江苏省南京鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中数学试卷word版含答案

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注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自已的姓名、准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算：sin105°＝( )
A．EQ \F(\R(,6)－\R(,2),2) B．EQ \F(\R(,6)＋\R(,2),2) C．EQ \F(\R(,6)－\R(,2),4) D．EQ \F(\R(,6)＋\R(,2),4)
2．计算：复数eq \f(2－i,1＋i)＝( )
A．EQ \F(1,2)＋EQ \F(3,2)i B．EQ \F(1,2)－EQ \F(3,2)i C．－EQ \F(1,2)－EQ \F(3,2)i D．－EQ \F(1,2)＋EQ \F(3,2)i
3．在△ABC中，角A、B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝3：5：7，则其最大角的大小为 ( )
A． 60° B．75° C．120° D．150°
4．托勒密(C.Ptlemy，约90－168)，古希腊人，是天文学家、地理学家、地图学家、数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表．在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算．例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为( )
A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736
5．在下列向量组中，可以把向量m＝(－1，3)表示出来的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝(3，2) B．a＝(0，0)，b＝(1，－4)
C．a＝(5，1)，b＝(10，2) D．a＝(－4，3)，b＝(4，－3)
6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足EQ \\ac(\S\UP7(→),AB)＝2a，EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝2a＋b，则a b＝( )
A．1 B．－1 C．eq \r(,3) D．－eq \r(,3)
7．化简sin2(eq \f(π,3)＋α)－sin2(eq \f(π,6)－α)可得( )
A．cs(2α＋eq \f(4π,3)) B．sin(2α＋eq \f(π,6)) C．－cs(2α－eq \f(π,3)) D．sin(eq \f(π,6)－2α )
8．已知△ABC的内角A、B，C所对的边为a，b，c，其面积为S，若sinC＝EQ \F(2S,a\S(2)＋b\S(2)－c\S(2))，且△ABC的外接圆半径为EQ \F(2\R(,3),3)，则△ABC周长的取值范围为( )
A．(4，6] B．(4，4eq \r(,3)] C．(6，8] D．(6，6eq \r(,3)]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)
9．在下列选项中，正确的是( )
A．sin17°cs13°＋cs17°sin13°＝EQ \F(\R(,3),2)
B．cs75°cs15°＋sin75°sin15°＝EQ \F(1,2)
C．存在角α，β，使得sin(α＋β)＜sinα＋sinβ成立
D．对于任意角α，β，式子cs(α＋β)＜csα＋csβ都成立
10．已知a，b，c是三个向量，在下列命题中，假命题是 ( )
A．ab＝ba B．a(b＋c)＝ab＋ac
C．(ab)c＝a(bc) D．若ab＝ac，则b＝c
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝B＋3C，在下列选项中，正确的是( )
A．0＜C＜eq \f(π,6) B．0＜C＜eq \f(π,4) C．sinC的取值范围为(0，EQ \F(\R(,2),2)) D．当c＝6b时，则sinC＝eq \f(2,3)
12．在下列选项中正确的是( )
A．若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R
B．若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z＝－EQ \F(1,2)＋EQ \F(\R(,3),2)i，则z4(－EQ \F(1,2)－EQ \F(\R(,3),2)i)＝1
D．若复数z＝(cs25°＋isin25°)(cs65°＋isin65°)，则z＝i
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知α为锐角，且csα＝eq \f(3,5)，则tan(α－eq \f(π,4))＝______．
14．已知复数z满足|z－1－2i|＝2，则|z|的最大值为______．
15．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝4N，F2＝5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为______N．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，BF＝eq \f(1,2)CF，∠BFE＝120°，EF＝2．
若△CEF的面积为3－eq \r(,3)，则AB＝________，sin∠BEC＝________．
E
D
A
F
C
B
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知向量m＝(－2，－2EQ \R(,3))，|n|＝3，m与n的夹角为eq \f(2π,3)．
(1)求mn的值；
(2)求|2m＋n|的值．
18．(本小题满分12分)
已知z是复数，＋3i为实数(i为虚数单位)，且|z|＝3EQ \R(,5)．
(1)求z；(2)若z和(z＋mi)2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)
在①a＝7；②csinA＝4；③B＝eq \f(5π,12)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由．
问题：是否存在锐角三角形ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝8，csB＋cs(A－C)＝EQ \R(,3)sinC，__________?
20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝2cs2x＋2EQ \R(,3)sinxcsx(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设方程f(x)＝EQ \F(5,2)在区间[0，eq \f(π,3)]内的两解分别为x1，x2，求cs(x1－x2)的值．
21．(本小题满分12分)
关于公式sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ的证明，前人做过许多探索．对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成．
(1)填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α＋β均为锐角的情形)
Q
N
G
β
P
α
β
T
M
H
(图形1)
证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN中，点P在边MN上，点Q在边GN上，QT⊥HM，垂足为T，∠HPQ＝90°，设HQ＝1，∠QHP＝α，∠PHM＝β．
在直角三角形QHP中，QP＝sinα，PH＝csα，
在直角三角形PHM中，PM＝ ① ，
在直角三角形QPN中，∠QPN＝β，PN＝sinαcsβ，
在直角三角形HQT中，QT＝ ② ，
因为QT＝PM＋PN，所以sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ．
A
(2)请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导．
1
D
1
β
α
E
C
B
(图形2)
22．(本小题满分12分)
已知向量 EQ \\ac(\S\UP7(→),OA)＝(1，－4)， EQ \\ac(\S\UP7(→),OB)＝(a，－3)， EQ \\ac(\S\UP7(→),OC)＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点．
(1)当a＝2，b＝3时，求 EQ \\ac(\S\UP7(→),AB)与 EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)的夹角的余弦值；
(2)若A，B，C三点共线，求EQ \F(1,a)＋EQ \F(3,b)的最小值．