考场仿真卷01-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标I卷)

这是一份考场仿真卷01-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标I卷)，共23页。试卷主要包含了设为坐标原点,为抛物线，函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
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2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第一模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数为纯虚数,则（ ）
A．2 B．4 C．-16 D．-4
2．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是国家统计局于2020年11月发布的2019年10月到2020年10月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2020年10月与2019年10月相比较称同比,2020年10月与2020年9月相比较称环比）根据该折线图,下列说法错误的是（ ）

A．各月居民消费价格同比有涨有跌,涨幅最大为
B．2020年9月居民消费价格同比上涨
C．2020年3月居民消费价格环比下降
D．居民消费价格同比涨幅最大的月份也是环比涨幅最大的月份
4.高压输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏,电压损失百分数；输距电流积六折,再被导线截面除；输距千米电流安,截面毫方记清楚．其意义为“对于高压的架空铝线,若输电线路的输距为,电流为,导线截面为,则电压损失百分数．”据此可知,对于一条长度为,高压为的输电线路,若当导线截面为,电流为时的电压损失百分数为,当导线截面为,电流为时的电压损失百分数为,则（ ）
A． B．
C． D．
5．设为坐标原点,为抛物线：的焦点,为上一点,若,则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．4
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7.赵爽是我国古代的数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图,四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”,得到正方形……按此做法进行下去,记,,正方形的面积为．若,则（ ）

A． B． C． D．
8．如图,在平面四边形ABCD中,,若点E为边CD上的动点,则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
9．已知等差数列的前项和为,且,,则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
10．已知,分别是正方体的棱,上的动点（不与顶点重合）,则下列结论错误的是（ ）
A．
B．平面平面
C．四面体的体积为定值
D．平面
11．已知,是双曲线：的左,右焦点,过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左,右两支分别交于点,.若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知函数,若在上单调递增,则的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．若变量,满足约束条件,则的最大值为___________.
14．展开式中含的项的系数为______．
15．若函数与的图象有一条公共切线,且该公共切线与直线平行,则实数______.
16．在三棱锥中,,.平面平面,若球是三棱锥的外接球,则球的表面积为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,满足.
（1）求角的大小；
（2）若,求的取值范围.
18.(12分)如图,在圆柱W中,点O1、O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上（异于N、F）,点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2．

（1）若平面FNH⊥平面NHG,证明：NG⊥FH；
（2）若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于,证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于．
19.(12分)“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事,其赛制如下：采用七局四胜制,比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中,每小局比赛均为11分制,率先拿满1分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛,那么将进入“FAST5”模式,“FAST5”模式为5分制的小局比赛,率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局,比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛,经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现,24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局,且在11分制比赛中,每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为；在“FAST5”模式,每局比赛双方获胜的概率都为,每局比赛结果相互独立.
（1）求4局比赛决出胜负的概率；
（2）设在24分钟内,甲、乙比赛了3局,比赛结束时,甲乙总共进行的局数记为,求的分布列及数学期望.
20.(12分)已知椭圆：的左焦点与上顶点关于直线对称,又点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试证点总在定圆上．
21.(12分)已知函数,其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当,时,求证：．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的方程为,曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）曲线分别交曲线和曲线于点,求的最大值及相应的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数,.
（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；
（2）若对于,,且时,不等式恒成立,求实数的取值范围.



绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第一模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数为纯虚数,则（ ）
A．2 B．4 C．-16 D．-4
【答案】B
【解析】因为为纯虚数,所以,,解得.故选B.
2．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,,所以,故选D.
3．如图是国家统计局于2020年11月发布的2019年10月到2020年10月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2020年10月与2019年10月相比较称同比,2020年10月与2020年9月相比较称环比）根据该折线图,下列说法错误的是（ ）

A．各月居民消费价格同比有涨有跌,涨幅最大为
B．2020年9月居民消费价格同比上涨
C．2020年3月居民消费价格环比下降
D．居民消费价格同比涨幅最大的月份也是环比涨幅最大的月份
【答案】A
【解析】各月居民消费价格同比涨幅都是正数,所以一直在涨,故A错误；2020年9月居民消费价格同比上涨,故B正确；2020年3月居民消费价格环比下降,故C正确；居民消费价格同比涨幅最大的月份是2020年1月,环比涨幅最大的月份也是2020年1月,故D正确.故选A.
4.高压输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏,电压损失百分数；输距电流积六折,再被导线截面除；输距千米电流安,截面毫方记清楚．其意义为“对于高压的架空铝线,若输电线路的输距为,电流为,导线截面为,则电压损失百分数．”据此可知,对于一条长度为,高压为的输电线路,若当导线截面为,电流为时的电压损失百分数为,当导线截面为,电流为时的电压损失百分数为,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题知,,,所以．
故选C．
5．设为坐标原点,为抛物线：的焦点,为上一点,若,则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】抛物线：,,准线.由,即P到准线的距离为6.
设,,解得,,代入抛物线方程,得.
.故选B.

6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知的定义域为．因为,所以是偶函数,函数图象关于轴对称,排除选项B；又,故排除选项C,D.故选A．
7.赵爽是我国古代的数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”.第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图,四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”,得到正方形……按此做法进行下去,记,,正方形的面积为．若,则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设,则,,
所以
设,则,,所以
所以,所以数列是以25为首项,25为公比的等比数列,所以,
故选C．
8．如图,在平面四边形ABCD中,,若点E为边CD上的动点,则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,
所以为等边三角形,,设

=,所以当时,上式取最小值 ,
故选A.
9．已知等差数列的前项和为,且,,则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项,由可得,A选项正确；对于C选项,由可得,,C选项错误；对于D选项,由可得,且,,,所以,当且时,,且,则与均为的最小值,D选项正确；对于B选项,,,当时,,所以,,B选项正确.故选C.
10．已知,分别是正方体的棱,上的动点（不与顶点重合）,则下列结论错误的是（ ）
A．
B．平面平面
C．四面体的体积为定值
D．平面
【答案】C
【解析】
如图所示：
,分别是正方体的棱,上的动点（不与顶点重合）,
对于A,,,,、平面,
平面,平面,,故A正确；
对于B,∵平面平面,平面与平面重合,∴平面平面,故B正确；对于C,到平面的距离为定值,到的距离为定值,的长不是定值,∴四面体的体积不为定值,故C错误；对于D,∵平面平面,平面,平面,故D正确．故选C．
11．已知,是双曲线：的左,右焦点,过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左,右两支分别交于点,.若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设,则,从而,进而.
过作,则.如图：

在中,,；在中,,即,所以.故选A
12．已知函数,若在上单调递增,则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
若在上单调递增则在恒成立,
令则,又故, ,所以问题转化为不等式在上恒成立,即不等式在上恒成立.令, ,则有,解得.故选.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．若变量,满足约束条件,则的最大值为___________.
【答案】
【解析】画出可行域如下图所示,由图可知：当直线过点时,取得最大值.

14．展开式中含的项的系数为______．
【答案】-100
【解析】原式,展开式中含的项包含两部分,一部分是中的常数项,一部分是的含的项,展开式的通项为,令,解得,；令,解得,,所以展开式中含的项的系数为．
15．若函数与的图象有一条公共切线,且该公共切线与直线平行,则实数______.
【答案】
【解析】设函数图象上切点为,因为,所以,得,所以,所以切线方程为,即,设函数的图象上的切点为,因为,
所以,即,又,即,所以,即,解得或（舍）,
所以.
16．在三棱锥中,,.平面平面,若球是三棱锥的外接球,则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】因为平面平面,平面平面,,平面,平面,取中点,连接,,所以,,平面,,,所以D为的中点,又, 所以三棱锥外接球的球心在面内的射影为的中点,,,,
,,所以三棱锥外接球的球心在面的下方,如图,过O作于F,所以四边形OEDF为矩形．设球心O到面ABC的距离为h,即,三棱锥外接球的半径为R． 故,解得 ,,所以球的表面积为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,满足.
（1）求角的大小；
（2）若,求的取值范围.
【解析】（1）由
得：,(2分)
∴
∴
∴,
∴,(5分)
∵,∴.(6分)
（2）∵,,
∴
（当且仅时取等号）(10分)
又,
∴.(12分)
18.(12分)如图,在圆柱W中,点O1、O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上（异于N、F）,点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2．

（1）若平面FNH⊥平面NHG,证明：NG⊥FH；
（2）若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于,证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于．
【解析】（1）由题知：面面,面面．
因为,平面．
所以平面．
所以．(5分)
（2）以为坐标原点,分别以为轴建立空间坐标系,
所以,,,(6分)
设,则
(7分)
设平面的法向量,
因为,所以,
所以,即法向量．(8分)
因此
所以,解得,所以点．(10分)
设面的法向量；
因为,所以,
所以,即法向量．
因为面的法向量,
所以
所以面与面所成锐二面角的平面角大于．(12分)
19.(12分)“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事,其赛制如下：采用七局四胜制,比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中,每小局比赛均为11分制,率先拿满1分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛,那么将进入“FAST5”模式,“FAST5”模式为5分制的小局比赛,率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局,比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛,经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现,24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局,且在11分制比赛中,每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为；在“FAST5”模式,每局比赛双方获胜的概率都为,每局比赛结果相互独立.
（1）求4局比赛决出胜负的概率；
（2）设在24分钟内,甲、乙比赛了3局,比赛结束时,甲乙总共进行的局数记为,求的分布列及数学期望.
【解析】（1）设前24分钟比赛甲胜出分别为,乙胜出分别为,在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为,4局比赛决出胜负记为事件.(1分)

；(4分)
（2）的可能取值为4、5、6、7,(15分)
；
；

；

；(10分)
所以,随机变量的概率分别列为：

4
5
6
7





的数学期望为.(12分)
20.(12分)已知椭圆：的左焦点与上顶点关于直线对称,又点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试证点总在定圆上．
【解析】（1）左焦点,上顶点关于直线对称,可知,
将点的坐标代入椭圆得,又,联立解得：,,
故椭圆的标准方程为：；(4分)
（2）①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,
联立直线和椭圆的方程,得,
消去并整理,得,(6分)
因为直线和椭圆有且仅有一个交点,即方程有两个相等的根,,
化简并整理,得．(7分)
因为直线与垂直,所以直线的方程为：,
联立解得
,
把代入上式得,点Q坐标（x,y）总满足,恒为定值 ；(10分)
②当切线的斜率为时,直线,过点作直线的垂线为：,即此时或,点Q坐标（x,y）也满足；
③当切线的斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线为：,即此时或,点Q坐标（x,y）也满足．
综上所述,点总在定圆上．(12分)
21.(12分)已知函数,其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当,时,求证：．
【解析】（1）由题意知函数的定义域为,,(1分)
当时,函数单调递增．(2分)
当时,令,得,令,得,
∴在上单调递增,在上单调递减．(4分)
综上,时,在上单调递增；时,在上单调递增,在上单调递减．(5分)
（2）由题意知．
令,,
易知在上单调递减,
∴．(6分)
∴要证,
只需证,．(7分)
令,,则只需证．
,
∵,∴,
令,易知在上单调递增,
且当时,；当时,．
∴存在唯一的,使．
∴当时,,,当时,,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴．
由,得,两边同时取对数,得,,
∴

,(11分)
∴不等式对任意的,恒成立．(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的方程为,曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）曲线分别交曲线和曲线于点,求的最大值及相应的值.
【解析】（1）曲线的普通方程为,
由,,
得的极坐标方程为,（2分）
由曲线的极坐标方程为,
得曲线的普通方程为．（5分）
（2）由曲线 的极坐标方程为,令,
则,又因为,（7分）

.（9分）
,,
当 ,即时,取得最大值.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数,.
（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；
（2）若对于,,且时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）由与围成的区域是,如图所示,

其中,,,（3分）
所以,到直线的距离为3,
故所求面积为.（5分）
（2）因为,,且,
所以,即,（7分）
若不等式恒成立,则有,
即,解不等式,
可得或或,
解之得或,
所以实数的取值范围为.（10分）