2021年高考数学模拟考试卷二含解析

高考数学模拟考试卷（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．，0，

2．（5分）在复平面内，复数为虚数单位），则对应的点的坐标为　　

A． B． C．， D．，

3．（5分）已知函数为奇函数，则　　

A． B． C． D．1

4．（5分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中正确的为　　

A．15名志愿者身高的极差大于臂展的极差 

B．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 

C．身高为190厘米的人臂展一定为189.65厘米 

D．15名志愿者身高和臂展成正相关关系

5．（5分）已知表示一条直线，，表示两个不同的平面，下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

6．（5分）已知各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，若中存在两项，，使得为其等比中项，则的最小值为　　

A．4 B．9 C． D．

7．（5分）已知数列的前项和为，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知抛物线，过其焦点作抛物线相互垂直的两条弦、，设、的中点分别为、，则直线与轴交点的坐标是　　

A． B． C． D．不能确定

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是　　

A． 

B．长度落在区间，内的个数为35 

C．长度的众数一定落在区间，内 

D．长度的中位数一定落在区间，内

10．（5分）已知函数，，的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．在区间，上单调递增 

C．的图象关于直线对称 

D．的图象关于点，成中心对称

11．（5分）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法中正确的　　

A．平面 

B．与平面所成角的正切值的最大值是 

C．的最小值为 

D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是

12．（5分）已知双曲线，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是　　

A．当轴时， 

B．双曲线的离心率 

C．为定值 

D．若为△的内心，满足，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设，，，则，，的大小关系是        （按照从大到小的顺序排列）

14．（5分）若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有项的系数为　　．

15．（5分）在梯形中，，，，，，则的面积是　　．

16．（5分）设定义在上的函数在点，处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若锐角满足，求的值．

18．（12分）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

19．（12分）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．

（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（2）若现在是小明以的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．

20．（12分）如图，三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，点在棱上，点是的重心．

（1）若是的中点，证明：面；

（2）是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，的长轴是圆的直径．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值．

22．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若在，上有两个零点，求实数的取值范围．

高三模拟考试卷（二）答案

1．解：，，0，，

．

故选：．

2．解：因为，

所以，对应的点．

故选：．

3．解：根据题意，函数为奇函数，则，

即，变形可得：，

必有，

故选：．

4．解：由图1可知，身高的最大值略小于臂展的最大值，身高的最小值大于臂展的最小值，

则身高极差小于臂展的极差，故错误；

由回归方程为，

可知身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，不是准确值，故错误；

把身高190厘米，代入回归方程可得展臂大约为189.65厘米，不是准确值，故错误；

由相关系数，可知15名志愿者身高和臂展成正相关关系，故正确．

故选：．

5．解：、若，，则，故正确；

、若，，则与平行或相交，故错误；

、若，，则与相交或平行，故错误；

、若，，则与平行或相交，故错误．

故选：．

6．解：设各项均为正数的等比数列的公比为，，

由，，成等差数列，可得，

即，

解得舍去），

中存在两项，，使得为其等比中项，

可得，

化简可得，，，

则，

当且仅当时，上式取得等号．

故选：．

7．解：，

，，

两式相减得：，即，即，，

当时，，

又当时，也适合上式，

，

，

故选：．

8．解：由抛物线的方程可得焦点，显然过的互相垂直的直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为：，设，，，，

联立，整理可得：，

所以，则，

所以的中点的坐标，，

由题意可得直线的方程为：，设，，，，

联立整理可得：，

则，所以的中点的纵坐标为：，代入直线的方程为，

所以的中点，，

所以，

所以直线的方程为：，

令，可得：，

故选：．

9．解：对于：由频率之和为1，得，解得，所以选项正确，

对于选项：长度落在区间，内的个数为，所以选项正确，

对于选项：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间，内，所以选项错误，

对于选项：对这100件产品，因为，而，所以长度的中位数一定落在区间，内，所以选项正确，

故选：．

10．解：根据函数的图象：周期，解得，

故．

进一步求得．

当时，，由于，

所以．

所以，

函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

故对于：函数的最小正周期为，故正确；

对于：由于，，所以，故函数在区间，上单调递减，故错误；

对于：当时，，故函数的图象关于直线对称，故正确；

对于：当时，，故错误．

故选：．

11．解：对于，由于平面平面，所以平面，所以正确；

对于，当时，与所成角的正切值最大，最大值是，所以正确；

对于，将△沿翻折与在同一个平面，且点，在直线的异侧，

此时，此时，所以的最小值为，所以正确；

对于，由于平面，所以交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆周，所以交线长为，所以正确．

故选：．

12．解：因为，，成等比数列，所以，

中，轴时，的坐标为：即，

所以，所以，所以不正确；

中，因为，所以可得，可得，又，

解得：，所以正确；

，设，，则，所以，

由题意可得，，所以，

由，可得，所以正确；

中因为，所以，

可得，所以正确；

故选：．

13．解：，

，

，

．

故答案为：．

14．解：的展开式中所有项的二项式系数和为32，

，

解得，

该二项式展开式中含有项的系数为，

故答案为：80．

15．解：在中，由余弦定理可得：，

所以，

所以的面积为：，

因为．

所以的面积为．

故答案是：．

16．解：，

，，

即函数的定义域为，

所以函数在点，处的切线方程为：

，

则，

设，

则，

所以，

当，即时，在，上单调递减，

所以，

所以，，

当，即时，在，上单调递增，

所以，

所以，，

所以在，，上不存在“类对称点”，

若，即时，，单调递增，

当时，，

当时，，

所以，，

综上，可得存在“类对称点”， 是一个“类对称点”的横坐标，

又，

故答案为：，．

17．解：（1），

故的最小正周期为．

（2）锐角满足，

．

18．（1）解：由可得：，

两式相减得：，即，，

又当时，有也适合上式，

；

（2）证明：由（1）可得：，

．

19．解：（1）恰好打了7局小明获胜的概率是，

恰好打了7局小亮获胜的概率为，

比赛结束时恰好打了7局的概率为，

（2）的可能取值为2，3，4，5，

，

，

，

，

的分布列如下：

．

20．（1）证明：延长交于，连接，

点是的重心，为的中点，

、分别为、的中点，，．

又，平面平面，

又平面，平面；

（2）解：连接，，

，又是的中点，

，

平面平面，而平面平面，平面，

平面．

如图，以为坐标原点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系．

设，则，．

，0，，，，，，，，

，，，，0，，

假设存在点，使二面角的大小为，设，，．

则，，．

，，．

又，

设平面的法向量为，

由，

令，得；

又平面的一个法向量为，

而二面角的大小为，

，

即，解得．

存在点，使二面角的大小为，此时．

21．解：（1）由，得，

由，得，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可得，

①当过点的直线的斜率不存在时，，，

所以，

②当过点的直线的斜率为0时，，，

这是，

③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，，，，

由，得，

所以，，

，

所以，

直线的方程为，

坐标原点到直线的距离，

则，

所以，

由，得，

即，，

综上所述，四边形的面积的最小值为2．

22．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若在，上有两个零点，求实数的取值范围．

解：（1）的定义域为，

，

①当时，令，得到；令，得到，

此时在上为减函数，在上为增函数；

②当时，令，得到；令，得到或，

此时在上为减函数，在和上为增函数；

③当时，显然恒成立，此时在上为增函数；

④当时，令，得到，令，得到或，

此时在上为减函数，在和上为增函数；

综上：当时，在上为减函数，在上为增函数；

当时，在上为减函数，在和上为增函数；

当时，在上为增函数；

当时，在上为减函数，在和上为增函数．

（2），

在，上有两个零点，

即关于的方程在，上有两个不相等的实数根．

令函数，，．

则．

令函数，，．

则在，上有．

故在，上单调递增．

（1），，时，有，即，单调递减；

当时，有，即，单调递增．

，（1），（4），

的取值范围是，．