_天津市津南区北部学区 2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷（word版，含答案）

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1．（3分）要使二次根式有意义，x必须满足（ ）
A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜2
2．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，C，π，R是变量B．2，π是常量，C，R是变量
C．2，C，π是常量，R是变量D．2，π，R是常量，C是变量
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝4B．＝C．×＝D．﹣＝
5．（3分）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A．8mB．10mC．16mD．18m
6．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12
7．（3分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．4B．16C．D．4或
8．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝150°，则∠B的大小为（ ）
A．75°B．80°C．105°D．130°
9．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．24
10．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CBDC．AB＝BCD．AC＝BD
11．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
12．（3分）如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．②③
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）计算（+）×（﹣）的结果等于 ．
15．（3分）油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ；自变量t的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．（3分）在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明）．
三．计算题（本大题共2小题，共14.0分）
19．计算：
（1）（﹣）﹣（+）；
（2）2×÷．
20．计算：
（1）﹣×；
（2）（3×﹣2）﹣（﹣）2．
四．解答题（本大题共5小题，共52.0分）
21．如图，四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2，BC＝8，CD＝10，∠BAD＝90°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）计算四边形ABCD的面积．
22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，E、F是对角线AC上两点，满足AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB
（Ⅰ）求证：四边形ABCD是矩形；
（Ⅱ）若AB＝5，∠AOB＝60°，求BC的长．
25．已知，▱ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
2020-2021学年天津市津南区北部学区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）要使二次根式有意义，x必须满足（ ）
A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选：B．
2．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、＝4；
C、＝；
D、＝2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
3．（3分）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，C，π，R是变量B．2，π是常量，C，R是变量
C．2，C，π是常量，R是变量D．2，π，R是常量，C是变量
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【解答】解：在圆的周长计算公式C＝2πR中，C和R是变量，2、π是常量，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝4B．＝C．×＝D．﹣＝
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：＝2，故选项A错误；
+不能合并为一项，故选项B错误；
×＝，故选项C正确；
﹣＝2﹣，故选项D错误；
故选：C．
5．（3分）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A．8mB．10mC．16mD．18m
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：C．
6．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
7．（3分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．4B．16C．D．4或
【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；
当5是斜边长时，第三边长为：＝4．
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C＝150°，则∠B的大小为（ ）
A．75°B．80°C．105°D．130°
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝150°，
∴∠A＝∠C＝75°，
∴∠B＝105°．
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
10．（3分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CBDC．AB＝BCD．AC＝BD
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【解答】解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
11．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据特殊四边形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线相等的四边形是矩形，还可能是等腰梯形，错误；
C、对角线互相垂直的四边形是菱形，还可能是梯形，错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
故选：A．
12．（3分）如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：
①∠GAE＝45°；
②BG+DE＝GE；
③点G是BC的中点；
④连接FC，则BF⊥FC；
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．②③
【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC．
【解答】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确；
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确；
设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确；
∴GF＝GC，
∴∠GFC＝∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
而∠BGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴FC∥AG，
∵AB＝AF，BG＝FG，
∴AG⊥BF，
∴BF⊥FC，④正确；
故选：A．
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．（3分）计算的结果是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：＝＝4．
故答案为：4．
14．（3分）计算（+）×（﹣）的结果等于 3 ．
【分析】根据平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（+）×（﹣）
＝6﹣3
＝3，
故答案为：3．
15．（3分）油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 Q＝30﹣0.5t ；自变量t的取值范围是 0≤t≤60 ．
【分析】根据总油量减去剩余油量，可得函数关系式，根据剩余油量为非负数，可得自变量的取值范围．
【解答】解：总油量减去剩余油量，得
Q＝30﹣0.5t；
剩余油量为非负数，得
30﹣0.5t≥0，解得t≤60，
时间为非负数，得t≥0，
即自变量t的取值范围是0≤t≤60，
故答案为：Q＝30﹣0.5t，0≤t≤60．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 14 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【解答】解：∵BD＝7，AC＝4，
∴菱形ABCD的面积为：×4×7＝14，
故答案为：14．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
18．（3分）在如图所示的7×7网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的正方形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可．
（Ⅱ）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝．
故答案为．
（Ⅱ）如图，取格点C，D，依次连接AD，DC，CB，四边形ABCD即为所求．
三．计算题（本大题共2小题，共14.0分）
19．计算：
（1）（﹣）﹣（+）；
（2）2×÷．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣2﹣
＝﹣3；
（2）原式＝×
＝．
20．计算：
（1）﹣×；
（2）（3×﹣2）﹣（﹣）2．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣×
＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）（3×﹣2）﹣（﹣）2
＝3+6﹣2﹣3+2﹣2
＝3+8﹣2﹣5．
四．解答题（本大题共5小题，共52.0分）
21．如图，四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2，BC＝8，CD＝10，∠BAD＝90°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）计算四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；
（2）根据图形得到四边形ABCD的面积＝2个直角三角形的面积和即可求解．
【解答】解：（1）∵AD＝4，AB＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝6．
又BC＝8，CD＝10，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴BD⊥BC；
（2）四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝×4×2+×6×8
＝4+24．
22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，E、F是对角线AC上两点，满足AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形．
【解答】证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB
（Ⅰ）求证：四边形ABCD是矩形；
（Ⅱ）若AB＝5，∠AOB＝60°，求BC的长．
【分析】（Ⅰ）根据平行四边形的性质得到OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，于是得到结论；
（Ⅱ）根据已知条件得到△AOB是等边三角形，求得OA＝OB＝AB＝5，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（Ⅱ）∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA＝10，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝5．
25．已知，▱ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定；
（2）根据勾股定理即可求AF的长；
（3）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF（AAS）．
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得
16+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5．
（3）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC＝QA，
∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，运动时间为t秒，
∴PC＝t，QA＝12﹣0.8t，
∴t＝12﹣0.8t，
解得：t＝．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．