人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.2 构成空间几何体的基本元素一课一练

11.1.2　构成空间几何体的基本元素

1.若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b⊂α,则a与b的位置关系一定是 (　　)

A.相交 B.平行

C.异面 D.相交或异面

2.“a,b是异面直线”是指:

①a∩b=∅,且a,b不平行;②a⊂平面α,b⊂平面β,且a∩b=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=⌀;④a⊂平面α,b⊄平面α;⑤不存在平面α,使a⊂α,且b⊂α成立.上述说法中正确的是(　　)

A.①④⑤ B.①③④ C.②④ D.①⑤

3.(多选题)下列命题中,不正确的命题为(　　)

A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α

B.若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C.若a⊂α,则a与α有无数个公共点

D.若a⊄α,则a与α没有公共点

4.已知异面直线a与b满足a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是(　　)

A.c与a,b都相交

B.c至少与a,b中的一条相交

C.c至多与a,b中的一条相交

D.c至少与a,b中的一条平行

5.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是 (　　)

A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行

B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行

C.平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行

D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合

6.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

7.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是　　　　　,表示直线GH,MN平行的图形是　　　　　.(填序号) 

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1、面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有　　　　　个. 

9.A,B是直线l外两点,过A,B且与l平行的平面有　　　　　个. 

10.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系.

答案

1.若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b⊂α,则a与b的位置关系一定是 (　　)

A.相交 B.平行

C.异面 D.相交或异面

答案D

解析当A∈b时,a与b相交,当A∉b时,a与b异面.

2.“a,b是异面直线”是指:

①a∩b=∅,且a,b不平行;②a⊂平面α,b⊂平面β,且a∩b=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=⌀;④a⊂平面α,b⊄平面α;⑤不存在平面α,使a⊂α,且b⊂α成立.上述说法中正确的是(　　)

A.①④⑤ B.①③④ C.②④ D.①⑤

答案D

解析说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确;②③④中a与b可能平行,都不正确;说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a,b异面,⑤正确.

3.(多选题)下列命题中,不正确的命题为(　　)

A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α

B.若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C.若a⊂α,则a与α有无数个公共点

D.若a⊄α,则a与α没有公共点

答案ABD

解析AD中,a与α可相交;B中a与α内的直线可异面;故ABD不正确,C正确.

4.已知异面直线a与b满足a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是(　　)

A.c与a,b都相交

B.c至少与a,b中的一条相交

C.c至多与a,b中的一条相交

D.c至少与a,b中的一条平行

答案B

解析∵a⊂α,c⊂α,∴a与c相交或平行.同理,b与c相交或平行.若c∥a,c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾.∴a,b不能都与c平行,即直线a,b中至少有一条与c相交.

5.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是 (　　)

A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行

B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行

C.平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行

D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合

答案BCD

解析如图,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题A正确.对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题B错误.对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H,A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故命题C错误.对于D,两平面位置关系中不存在重合,若重合则为一个平面,故命题D错误.

6.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

答案D

解析如图,

构建长方体ABCD-A1B1C1D1,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4;若l4=C1D,则l1与l4相交;若取l4=BA,则l1与l4异面;若取l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直,因此l1与l4的位置关系不能确定.

7.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是　　　　　,表示直线GH,MN平行的图形是　　　　　.(填序号) 

答案②④　①

解析①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④中GH,MN为异面直线.

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1、面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有　　　　　个. 

答案3

解析如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.

9.A,B是直线l外两点,过A,B且与l平行的平面有　　　　　个. 

答案0,1或无数

解析当直线AB与l相交时,有0个;当直线AB与l异面时,有1个;当直线AB∥l时,有无数个.

10.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系.

解B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,B1C与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.

D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交.