考场仿真卷05-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)

这是一份考场仿真卷05-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)，共23页。试卷主要包含了展开式中项的系数为160，则，已知向量满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
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2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第五模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
2．已知，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的虚部是2 B．
C． D．对应的点在第二象限
3.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（ ）

A．人口数逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小
C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大 D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小
4．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ）

A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
9.设，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与正方体外接球的交点轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是________．

14．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36.若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
15．先将函数的图像上各点向左平移，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为______
16．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，过直线的l分别与双曲线左､右两支交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.(12分) 已知椭圆上的点到焦点的最小距离为1，且以椭圆的短轴为直径的圆过点且，为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过直线交椭圆于，两点（在第一象限），直线、的斜率为，，是否存在实数，使得，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
19.(12分)近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：




10.15
109.94
3.04
0.16





13.94
-2.1
11.67
0.21
21.22
且(，)与(，)(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为，，且＝﹣0.9953．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；
（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为，当x为何值时，z的预报值最大．
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(，)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
20.(12分) 如图，四棱锥中，面，是直角梯形，，，，．设平面与平面的交线为．

（1）若为的中点，在直线上找一点使得面，确定的位置并证明你的结论；
（2）为上的点，求平面与平面所成二面角的正弦值的最小值．
21.(12分) 已知函数．
（1）讨论极值点的个数；
（2）若是的一个极值点，且，证明：．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，直线过点且与直线平行.
（1）直接写出曲线的普通方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于、两点.若是与的等比中项，求实数的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对实数，证明.



绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第五模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知阴影部分为集合，由，可得，故选．
2．已知，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的虚部是2 B．
C． D．对应的点在第二象限
【答案】D
【解析】由复数相等可得解得所以，
的虚部是2，所以A选项正确；，所以B选项正确；，所以C选项正确；
对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.故选D.
3.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（ ）

A．人口数逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小
C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大 D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小
【答案】C
【解析】A.人口数逐次增加，第三次增幅最大，故错误；B.第六次普查人数最多，第六次增幅最小，故错误；
C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故正确；D.人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故错误；
故选C
4．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】二项式展开式的通项为，令可得二项式展开式中的系数为，∴展开式中的系数为，可得，解得，故选C．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，则，又，，∴.
故选C.
6．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
所以，.故选B.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】执行程序框图：，2是偶数，，3不是偶数，，不符合空白判断框条件，执行否，
，7不是偶数，，不符合空白判断框条件，执行否，，不是偶数，，满足条件，结束循环，故空白判断框应满足的条件为时不符合要求，时符合要求，所以A、B、D三项均满足循环.故选C
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆锥内部挖去了长，宽，高3的棱柱，利用体积公式可知，几何体的体积为，
故选B．
9.设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，所以，根据对数换底公式可知，即，所以.故选A
10．已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，抛物线，可得且，过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，如图所示，由抛物线的定义，可得，
则，则.故选A.

11．已知函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，
所以的极大值为，设，则关于x的方程可化为，设关于t的方程有两个实数根，则关于x的方程恰好有4个不相等的实根等价为：函数的图象与的交点个数为4，函数的图象与的图象如下所示：

所以关于t的方程有两个实数根，
设，则有，解得.故选C
12．在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与正方体外接球的交点轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，取的中点，的中点，的中点，
连接，其中为正方体的中心，作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形且为的中点，为的中点，可得，又因为，且平面，所以平面，因为面，所以，又由，且平面，所以平面，因为面和面是同一面，所以平面，在直角中，，可得，所以，
又因为，在中，可得，由平面截球的轨迹为圆，其中是截面圆的圆心，为球心，因为正方体的棱长为，所以外接球的半径，
根据截面圆的性质，可得，所以截面的周长为.故选C.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是________．

【答案】，或
【解析】由图象可知：当时，的解为，因为是偶函数，图象关于y轴对称，所以当时，的解为．所以的解是，或．
14．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36.若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
【答案】0.4
【解析】设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
15．先将函数的图像上各点向左平移，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为______
【答案】6
【解析】因为将函数的图像上各点向左平移，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像，所以，又因为在区间上单调递增，
所以有 ，即，由得，当时，，所以正整数的最大值是6.
16．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，过直线的l分别与双曲线左､右两支交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【解析】如图，作于D，

根据双曲线定义，，又，
所以，
所以，因为，，所以三角形是等腰直角三角形
所以，，，
.在中，，化简得，所以.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，解得：，(4分)
；；(6分)
（2）由（1）得：，(7分)
，
，
两式作差得：，(10分)
.(12分)
18.(12分) 已知椭圆上的点到焦点的最小距离为1，且以椭圆的短轴为直径的圆过点且，为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过直线交椭圆于，两点（在第一象限），直线、的斜率为，，是否存在实数，使得，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可得：，
∴
∴椭圆的方程为．(4分)
（2）假设存在实数，使得；(5分)
由题意可知直线斜率不为零，
设，且，，
可得
∴，(7分)
∴
∴
．(11分)
故存在实数，使得成立. (12分)
19.(12分)近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：




10.15
109.94
3.04
0.16





13.94
-2.1
11.67
0.21
21.22
且(，)与(，)(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为，，且＝﹣0.9953．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；
（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为，当x为何值时，z的预报值最大．
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(，)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
【解析】（1）由题意知，
，
因为，所有用模型建立与的回归方程更合适．(4分)
（2）因为，
，
所以关于的回归方程为 (8分)
（3）由题意知
，所以，当且仅当时等号成立，
所以当温度为20时这种草药的利润最大．(12分)
20.(12分) 如图，四棱锥中，面，是直角梯形，，，，．设平面与平面的交线为．

（1）若为的中点，在直线上找一点使得面，确定的位置并证明你的结论；
（2）为上的点，求平面与平面所成二面角的正弦值的最小值．
【解析】（1）因为面，面，所以，又四边形是直角梯形，，，
所以，因为面，．
因此面．(2分)
因为，面，面，
所以面．又面，面面，所以．(4分)
以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设，，，，，，，，．若存在一点使得面，则即
解得，的坐标为，则在直线上且与点之间的距离为1．(6分)
（2）由（1）知，，，，，，
，．是平面的一个法向量．(8分)
设是平面的法向量，则即
得，可取，设平面与平面所成二面角为，
所以．(10分)
则，
又，所以．因为，所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值的最小值为．(12分)
21.(12分) 已知函数．
（1）讨论极值点的个数；
（2）若是的一个极值点，且，证明：．
【解析】（1）的定义域为R，，(1分)
若，则，所以当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以为唯一的极小值点，无极大值点，故此时有1个极值点．(3分)
若，令，则，
当时，，则当时，；当时，；
当时，．
所以分别为的极大值点和极小值点，故此时有2个极值点．
当时，且不恒为0，此时在R上单调递增，无极值点．
当时，，
则当时，；当时，；当时，．
同理，分别为的极小值点和极大值点，故此时有2个极值点．(5分)
综上，当时，无极值点；当时，有1个极值点；当或时，有2个极值点．(6分)
（2）证明：若是的一个极值点，由（1）可知，
又，所以，且，
则，所以，(8分)
令，则，所以，
故，
又因为，所以，令，得．(10分)
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以是唯一的极大值点也是最大值点，即，
故，即．(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，直线过点且与直线平行.
（1）直接写出曲线的普通方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于、两点.若是与的等比中项，求实数的值.
【解析】（1）曲线的普通方程为；
直线的参数方程为（为参数）.
（具体求解过程如下：因为，所以，所以即为曲线的普通方程；（2分）
因为的普通方程为，且，所以倾斜角的正切值为
所以，所以，
又的直角坐标为即，
所以直线的参数方程为（为参数）. （5分）
（2）将代入曲线的普通方程，化简得：

.
设，两点对应的参数分别为，，
则，（7分）
是与的等比中项，
，，即.
，解得.
.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对实数，证明.
【解析】（1）当时，，
当时，，不满足；
当时，，
当时，，
满足，
所以不等式的解集.（5分）
（2）证明：，，，
①， ②，
当且仅当，，
即时取等号，（8分）
①②两不等式相加得，
.（10分）