以第一次使用“调日法”可得近似分数为，
所以，
所以，
所以第二次使用“调日法”可得近似分数为.
故答案为：
12． 的展开式中的系数为______，常数项为__________．
【答案】 20
【解析】
求出的展开式的通项，分别令和4即可求出的系数，再令可求常数项.
【详解】
的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为，
常数项为.
故答案为：；20.
13．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为____，渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
由题意，双曲线知c = 1，结合其离心率确定参数，即可写出双曲线方程及其渐近线方程.
【详解】
由题意知：，且，得，而，则，
∴双曲线的方程为，故其渐近线方程为.
故答案为：，.
14．若，则______，______.
【答案】
【解析】
利用两角和的正切公式展开即可求解，
再利用化弦为切即可求解.
【详解】
，
故答案为：；.
15．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【答案】
【解析】
设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆易得三棱台的外接球的球心在上，分别求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【详解】
如图所示：
设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，
下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心，
故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，
解得，
所以球的表面积为．
故答案为：．
16.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为_____.
【答案】
【解析】
先按照分层抽样计算出A医院的人数和B医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可.
【详解】
因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中，
A医院有人，B医院有人，
所以从这5人中选出2人，B医院至少有1人的概率为，
由题意可知X的取值可能为0，1，2，
当时，，
当时，，
当时，，
则.
故答案为：，.
17．设中，，且满足，，当面积最大时，则与夹角的大小是______．
【答案】
【解析】
根据向量运算几何意义，运用余弦定理和正弦定理建立边角关系，再应用三角公式求解．
【详解】
解：在中，取中点，连接，设，，
，且满足，，
由向量及其运算几何意义知，，，
，与夹角即为，
设，则，；设的面积为，
，；
由余弦定理得，
，
当，即，时，取最大值．
由正弦定理得，
所以，
因为为锐角，所以．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角C为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
(1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，
所以
.
(2)因为 ，且 ，所以 ，
又 ，
则 ，
所以 .
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）根据三角形的中位线和平行四边形性质证得EF∥DM，再根据线面平行的判定定理可得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量计算方法求得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则，，
又由题意有，，，故，，
∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM，
又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，
由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，
又AD⊥NH，
故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面PBF的一个法向量为，则，可取，
又，故，
∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)[20,+∞).
【解析】
(1)由递推公式消去Sn，得an+1与an的关系式，推得等比数列；
(2)求出bn的表达式，利用裂项相消法求出Tn，再转化为恒成立问题解决.
【详解】
(1)Sn是数列{an}的前n项和，a1=S1=2，而，
时，，所以，
，，即数列{an}是a1=2，公比q=2的等比数列；
(2)由(1)知，，
，
而Tn≥10，即，显然数列是递减的，
n=1时，，所以，即的取值范围是[20,+∞).
21．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，l与y轴的交点为P，点M在抛物线E上，过点M作MN⊥l于点N，如图1．已知cos∠FMN＝，且四边形PFMN的面积为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A，B，C都在抛物线E上（如图2），求正方形ABCD面积的最小值．
【答案】（1），（2）8
【解析】
（1）设，可推出，通过四边形PFMN的面积为，求出，从而可得抛物线的方程；
（2）设，直线的斜率为，不妨设，则，由斜率公式得，再由，可得，从而得，由可得，则，所以可得正方形ABCD面积为，然后利用基本不等式求其最小值
【详解】
解：（1）设，由已知可得，
因为四边形PFMN的面积为，所以，
解得，
所以抛物线E的方程为，
（2）设，直线的斜率为，
不妨设，则，且，
因为，所以，
由，得，即，
即，
将代入得，
所以，所以，
所以正方形ABCD面积为
因为，所以（当且仅当时取等号）
因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以正方形ABCD面积的最小值为8
22．已知函数．
（1）当时，证明；
（2）当时，令
①若有两个零点，求a的取值范围；
②已知，证明：．
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析.
【解析】
（1）当时，可得，令，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
（2）当时，单调，①若有两个零点，转化为在有两个解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解；②令，令导数得到，即，进而得到结论.
【详解】
（1）当时，函数，
令，令，即证，
又由，令，可得，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，使得，
即，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以，即.
（2）当时，令
①若有两个零点，即有两个解，
即在有两个解，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，当时，，当时，，
若方程在有两个解，即与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值范围是.
②令，可得，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由时，，所以，即，
可得，
则，
又由，
则，所以.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）
A．5500立方尺 B．4000立方尺 C．6000立方尺 D．5000立方尺
6．已知直线与相交于、两点，则为钝角三角形的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在等差数列中，，，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
9．已知点，椭圆：()的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.设过点的动直线与相交于.两点，当的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
第II卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．
12． 的展开式中的系数为______，常数项为__________．
13．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为____，渐近线方程为__________．
14．若，则______，______.
15．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
16.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为_____.
17．设中，，且满足，，当面积最大时，则与夹角的大小是______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角C为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．
21．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，l与y轴的交点为P，点M在抛物线E上，过点M作MN⊥l于点N，如图1．已知cos∠FMN＝，且四边形PFMN的面积为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A，B，C都在抛物线E上（如图2），求正方形ABCD面积的最小值．
22．已知函数．
（1）当时，证明；
（2）当时，令
①若有两个零点，求a的取值范围；
②已知，证明：．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据补给和并集的定义求解即可.
【详解】
易知，则.
故选：D.
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
先求出复数，进而得到其对应点所在象限.
【详解】
,
∴复数在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，
故选：D
3．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上的截距最大时的最优解，代入目标函数计算即可得解.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即.
故选：C.
4．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在处的函数值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
且，满足条件；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于C选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于D选项，设，该函数的定义域为，
，该函数为奇函数，
，不满足条件.
故选：A.
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）
A．5500立方尺 B．4000立方尺 C．6000立方尺 D．5000立方尺
【答案】D
【解析】
由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积
【详解】
解：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积V13×1×2＝3，四棱锥的体积V21×3×1＝1，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
∴V＝V1+2V2＝5立方丈＝5000立方尺．
故选：D．
6．已知直线与相交于、两点，则为钝角三角形的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设圆心到直线的距离为，根据已知条件可得出，可出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，整理可得，解得.
因为直线不过圆心，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
易知为上的增函数，且为奇函数，将转化为，利用单调性求解.
【详解】
因为函数的定义域为R，且，
所以为奇函数，又为上的增函数，
所以，
即，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8．在等差数列中，，，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】
由题意，计算公差，写出等差数列的通项公式，可得，从而得且，所以可判断数列不存在最小项，且最大项为.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
因为，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
9．已知点，椭圆：()的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.设过点的动直线与相交于.两点，当的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
先由已知求出椭圆方程，再设直线方程l：y＝kx﹣2，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理，将的面积表示为关于k的表达式，利用不等式求得最值及取得最值时的k即可．
【详解】
设椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），
因为直线AF的斜率为，所以，解得c．
又椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，∴，可得a＝2．
则的方程为，
当l⊥x轴时，不存在；所以直线存在斜率，
则设，设.，将代入得：
，由得，
，
又点到直线的距离，
令，则，
则，当且仅当时时等号成立，且满足，∴，
当的面积最大时直线的斜率为，
故选：D.
10．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
要发现与､与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可.
【详解】
令，则方程至少有个实数根，
当时，方程还有一个根，
只要，方程就有个实数根，
，方程只有个实数根，
当时，方程只有个实数根，
当时，方程有个或个实数根，
当时，且，
当时，且，
当时，且，
若时，有一个解，有两个解，
且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故不可能成立，
故选：.
第II卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，，则是的更为精确的近似值．己知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为________．
【答案】
【解析】
根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与比较，进行第二次运算，即可得答案.
【详解】
因为，
所以第一次使用“调日法”可得近似分数为，
所以，
所以，
所以第二次使用“调日法”可得近似分数为.
故答案为：
12． 的展开式中的系数为______，常数项为__________．
【答案】 20
【解析】
求出的展开式的通项，分别令和4即可求出的系数，再令可求常数项.
【详解】
的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为，
常数项为.
故答案为：；20.
13．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为____，渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
由题意，双曲线知c = 1，结合其离心率确定参数，即可写出双曲线方程及其渐近线方程.
【详解】
由题意知：，且，得，而，则，
∴双曲线的方程为，故其渐近线方程为.
故答案为：，.
14．若，则______，______.
【答案】
【解析】
利用两角和的正切公式展开即可求解，
再利用化弦为切即可求解.
【详解】
，
故答案为：；.
15．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【答案】
【解析】
设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆易得三棱台的外接球的球心在上，分别求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【详解】
如图所示：
设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，
下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心，
故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，
解得，
所以球的表面积为．
故答案为：．
16.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为_____.
【答案】
【解析】
先按照分层抽样计算出A医院的人数和B医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可.
【详解】
因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中，
A医院有人，B医院有人，
所以从这5人中选出2人，B医院至少有1人的概率为，
由题意可知X的取值可能为0，1，2，
当时，，
当时，，
当时，，
则.
故答案为：，.
17．设中，，且满足，，当面积最大时，则与夹角的大小是______．
【答案】
【解析】
根据向量运算几何意义，运用余弦定理和正弦定理建立边角关系，再应用三角公式求解．
【详解】
解：在中，取中点，连接，设，，
，且满足，，
由向量及其运算几何意义知，，，
，与夹角即为，
设，则，；设的面积为，
，；
由余弦定理得，
，
当，即，时，取最大值．
由正弦定理得，
所以，
因为为锐角，所以．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角C为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
(1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，
所以
.
(2)因为 ，且 ，所以 ，
又 ，
则 ，
所以 .
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）根据三角形的中位线和平行四边形性质证得EF∥DM，再根据线面平行的判定定理可得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量计算方法求得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则，，
又由题意有，，，故，，
∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM，
又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，
由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，
又AD⊥NH，
故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面PBF的一个法向量为，则，可取，
又，故，
∴直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)[20,+∞).
【解析】
(1)由递推公式消去Sn，得an+1与an的关系式，推得等比数列；
(2)求出bn的表达式，利用裂项相消法求出Tn，再转化为恒成立问题解决.
【详解】
(1)Sn是数列{an}的前n项和，a1=S1=2，而，
时，，所以，
，，即数列{an}是a1=2，公比q=2的等比数列；
(2)由(1)知，，
，
而Tn≥10，即，显然数列是递减的，
n=1时，，所以，即的取值范围是[20,+∞).
21．已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，l与y轴的交点为P，点M在抛物线E上，过点M作MN⊥l于点N，如图1．已知cos∠FMN＝，且四边形PFMN的面积为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A，B，C都在抛物线E上（如图2），求正方形ABCD面积的最小值．
【答案】（1），（2）8
【解析】
（1）设，可推出，通过四边形PFMN的面积为，求出，从而可得抛物线的方程；
（2）设，直线的斜率为，不妨设，则，由斜率公式得，再由，可得，从而得，由可得，则，所以可得正方形ABCD面积为，然后利用基本不等式求其最小值
【详解】
解：（1）设，由已知可得，
因为四边形PFMN的面积为，所以，
解得，
所以抛物线E的方程为，
（2）设，直线的斜率为，
不妨设，则，且，
因为，所以，
由，得，即，
即，
将代入得，
所以，所以，
所以正方形ABCD面积为
因为，所以（当且仅当时取等号）
因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以正方形ABCD面积的最小值为8
22．已知函数．
（1）当时，证明；
（2）当时，令
①若有两个零点，求a的取值范围；
②已知，证明：．
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析.
【解析】
（1）当时，可得，令，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
（2）当时，单调，①若有两个零点，转化为在有两个解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解；②令，令导数得到，即，进而得到结论.
【详解】
（1）当时，函数，
令，令，即证，
又由，令，可得，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，使得，
即，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以，即.
（2）当时，令
①若有两个零点，即有两个解，
即在有两个解，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，当时，，当时，，
若方程在有两个解，即与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值范围是.
②令，可得，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由时，，所以，即，
可得，
则，
又由，
则，所以.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
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