押第21题圆锥曲线-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）

这是一份押第21题圆锥曲线-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用），共42页。试卷主要包含了圆锥曲线中最值问题的求解方法等内容，欢迎下载使用。

专题21：浙江高考数学 押第21题 圆锥曲线

圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究 直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1） 问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴 题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已 知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题.下


方法总结
1.圆锥曲线中最值问题的求解方法
（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解
（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数
方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基
本不等式求解
2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
3定点、定值模板
1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或
者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用韦达定理列出 x1x2，
x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2的关系式备用
2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接
3，确定与参数无关点、值，即为所求.


1．（2020年浙江省高考数学试卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
2．（2019年浙江省高考数学试卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.

（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
3．（2018年浙江省高考数学试卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
4．（2017年浙江省高考数学试卷）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求的最大值

1．（2021·辽宁高三其他模拟（文））已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
2．（2021·浙江金华市·高三期末）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且l与圆相切于点．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求（用n表示）
3．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，求证：．
4（2021·陕西榆林市·高三一模（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值.
5．（2021·江西宜春市·高安中学高三二模）如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.

（1）若是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）若，求的值.
10．（2021·山东临沂市·高三一模）如图，抛物线的焦点为四边形为正方形，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线于点.

（1）若为线段的中点，求直线的斜率；
（2）若正方形的边长为，直线，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

（限时：80分钟）
1．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．
2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程．
3．如图，已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线交抛物线于、两点，且，弦中垂线交x轴于点T，过A作斜率为的直线交抛物线于另一点C．

（1）若，求点B的坐标；
（2）记、的面积分别为、，若，求点A的坐标．
4．已知抛物线的焦点为F.

（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；
（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程：
5．如图所示，O为坐标原点，点到抛物线的准线的距离为.作圆的斜率小于的切线，与抛物线交于，两点，且.

（1）求的值；
（2）求直线的方程.
6．已知抛物线，其焦点为F，点在抛物线C上，且|QF|=4，过点(4,0)的直线与抛物线C相交于A，B两点，连结OA，OB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：．
7．设抛物线的焦点为，点，直线过点且与抛物线交于两点.
（1）当轴（在轴上方）时，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，证明：.
8．已知抛物线：上一点到它的准线的距离为，直线与抛物线交于､两点，是坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，若直线不与坐标轴重直，且.证明：直线过定点.
9．如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.

（1） 求证:点的纵坐标是定值；
（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.
10．已知抛物线，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到焦点的距离为4.

（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线的方程.



专题21：浙江高考数学 押第21题 圆锥曲线

圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究 直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1） 问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴 题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已 知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题.下


方法总结
1.圆锥曲线中最值问题的求解方法
（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解
（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数
方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基
本不等式求解
2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
3定点、定值模板
1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或
者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用韦达定理列出 x1x2，
x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2的关系式备用
2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接
3，确定与参数无关点、值，即为所求.


1．（2020年浙江省高考数学试卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即

，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
法2：设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
【点晴】
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.
2．（2019年浙江省高考数学试卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.

（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1）2，；（2），.
【分析】
(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
【详解】
(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．（2018年浙江省高考数学试卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.
【详解】
详解：（Ⅰ）设，，．
因为，的中点在抛物线上，所以，为方程
，
即的两个不同的实数根．
所以．
因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.
4．（2017年浙江省高考数学试卷）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求的最大值
【答案】（I）（-1，1）；（II）.
【详解】
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，
，
因为，所以直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是．
因为|PA|==，
|PQ|= ，
所以．
令，
因为，
所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k=时，取得最大值．
【点睛】
本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．


1．（2021·辽宁高三其他模拟（文））已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）可得，代入方程求解即可；
（Ⅱ）设直线的方程为，和抛物线的方程联立消元可得，，然后利用，求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意，
代入，
得，
，
抛物线的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中，
，
设，，则，




，
所以直线的方程为．
2．（2021·浙江金华市·高三期末）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且l与圆相切于点．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求（用n表示）
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ），或.
【分析】
（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得，结合以及点在圆上可得，在消去后可得所求证的关系式.
（Ⅱ）设，，则可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理化简，则可得其表达式.
【详解】
解：（Ⅰ）若，则直线垂直于轴，此时，故成立，
若，因为直线与圆相切，故，
整理得到：，又，故，
整理得到即，
而即.
（Ⅱ）设，．
联立，得，∴，．
由（Ⅰ）可得，故或，
而，故即或，
故或.
而


，
其中或.
【点睛】
思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.
3．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先判断R是线段PF的中点，得到，再判断动点到点F的距离等于到直线l的距离，轨迹是抛物线的一部分，即得结果；
（2）先设点，，再联立直线与曲线，结合韦达定理证明，即证结论.
【详解】
解：（1）如图，是线段与轴的交点，直线l和y轴平行，故R是线段PF的中点，
又，故是线段PF的中垂线，所以，
结合知，动点到点F的距离等于到直线l的距离，
故动点的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点不能与O重合，
故方程为；
（2）设，，，
联立得，，
则，
故，
故，即.
【点睛】
思路点睛：
圆锥曲线中的垂直问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理，结合斜率关系或者向量关系直接计算，即可解决问题.
4（2021·陕西榆林市·高三一模（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值.
【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，解方程组求得，的值，即可求解；
（2）设，则，写出圆和圆的方程，两个圆的方程相减可得直线的方程，计算点到直线的距离为，再利用计算弦长即可.
【详解】
（1）椭圆可得焦点，
抛物线的焦点为 ，所以①，
由可得，解得，
所以②，
由①②可得：，，
所以椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；
（2）设，则，圆的方程为：，
圆的方程为：，
所以直线的方程为：，
设点到直线的距离为，
则.
.
所以为定值.

【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
5．（2021·江西宜春市·高安中学高三二模）如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.

（1）若是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由为抛物线焦点，即可设直线的方程为，根据直线与圆相切可求k值，写出直线方程.
（2）设直线的方程为，，，，由直线上两点距离公式可知，根据直线与圆相切、求，切线性质：直线与互相垂直及即可求的值.
【详解】
（1）因为是抛物线的焦点，所以，即，
设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，
所以，直线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，，
由，得，，，
∴.
由直线与圆相切，得，即.
由，，得.
所以，又，解得.
由直线与互相垂直，得，
.
【点睛】
关键点点睛：
（1）由过抛物线焦点的直线与圆相切求斜率，写出直线方程.
（2）由直线与抛物线、圆的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式、两直线垂直的性质求参数值.
10．（2021·山东临沂市·高三一模）如图，抛物线的焦点为四边形为正方形，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线于点.

（1）若为线段的中点，求直线的斜率；
（2）若正方形的边长为，直线，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）过，分别向作垂线，垂足为，，设中点为，过向作垂线垂足为，利用抛物线的定义及题目中所给的条件可推出，从而得出斜率；
（2）由正方形的边长为可得出抛物线的方程为，，设直线的方程为，设，，联立直线方程与直线得到点的坐标，然后分别表示出，，，再联立直线与抛物线方程，得到，，使得成立，利用韦达定理代入值化简求解的值即可.
【详解】
解：（1）如图所示，过，分别向作垂线，垂足为，，设中点为，过向作垂线垂足为，

则
又

在中，
直线的斜率为
（2）正方形边长为，
，抛物线方程为，，
设，
方程为，得

由
得

，
，





，
即存在常数使得成立.
【点睛】
本题考查存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：
①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；
②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．


（限时：30分钟）
1．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）求出、，利用可得出关于的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程．
【详解】
（1），轴且与椭圆相交于两点，
则直线的方程为，
联立 解得则

抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得
解得或（舍去）
由抛物线的定义可得，解得．
因此曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线的方程；
（2）用“设而不求法”联立方程组，把转化为，求出斜率k，得到直线方程
【详解】
解：（1）由题意可得
解得．
故抛物线的方程为．
（2）设，．
联立整理得．
由题意可知，则，．
因为，所以，
则，
即，整理得，
解得．
故直线的方程为．
【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
3．如图，已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线交抛物线于、两点，且，弦中垂线交x轴于点T，过A作斜率为的直线交抛物线于另一点C．

（1）若，求点B的坐标；
（2）记、的面积分别为、，若，求点A的坐标．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设直线，然后联立方程组，根据韦达定理，代入，即可求出，再代入抛物线方程即可得点B的坐标；（2）设，表示出直线与的斜率，然后相加为零得，表示出直线的中垂线方程，求出点的坐标，将转化为，列式计算.
【详解】
（1）设直线方程为
∴
∵
即
（2）设
∵，同理：，因为直线与的斜率分别为，∴
又∵直线方程为：
直线中垂线方程为：
，令
又∵，，
∴
又∵
∴
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
4．已知抛物线的焦点为F.

（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；
（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程：
（3）设是的一条弦且，求线段中点横坐标的最小值.
【答案】（1）5；（2）；（3）当时，；当时，最小值为.
【分析】
（1）纵坐标代入抛物线方程可得对应横坐标，再由抛物线定义可得答案；
（2）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，然后配方求最值可得答案；
（3）设中点横坐标为，根据抛物线定义可得，求出讨论t的范围可得答案.
【详解】
（1）由已知，把代入抛物线方程的，所以，
所以Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离为5；
（2）设直线l的方程为，，
由得，
，，且，得，
，
所以，
因为，所以当，有最小值-4，
此时直线l的方程为.
（3）设弦的中点的横坐标为，准线为l，方程为，
分别作与点，由抛物线定义，最小，
则，
当且仅当共线时等号成立，故，
故当时，，
当时，由抛物线的对称性，弦长所在的直线与x轴垂直时最小，此时弦与抛物线的交点的纵坐标为，代入抛物线方程得，A、B点及中点的横坐标相同，即为.

【点睛】
本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，直线方程与抛物线的方程联立一般整理成关于y的方程，有时能使运算量减少，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
5．如图所示，O为坐标原点，点到抛物线的准线的距离为.作圆的斜率小于的切线，与抛物线交于，两点，且.

（1）求的值；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，结合焦半径公式得，故；
（2）设直线，设，，由与圆相切得①，设直线，，由角平分线上的点到直线的距离相等得，进而联立方程得，进而得，整理得②，由①②得，.
【详解】
解：（1）准线方程，点到抛物线的准线的距离为，
所以由焦半径公式得：，得.
（2）设直线，设，，
则，故.
联立，得，
所以.
设直线，，
则，
两边平方，化简得，而，所以，
因此有，
化简得，
代入得，
所以有，解得或3(舍去)
时，(不符合)
所以直线的方程为，
即.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，将转化为点到直线的距离相等进而得，考查运算求解能力，是中档题.
6．已知抛物线，其焦点为F，点在抛物线C上，且|QF|=4，过点(4,0)的直线与抛物线C相交于A，B两点，连结OA，OB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF|=4，列方程求，写出抛物线方程；
（2）讨论直线斜率的存在性，若，，结合向量数量积的坐标表示有，则即得证.
【详解】
解：（1）由在抛物线C上可得，，
由可得，，
∵，
∴，．
抛物线的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，易求得，
，，,此时成立．
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，
由，得，，，，
此时成立，
综上可得，．
【点睛】
关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示即可证.
7．设抛物线的焦点为，点，直线过点且与抛物线交于两点.
（1）当轴（在轴上方）时，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】
（1）由轴（在轴上方），可得直线的方程，代入抛物线方程可求出点的坐标，进而可求出直线的方程；
（2）分直线轴和与轴不垂直两种情况讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理分别表示出，即可证明出.
【详解】
（1）直线的方程为，代入抛物线方程得，而，可得直线
（2）当直线轴时，，易得；
当直线与轴不垂直时，设直线，
则
得
所以
综上知，.
【点睛】
思路点睛：一般解决直线与抛物线的综合问题时：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．已知抛物线：上一点到它的准线的距离为，直线与抛物线交于､两点，是坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，若直线不与坐标轴重直，且.证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据到准线的距离为，可列式求解出，即可得抛物线方程；（2）设直线方程，联立以后可得韦达定理，根据，可得，代入列式，可解得的值，即可得定点坐标为.
【详解】
解：（1）抛物线的准线为.
由已知得到准线的距离为，∴，∴
∴抛物线的方程为.
（2）设，，设直线方程为，
与联立得：，
可得，.
由，得，即.
整理得，
即，
整理得，
即，即.
故直线方程为过定点.
【点睛】
一般求解直线与抛物线的问题时，需要注意：
（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
9．如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.

（1） 求证:点的纵坐标是定值；
（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，面积最大值为.
【分析】
（1）由题意可得：，不妨设，则，代入抛物线方程，整理得，计算可得点的纵坐标值为，从而得证；
（2）由题意可得：，求得直线的斜率，可求得直线的斜率和方程，不妨记，则，代入椭圆方程并整理得，
设，，求得的值和点到直线的距离，进而根据三角形的面积公式和基本不等式可求的面积的最大值，即可求解.
【详解】
（1）易知，不妨设，则，
代入抛物线方程得，得，
∴，
故点C的纵坐标为定值.
（2）∵点C是AB的中点，
，
设直线的斜率为，则，
所以直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
不妨记，则，
代入椭圆方程并整理得，
设，，则


点到直线的距离，
所以
当且仅当时取等号，
解得，所以，从而
故当时，的面积最大.
【点睛】
关键点点睛：设出结合，可得利用点在抛物线上可求出，利用其计算的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线与直线的斜率互为相反数，直线的方程为，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.
10．已知抛物线，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到焦点的距离为4.

（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的定义由点的横坐标求出，进而得出抛物线的方程；
（2）设直线以及点的坐标，并与抛物线方程联立，结合韦达定理得出，由圆的性质得出，结合数量积公式求出直线的方程.
【详解】
解：（1）抛物线的准线方程为：
抛物线上一点的横坐标为3，根据抛物线的定义可知，

抛物线的方程是
（2）由题意可知，直线不垂直于y轴
可设直线，则由可得，
设，则
因为以为直径的圆过点，所以，即

解得：，∴直线，即.
【点睛】
第一问中，主要是利用抛物线的定义求出抛物线的方程，第二问中，关键将转化为进行求解.