高中数学11.1.6 祖暅原理与几何体的体积综合训练题

这是一份高中数学11.1.6 祖暅原理与几何体的体积综合训练题，共19页。
11.1.6　祖暅原理与几何体的体积
1.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　)
A.1 B.12 C.32 D.34
3.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)
A.π B.3π4 C.π2 D.π4
4.

如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为(　　)
A.8273π B.4273π
C.16273π D.32273π
5.《算数书》中记载有求“盖”的体积的方法:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)
A.227 B.258 C.15750 D.355113
6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是(　　)

A.AC⊥平面BEF
B.AE,BF始终在同一个平面内
C.EF∥平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=　　　　　. 
9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　. 

10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为　　　　　. 
11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球的质量为145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).
素养提升
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
2.

三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是(　　)

3.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为(　　)
A.5π∶6 B.6π∶2
C.π∶2 D.5π∶12
4.有64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则(　　)
A.V甲>V乙且S甲>S乙 B.V甲r),则由题意得4π3R3+4π3r3=12π,2πR+2πr=6π,解得R=2,r=1.故R-r=1.故选A.
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论正确的是(　　)

A.AC⊥平面BEF
B.AE,BF始终在同一个平面内
C.EF∥平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
答案ACD
解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,
∴A对;
∵EF∥BD,BD⊂面ABCD,EF⊄面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对;
∵S△BEF=12×22×1=24,设AC,BD交于点O,
AO⊥平面BB1D1D,AO=22
∴VA-BEF=13×24×22=112,∴D对;
∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.
故选ACD.
8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=　　　　　. 
答案3
解析设底面半径为r,则13πr2×4=4π,解得r=3,即底面半径为3.
9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　. 

答案10
解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120.因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12CD·BC·CE=13×12AB·BC·12CC1=112×120=10.
10.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为　　　　　. 
答案8
解析由43πR3=43π,得R=1.
设正方体的棱长为a,则3a=2R,所以a=23,
故正方体的表面积S表=6a2=6×232=8.
11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球的质量为145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,2.243≈11.240 98).
解由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×43π×5023≈516 792(g),
街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000V乙且S甲>S乙 B.V甲S乙.故选C.
5.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是(　　)

A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球面面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案CD
解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,A错误;圆锥的母线长为(2R)2+R2=5R,故圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2,B错误;球面面积为4πR2,等于圆柱的侧面积,C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2,D正确.
6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为　　　　　 cm. 

答案29
解析设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.
7.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　. 

图1

图2
答案26　2-1
解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=2×22x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.

8.在半径为15的球O内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.
解①如图所示,

由题意知OA=OB=OC=OD=15.设H为△BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.
∵HB=HC=HD=23×32×123=12,
∴OH=OB2-HB2=9.
∴正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.
又S△BCD=12×32×(123)2=1083,
∴VA-BCD=13×1083×24=8643.
②如图所示,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,

S△BCD=1083,∴VA-BCD=13×1083×6=2163.
综上,正三棱锥A-BCD的体积为8643或2163.
9.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,
所以两个半球的体积之和为
V球=43πR3=43π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为
V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为
S=36π+12π104=48π104(m2).
因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为
2 500S=2 500×48π104=12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克).