人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用教学演示ppt课件

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我们都知道,月球是距离地球最近的星球,月球与地球近地点的距离是36.3万 千米,与地球远地点的距离是40.6万千米,地球与月球的平均距离是 384 403.9 千米.可以肯定的是,没有一个人测量过地月距离.问题:你能给出一个方案,测量出地月距离吗?
答案　可以在地球上选两点,与月亮构成三角形,测量地球上两点的距离和从 这两点看月亮的视角,通过解三角形求得地月距离.
1.实际问题中的一些有关角的术语(1)方向角:指正北或正南方向线与目标方向线所成的小于①______度的角.思考:如图,图1表示北偏东②______,图2表示南偏西③______.  图1　　　　　　　　　　图2
(2)涉及高度的常用术语——仰角与俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线④_______时叫仰角,目标视线在水平视线⑤______时叫俯角.(如图所示) 
2.解三角形应用题(数学建模素养)解三角形应用题时,通常都要根据题意从实际问题中抽象出一个或几个三角 形,然后通过解三角形得到实际问题的解,求解的关键是将实际问题转化为解 三角形问题.(1)解题思路:
例1　海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C 岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是　　　    海里.
解析　如图所示. 在△ABC中,A=60°,B=75°,AB=10 海里, ∴C=45°.由正弦定理可得 = ,
即 = ,∴BC=5 (海里).
思维突破求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则 把未知量放在另一个确定的三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理.如果都可用,那么就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离时,首先把测量不可到达的两点A,B之间 的距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中 利用正弦定理计算相关的边长.
1-1　如图,A、B两点在河的同侧(不可到达),在河岸选取相距20米的C、D两 点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,求A、B两点间的距 离. 
解析　在△ADC中,由正弦定理得AC=  =10(1+ )(米),BC= =20(米),连接AB,在△ABC中,由余弦定理得,AB= 
=10 (米).∴A、B两点间的距离为10  米.
例2　如图所示,A、B是水平面上相距800 m的两个点,在A点测得山顶C的仰角 为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平面的垂足, 求山高CD. 
解析　易知CD⊥AD,∠CAD=45°,所以CD=AD.因此只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由 得 = =800( +1) m.
所以山高CD为800( +1) m.
2-1　如图,某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度(如 图),铁塔AB垂直于水平面,在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C, D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,并测得∠BCD=120°, C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是 (　　) 
A.300 m　　B.600 mC.300  m　　D.600  m
例3　如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,且距A处( -1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,且距A处2海里的C处,我方缉私船正奉命以10  海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30° 方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 
解析　设缉私船沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10 t 海里,BD=10t 海里,
∴sin∠BCD= = = .又∵∠BCD∈(0°,90°),∴∠BCD=30°,∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,∴BD=BC=10t=  海里.∴t= 小时≈15分钟.
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
思维突破测量角度问题画示意图的基本步骤 
3-1　如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏 东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则 此船沿　　　    方向行驶　　　    海里至海岛C (　　) 
A.北偏东60°;10 B.北偏东40°;10 C.北偏东30°;10 D.北偏东20°;10 
1.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km,5 km,灯塔A在观察站C的 北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B的距离为  (　　)A.6 km　　B.4  kmC.7 km　　D.5  km
解析　由题意可得∠ACB=120°,∴AB2=9+25-2×3×5×cs 120°=49,∴AB=7 km.
2.(2020山东模拟)泉城广场上矗立着的“泉标”成为了济南的标志和象征.为 了测量“泉标”的高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标” 顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°方向前进100 m到达点B,在点B处测得 “泉标”顶端的仰角为30°,则“泉标”的高度为 (　　)A.50 m　　B.100 mC.120 m　　D.150 m
解析　根据题意,画图如下, 则AB=100 m,∠BAC=60°,∠DBC=30°,设DC=x m,
则AC=x m,BC= x m,在△ABC中,由余弦定理,得
( x)2=x2+1002-2×x×100× ,解得x=50(舍负).故选A.
3.如图,为测量一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖 的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为 (　　)  A.(30+30 )m B.(30+15 )m
C.(15+30 )m D.(15+3 )m
解析　在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cs 30°-cs 45°·sin 30°= × - × = ,由正弦定理得 
∴PB= =30( + ) m,PB·sin 45°=(30+30 ) m,∴树的高度为(30+30 ) m.
数学建模——方案设计问题如图,要测量山顶上的电视塔FG的高度,已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高 度低于山的高度).试设计在楼AC上测量并计算山顶上的电视塔高度的方案.
解:设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是α、β,从楼顶下的B点看塔底的仰角 为γ,测出BC=h.如图,
在Rt△BEF中,有BE=BFcs γ= .在Rt△CGM中,CM=BE,∠GCM=α,则MG=①   在Rt△CFM中,CM=BE,∠FCM=β,则MF=CMtan β=②  .
则电视塔的高度FG=③_____________________________.素养探究:数学建模中方案设计的一般思路:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角 形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
针对训练　某中学校园内有一个“湖泊”,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如 图,若音乐教室设在A处,图书馆设在B处,为测量A,B两地之间的距离,某同学选 定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是几种不同的测量方案:①测量∠A, AC,BC;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠C,AC,BC;④测量∠A,∠C,∠B.其中一定能 唯一确定A,B两地之间的距离的所有方案的序号是　　　    .