2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（下）期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣（﹣3）2 的运算结果是（　　）
A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9
2．（3分）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．2﹣2＝﹣ C．a2•a3＝a5 D．x2+x2＝x4
4．（3分）小刚参加射击比赛，成绩统计如表，下列说法正确的是（　　）
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
A．极差是2环 B．中位数是8环
C．众数是9环 D．平均数是9环
5．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）把60个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里，大盒装6个，小盒装4个，当把乒乓球都装完的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有（　　）
A．2种 B．4种 C．6种 D．8种
8．（3分）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（　　）

A．6 B．7 C．10 D．13
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
二、填空题（每题3分，共21分）
11．（3分）“厉害了，我的国！”2019年1月18日，国家统计局对外宣布，全年国内生产总值首次登上820000亿元的新台阶，把820000用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）直角三角形的两直角边长分别为4cm，3cm，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是　 　cm2．
14．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　 　．
15．（3分）以A，B，C，D为顶点的菱形中，AB＝3，∠ABD＝30°，则菱形的面积为　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为　 　．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为　 　．

三、解答题（共69分）
18．（5分）（1）计算：+|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160；
（2）因式分解：1﹣x2+2xy﹣y2．
19．（5分）解方程：（2x﹣1）（x+1）＝（3x+1）（x+1）．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

21．（10分）国务院办公厅发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表，请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，且补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优等奖对应的扇形圆心角的度数是多少？
（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
获奖等次
频数
频率
一等奖
10
0.05
二等奖
20
0.10
三等奖
30
b
优等奖
a
0.30
鼓励奖
80
0.40

22．（10分）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了　 　小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

23．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　 　；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当BD为何值时，∠DEC＝30°；（直接写出结果）
②点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24．（14分）如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点D处，连接AC．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）直接写出tan∠CAD的值；
（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；
（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．


2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣（﹣3）2 的运算结果是（　　）
A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9
【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：﹣（﹣3）2＝﹣9．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础概念题，根据乘方的定义，指数是底数的个数，初学者容易出错．
2．（3分）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据对称轴的概念求解．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．2﹣2＝﹣ C．a2•a3＝a5 D．x2+x2＝x4
【分析】根据同底数幂的乘法法则、零次幂的性质、负整式指数幂的性质、合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：A、a0＝1（a≠0），故原题说法错误；
B、2﹣2＝，故原题计算错误；
C、a2•a3＝a5，故原题计算正确；
D、x2+x2＝2x2，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法、零次幂、负整式指数幂、合并同类项，关键是掌握各计算法则．
4．（3分）小刚参加射击比赛，成绩统计如表，下列说法正确的是（　　）
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
A．极差是2环 B．中位数是8环
C．众数是9环 D．平均数是9环
【分析】根据平均数、极差、众数和中位数的概念逐一计算可得．
【解答】解：A、极差为10﹣6＝4环，故错误，不符合题意；
B、中位数为＝8环，正确，符合题意；
C、7环和9环均出现2次，最多，故众数为7环和9环，故错误，不符合题意；
D、平均数为（6+7×3+8×2+9×3+10）＝8环，故错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了统计的基础知识，解题的关键是了解各个量的计算方法，难度不大．
5．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求出∠2，∠3，∠4，∠5的度数，然后选出错误的选项．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，∠2＝∠1＝60°，
∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°，
∵三角板为直角三角板，
∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（3分）把60个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里，大盒装6个，小盒装4个，当把乒乓球都装完的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有（　　）
A．2种 B．4种 C．6种 D．8种
【分析】可设大盒x盒，小盒y盒，根据等量关系：大盒的乒乓球个数+小盒的乒乓球个数＝60，列出方程，再根据正整数的定义即可求解．
【解答】解：设大盒x盒，小盒y盒，依题意有
6x+4y＝60，
y＝，
∵x，y都是正整数，
∴x＝2时，y＝12；
x＝4时，y＝9；
x＝6时，y＝6；
x＝8时，y＝3；
故不同的装球方法有4种．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，是二元一次方程整数解的应用．
8．（3分）用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则最少需要小立方块的个数为（　　）

A．6 B．7 C．10 D．13
【分析】从正视图和侧视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最少与最多的数目．
【解答】解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块．
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一列与第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最底层有一块即可．
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第二列中有一个二层，其余为一层，第三列一层，共10块．
故选：C．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，难度中等．
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝70°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝70°，求得∠COD＝40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
【解答】解：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝∠AOC＝55°．
故选：D．
【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（每题3分，共21分）
11．（3分）“厉害了，我的国！”2019年1月18日，国家统计局对外宣布，全年国内生产总值首次登上820000亿元的新台阶，把820000用科学记数法表示为　8.2×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将820000用科学记数法表示为：8.2×105．
故答案是：8.2×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是　x＞3且x≠4　．
【分析】根据分母不为零、二次根式被开方数为非负数、非零数零指数幂有意义的条件求解可得．
【解答】解：要使函数y＝+（x﹣4）0有意义，
则x﹣3＞0且x﹣4≠0，
解得x＞3且x≠4，
故答案为：x＞3且x≠4．
【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，关键是把握a0＝1（a≠0），被开方数为非负数、分母不为零的条件．
13．（3分）直角三角形的两直角边长分别为4cm，3cm，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是　15π　cm2．
【分析】易得此几何体为圆锥，利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为4cm，3cm，
∴由勾股定理得斜边为5，
以4cm边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周，
则所得到的几何体的底面周长＝6πcm，
侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　m≥2且m≠3　．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
【点评】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
15．（3分）以A，B，C，D为顶点的菱形中，AB＝3，∠ABD＝30°，则菱形的面积为　或或　．
【分析】如图1，过点A作AE⊥BC于E，如图2，连接CD交AB于O，如图3，过A作AH⊥BD于H，根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图1，过点A作AE⊥BC于E，
∵在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝30°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝，
∴菱形ABCD的面积是3×＝，
如图2，连接CD交AB于O，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AO＝BO＝AB＝，DO＝CO，AB⊥CD，
∵∠ABD＝30°，
∴OD＝OB＝，
∴CD＝，
∴菱形的面积为×3＝；
如图3，过A作AH⊥BD于H，
则∠AHB＝90°，
∵AB＝3，∠ABD＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴菱形的面积为AH•BD＝×3＝，
综上所述，菱形的面积为或或，
故答案为：或或．



【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，菱形面积的计算，分类讨论思想的运用是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为　20　．

【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故答案为20．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣22017，22017）　．

【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
【解答】解：由题意得，
A1的坐标为（1，0），
A2的坐标为（1，），
A3的坐标为（﹣2，2），
A4的坐标为（﹣8，0），
A5的坐标为（﹣8，﹣8），
A6的坐标为（16，﹣16），
A7的坐标为（64，0），
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
∵2019÷6＝336…3，
∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，
故答案为：（﹣22017，22017）．
【点评】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．
三、解答题（共69分）
18．（5分）（1）计算：+|﹣3|﹣2sin60°﹣（）2+20160；
（2）因式分解：1﹣x2+2xy﹣y2．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接将后三项分组，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣2×﹣3+1
＝2+3﹣﹣﹣3+1
＝1；

（2）原式＝1﹣（x﹣y）2
＝（1﹣x+y）（1+x﹣y）．
【点评】此题主要考查了实数运算以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
19．（5分）解方程：（2x﹣1）（x+1）＝（3x+1）（x+1）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）（x+1）﹣（3x+1）（x+1）＝0，
∴（x+1）（﹣x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或﹣x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．

（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，
根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．

【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
21．（10分）国务院办公厅发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表，请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　60　，b＝　0.15　，且补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优等奖对应的扇形圆心角的度数是多少？
（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
获奖等次
频数
频率
一等奖
10
0.05
二等奖
20
0.10
三等奖
30
b
优等奖
a
0.30
鼓励奖
80
0.40

【分析】（1）根据公式频率＝频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值；用总人数乘以优等奖的频率，求出优等奖的频数，从而补全统计图；
（2）根据公式获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数＝优胜奖的频率×360°计算即可；
（3）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）样本总数为20÷0.10＝200人，
a＝200﹣10﹣20﹣30﹣80＝60人，
b＝30÷200＝0.15，
优等奖的频数是：200×0.3＝60（人），补图如下：

故答案为60，0.15；

（2）获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是：0.30×360°＝108°；

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙二人的有2种，
则恰好选中甲、乙二人的概率是：＝．
【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解．
22．（10分）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了　1.9　小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x＝6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x＝4.9，求出此时的y乙﹣y甲，在点D有x＝7，也求出此时的y甲﹣y乙，分别同25比较即可．
【解答】解：（1）1.9；

（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx+b，
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴，
解得∴直线EF的解析式是y乙＝80x﹣100；
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100＝380；
∴点C的坐标是（6，380）；
设直线BD的解析式为y甲＝mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴；
解得；∴BD的解析式是y甲＝100x﹣220；
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．

（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，
在点D有y甲﹣y乙＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点评】本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
23．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　等边三角形　；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当BD为何值时，∠DEC＝30°；（直接写出结果）
②点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，根据等边三角形的判定定理解答；
（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，结合图形计算即可；
（3）①分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；
②根据△ABD≌△ACE得到CE＝BD，根据垂线段最短解答．
【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）AC+CD＝CE，
证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）①BD为2或8时，∠DEC＝30°，
当点D在线段BC上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，
∴∠AEC＝90°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝2，
当点D在线段BC的延长线上时，∵∠DEC＝30°，∠AED＝60°，
∴∠AEC＝30°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝30°，又∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB＝8，
∴BD为2或8时，∠DEC＝30°；
②点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，
当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，
当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，
∴△DEC的周长≥BC+DE，
∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
AD的最小值为2，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．（14分）如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点D处，连接AC．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
（2）直接写出tan∠CAD的值；
（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；
（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，故点B（2，0）、点C（0，6），由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（﹣6，0）、（0，2）；再用待定系数法即可求解；
（2）由S△ACD＝×CD×AO＝×AC×HD，即×4×6＝××HD，解得HD＝2，则sin∠CAD＝＝，即可求解；
（3）由S△CPQ＝×CQ×|xP|＝×t（6﹣t）＝﹣（t2﹣6t），即可求解；
（4）分AD是正方形的对角线、AD是正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解．
【解答】解：（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，
故点B（2，0）、点C（0，6），
由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（﹣6，0）、（0，2）；
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式中得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；

（2）过点D作DH⊥AC于点H，

则S△ACD＝×CD×AO＝×AC×HD，即×4×6＝××HD，
解得HD＝2，
根据勾股定理得，AH＝＝＝4，
故tan∠CAD＝；
（3）∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，
由题意得：PC＝2t，CQ＝6﹣t，
则|xP|＝PC•cos45°＝t，
则S△CPQ＝×CQ×|xP|＝×t（6﹣t）＝﹣（t2﹣6t），
∵﹣＜0，故S△CPQ有最大值，当t＝3时，其最大值为，
当t＝3时，PC＝6，点P的纵坐标为6﹣3，
故点P（﹣3，6﹣3）；

（4）①当AD是正方形的对角线时，则正方形为ANDM′，
设M′N交AD于R，交x轴于点H，
则点R是AD的中点，则点R（﹣3，1），
在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝＝，则tan∠RHA＝3，
则设直线M′N的表达式为y＝﹣3x+b，将点R的坐标代入上式并解得b＝﹣8，
故直线M′N的表达式为y＝﹣3x﹣8，设点N（m，﹣3m﹣8），
过点N作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点G，交y轴于点K，

∵∠DNK+∠ANG＝90°，∠ANG+∠NAG＝90°，
∴∠NAG＝∠DNK，
∵∠NGA＝∠DKN＝90°，AN＝DN，
∴△NGA≌△DKN（AAS），
∴GN＝DK，即m+6＝2+3m+8，解得m＝﹣2，
故点N的坐标为（﹣2，﹣2）；
②当AD是正方形的边时，
当DN′是边时，
同理可得：△DSN′≌△AOD（AAS），
∴N'S＝OD＝2，DS＝AO＝6，
故点N′（﹣2，8）；
当AN是边时，点N对应的是上图中的点M，
同理可得，点M（﹣8，6），即点N″（﹣8，6）；
综上，点N的坐标为（﹣8，6）、（﹣2，8）、（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
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