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2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣6a5
C．a5+a5＝a10 D．8a5b2÷2a3b＝4a2b
3．（3分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
6．（3分）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，则乙在途中等候甲用了（ ）秒．
A．200 B．150 C．100 D．80
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为 ．
8．（3分）因式分解：﹣y2﹣4y﹣4＝ ．
9．（3分）计算：+6（2016﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|﹣cos30°＝ ．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为 ．
11．（3分）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．
12．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ．
13．（3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ cm．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
17．（5分）列方程或方程组解应用题：
中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成．新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆．已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．
19．（8分）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
20．（8分）如图，直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．已知A点的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝x沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C．动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标．
21．（8分）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC＝8，求⊙O半径r．
22．（8分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
24．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）CD＝ ，AD＝ ；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时；
①求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值．
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜0＜3＜5，
所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣6a5
C．a5+a5＝a10 D．8a5b2÷2a3b＝4a2b
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及多项式的除法法则判断即可．
【解答】解：a3•a＝a4，A错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，B错误；
a5+a5＝2a5，C错误；
8a5b2÷2a3b＝4a2b，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及多项式的除法，掌握相关的法则是解题的关键．
3．（3分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
【分析】先根据∠CDE＝40°，得出∠CED＝50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，∠CDE＝40°，∠C＝90°，
∴∠CED＝50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC＝60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
6．（3分）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，则乙在途中等候甲用了（ ）秒．
A．200 B．150 C．100 D．80
【分析】首先求得C点对用的横坐标，即a的值，则CD段的路程可以求得，时间是560﹣500＝60秒，则乙跑步的速度即可求得；
【解答】解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600＝1.5米/秒；
甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，则CD段的长是900﹣750＝150米，时间是：560﹣500＝60秒，则速度是：150÷60＝2.5米/秒；
甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500﹣300﹣100＝100秒．
故选：C．
【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为 1.17×107 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：11700000＝1.17×107．
故答案为：1.17×107．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8．（3分）因式分解：﹣y2﹣4y﹣4＝ ﹣（y+2）2 ．
【分析】原式提取﹣1，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣（y2+4y+4）＝﹣（y+2）2．
故答案为：﹣（y+2）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（3分）计算：+6（2016﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|﹣cos30°＝ 5+ ．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+6﹣3+2﹣＝5+．
故答案为：5+
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1＝2x+2，
解得：x＝，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 10 cm．
【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42+（R﹣2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10
【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
12．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 3 ．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝3．
故小圆锥的底面半径为3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
13．（3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ 2 cm．
【分析】利用旋转的性质得出DC＝AC，∠D＝∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC＝90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．
【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，
∴∠D＝∠CAB＝60°，
∴∠DCA＝60°，
∴∠ACF＝30°，
可得∠AFC＝90°，
∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，
∴FC＝4cos30°＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜a＜或﹣3＜a＜﹣2 ．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可．
【解答】解：
由①得，x＜﹣2；
由②得，x≥﹣5，
所以，不等式组的解集是﹣5≤x＜﹣2，
所以，原不等式的所有整数解为：﹣5，﹣4，﹣3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE＝∠EBD，继而结合∠AEF＝∠DEB、AE＝DE即可判定全等；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定证明即可．
【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB；
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴▱ADCF是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
17．（5分）列方程或方程组解应用题：
中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成．新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆．已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积．
【分析】设新馆的展厅总面积为x万平方米，原两馆大楼的展览面积为y万平方米．根据“原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米”列出方程组并解答．
【解答】解：设新馆的展厅总面积为x万平方米，原两馆大楼的展览面积为y万平方米，根据题意列方程得：
，
解得：．
答：新馆的展厅总面积为6.5万平方米，原两馆大楼的展览面积为2.3万平方米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4①、x1•x2＝﹣m2②，结合x1+2x2＝9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2＝0中，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）＝16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝4①，x1•x2＝﹣m2②．
∵x1+2x2＝9③，
∴联立①③解之，得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴x1•x2＝﹣5＝﹣m2，
解得：m＝±．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2＝4①、x1+2x2＝9③，求出x1、x2的值．
19．（8分）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）根据A类的人数是3，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求得C、D两类的人数，进而求得C类女生及D类男生的人数；
（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是：（1+2）÷15%＝20（人）；
（2）C类学生的人数是：20×25%＝5（人），则C类女生人数是：5﹣3＝2（人）；
D类的人数是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝2（人），则D类男生的人数是：2﹣1＝1（人）；
如图所示：
；
（3）如图所示：
则恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．已知A点的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝x沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C．动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将y＝2代入y＝﹣x，求出x的值，得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
（2）连接AC，由PA﹣PC≤AC可得当A、C、P共线时，PA﹣PC取得最大值，此时P为直线AC与y轴的交点．根据左加右减的平移规律得出将直线y＝﹣x沿x轴向右平移6个单位后的直线为y＝﹣（x﹣6），即y＝﹣x+3，那么该直线与x轴的交点F的坐标为（6，0）．解方程﹣x+3＝﹣，求出C（﹣2，4）．利用待定系数法求出直线AC的表达式，即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x，
∴y＝2时，﹣x＝2，
解得：x＝﹣4，即点A的坐标为（﹣4，2）．
∵点A（﹣4，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）连接AC，根据三角形两边之差小于第三边知：当A、C、P不共线时，PA﹣PC＜AC；当A、C、P共线时，PA﹣PC＝AC；因此，当点P在直线AC与y轴的交点时，PA﹣PC取得最大值．
将直线y＝﹣x沿x轴向右平移6个单位后，得到直线y＝﹣（x﹣6），即y＝﹣x+3，
设它与x轴的交点为F，则F（6，0）．
令﹣x+3＝﹣，解得：x1＝8（舍去），x2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．
∵A、C两点坐标分别为A（﹣4，2）、C（﹣2，4），
∴直线AC的表达式为y＝x+6，
此时，P点坐标为P（0，6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的三边关系．
21．（8分）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC＝8，求⊙O半径r．
【分析】①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO＝∠CBO＝90°，由此可证DC是⊙O的切线；
②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．
【解答】①证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
②解：连接BD．
∵在△ADB与△ODC中，，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD＝AB：OC，
∴AD•OC＝OD•AB＝r•2r＝2r2，即2r2＝8，
故r＝2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．（8分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝6+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6+20（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）．
故大楼AB的高度大约是39.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【分析】（1）把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（12﹣10）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+600x﹣5000
＝﹣10（x﹣30）2+4000
∵a＝﹣10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000＝3000，
解得：x1＝20，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（12﹣10）×（﹣10x+500）
＝﹣20x+1000．
∵k＝﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
24．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）CD＝ ，AD＝ ；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时；
①求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值．
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，根据勾股定理求出AD；
（2）①分点E在线段AC、点E在线段BC上两种情况，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算；
②根据二次函数的性质求出函数最大值，得到答案；
（3）根据EF平分周长用x表示出AF，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝5，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×4＝×5×CD，
解得，CD＝，
∴AD＝＝，
故答案为：；；
（2）①当点E在线段AC上，即0＜x≤时，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，
∴＝，即＝，
解得，EF＝x，
△AEF的面积为y＝×x×x＝x2；
当点E在线段BC上，即＜x≤5时，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴Rt△BEF∽Rt△BDC，
∴＝，即＝，
解得，EF＝﹣x，
y═×x×（﹣x）＝﹣x2+x，
综上所述：y＝；
②当0＜x≤时，x＝，y最大，最大值＝××＝，
当＜x≤5时，
y═﹣x2+x＝﹣（x﹣2.5）2+，
∴当x＝2.5时，y的最大值为，
综上所述，当x＝2.5时，y的最大值为；
（3）存在．
∵AE＝x，直线EF平分△ABC的周长，
∴x+AF＝×（3+4+5），
∴AF＝6﹣x，
∵0＜x≤5，0＜6﹣x＜3，
∴3＜x≤5，
如图3，作FG⊥AB于点G，
由（2）可知，△AFG∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，FG＝﹣x，
由题意得，×x×（﹣x）＝××3×4
解得，x1＝，x2＝（舍去）
故存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，此时x＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、二次函数的性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键．
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日期：2021/4/16 9:45:49；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣6a5
C．a5+a5＝a10 D．8a5b2÷2a3b＝4a2b
3．（3分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
6．（3分）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，则乙在途中等候甲用了（ ）秒．
A．200 B．150 C．100 D．80
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为 ．
8．（3分）因式分解：﹣y2﹣4y﹣4＝ ．
9．（3分）计算：+6（2016﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|﹣cos30°＝ ．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为 ．
11．（3分）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．
12．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ．
13．（3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ cm．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
17．（5分）列方程或方程组解应用题：
中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成．新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆．已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．
19．（8分）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
20．（8分）如图，直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．已知A点的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝x沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C．动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标．
21．（8分）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC＝8，求⊙O半径r．
22．（8分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
24．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）CD＝ ，AD＝ ；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时；
①求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值．
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
2019-2020学年湖北省黄冈市十校联考九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．5 D．3
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜0＜3＜5，
所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣6a5
C．a5+a5＝a10 D．8a5b2÷2a3b＝4a2b
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及多项式的除法法则判断即可．
【解答】解：a3•a＝a4，A错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，B错误；
a5+a5＝2a5，C错误；
8a5b2÷2a3b＝4a2b，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及多项式的除法，掌握相关的法则是解题的关键．
3．（3分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
【分析】先根据∠CDE＝40°，得出∠CED＝50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，∠CDE＝40°，∠C＝90°，
∴∠CED＝50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC＝60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
6．（3分）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，则乙在途中等候甲用了（ ）秒．
A．200 B．150 C．100 D．80
【分析】首先求得C点对用的横坐标，即a的值，则CD段的路程可以求得，时间是560﹣500＝60秒，则乙跑步的速度即可求得；
【解答】解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600＝1.5米/秒；
甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，则CD段的长是900﹣750＝150米，时间是：560﹣500＝60秒，则速度是：150÷60＝2.5米/秒；
甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500﹣300﹣100＝100秒．
故选：C．
【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为 1.17×107 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：11700000＝1.17×107．
故答案为：1.17×107．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8．（3分）因式分解：﹣y2﹣4y﹣4＝ ﹣（y+2）2 ．
【分析】原式提取﹣1，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣（y2+4y+4）＝﹣（y+2）2．
故答案为：﹣（y+2）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（3分）计算：+6（2016﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|﹣cos30°＝ 5+ ．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+6﹣3+2﹣＝5+．
故答案为：5+
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为 k＜3且k≠1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1＝2x+2，
解得：x＝，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 10 cm．
【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42+（R﹣2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10
【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
12．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 3 ．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝3．
故小圆锥的底面半径为3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
13．（3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ 2 cm．
【分析】利用旋转的性质得出DC＝AC，∠D＝∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC＝90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．
【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，
∴∠D＝∠CAB＝60°，
∴∠DCA＝60°，
∴∠ACF＝30°，
可得∠AFC＝90°，
∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，
∴FC＝4cos30°＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜a＜或﹣3＜a＜﹣2 ．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可．
【解答】解：
由①得，x＜﹣2；
由②得，x≥﹣5，
所以，不等式组的解集是﹣5≤x＜﹣2，
所以，原不等式的所有整数解为：﹣5，﹣4，﹣3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE＝∠EBD，继而结合∠AEF＝∠DEB、AE＝DE即可判定全等；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定证明即可．
【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB；
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴▱ADCF是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
17．（5分）列方程或方程组解应用题：
中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成．新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆．已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积．
【分析】设新馆的展厅总面积为x万平方米，原两馆大楼的展览面积为y万平方米．根据“原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米”列出方程组并解答．
【解答】解：设新馆的展厅总面积为x万平方米，原两馆大楼的展览面积为y万平方米，根据题意列方程得：
，
解得：．
答：新馆的展厅总面积为6.5万平方米，原两馆大楼的展览面积为2.3万平方米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝4①、x1•x2＝﹣m2②，结合x1+2x2＝9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2＝0中，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）＝16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝4①，x1•x2＝﹣m2②．
∵x1+2x2＝9③，
∴联立①③解之，得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴x1•x2＝﹣5＝﹣m2，
解得：m＝±．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2＝4①、x1+2x2＝9③，求出x1、x2的值．
19．（8分）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）根据A类的人数是3，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求得C、D两类的人数，进而求得C类女生及D类男生的人数；
（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是：（1+2）÷15%＝20（人）；
（2）C类学生的人数是：20×25%＝5（人），则C类女生人数是：5﹣3＝2（人）；
D类的人数是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝2（人），则D类男生的人数是：2﹣1＝1（人）；
如图所示：
；
（3）如图所示：
则恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．已知A点的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝x沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C．动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将y＝2代入y＝﹣x，求出x的值，得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
（2）连接AC，由PA﹣PC≤AC可得当A、C、P共线时，PA﹣PC取得最大值，此时P为直线AC与y轴的交点．根据左加右减的平移规律得出将直线y＝﹣x沿x轴向右平移6个单位后的直线为y＝﹣（x﹣6），即y＝﹣x+3，那么该直线与x轴的交点F的坐标为（6，0）．解方程﹣x+3＝﹣，求出C（﹣2，4）．利用待定系数法求出直线AC的表达式，即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x，
∴y＝2时，﹣x＝2，
解得：x＝﹣4，即点A的坐标为（﹣4，2）．
∵点A（﹣4，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）连接AC，根据三角形两边之差小于第三边知：当A、C、P不共线时，PA﹣PC＜AC；当A、C、P共线时，PA﹣PC＝AC；因此，当点P在直线AC与y轴的交点时，PA﹣PC取得最大值．
将直线y＝﹣x沿x轴向右平移6个单位后，得到直线y＝﹣（x﹣6），即y＝﹣x+3，
设它与x轴的交点为F，则F（6，0）．
令﹣x+3＝﹣，解得：x1＝8（舍去），x2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．
∵A、C两点坐标分别为A（﹣4，2）、C（﹣2，4），
∴直线AC的表达式为y＝x+6，
此时，P点坐标为P（0，6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的三边关系．
21．（8分）AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC＝8，求⊙O半径r．
【分析】①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO＝∠CBO＝90°，由此可证DC是⊙O的切线；
②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．
【解答】①证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
②解：连接BD．
∵在△ADB与△ODC中，，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD＝AB：OC，
∴AD•OC＝OD•AB＝r•2r＝2r2，即2r2＝8，
故r＝2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．（8分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝6+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6+20（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）．
故大楼AB的高度大约是39.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
23．（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【分析】（1）把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（12﹣10）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+600x﹣5000
＝﹣10（x﹣30）2+4000
∵a＝﹣10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000＝3000，
解得：x1＝20，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（12﹣10）×（﹣10x+500）
＝﹣20x+1000．
∵k＝﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
24．（14分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）CD＝ ，AD＝ ；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时；
①求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值．
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，根据勾股定理求出AD；
（2）①分点E在线段AC、点E在线段BC上两种情况，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算；
②根据二次函数的性质求出函数最大值，得到答案；
（3）根据EF平分周长用x表示出AF，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝5，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×4＝×5×CD，
解得，CD＝，
∴AD＝＝，
故答案为：；；
（2）①当点E在线段AC上，即0＜x≤时，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，
∴＝，即＝，
解得，EF＝x，
△AEF的面积为y＝×x×x＝x2；
当点E在线段BC上，即＜x≤5时，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴Rt△BEF∽Rt△BDC，
∴＝，即＝，
解得，EF＝﹣x，
y═×x×（﹣x）＝﹣x2+x，
综上所述：y＝；
②当0＜x≤时，x＝，y最大，最大值＝××＝，
当＜x≤5时，
y═﹣x2+x＝﹣（x﹣2.5）2+，
∴当x＝2.5时，y的最大值为，
综上所述，当x＝2.5时，y的最大值为；
（3）存在．
∵AE＝x，直线EF平分△ABC的周长，
∴x+AF＝×（3+4+5），
∴AF＝6﹣x，
∵0＜x≤5，0＜6﹣x＜3，
∴3＜x≤5，
如图3，作FG⊥AB于点G，
由（2）可知，△AFG∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，FG＝﹣x，
由题意得，×x×（﹣x）＝××3×4
解得，x1＝，x2＝（舍去）
故存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，此时x＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、二次函数的性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键．
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日期：2021/4/16 9:45:49；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
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