2021中考数学二轮复习 探索规律三大类型（Word版含解析）

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一 数式规律
1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（　　）
A．363 B．153 C．159 D．456
2．(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；
（2）已知
依据上述规律，则 ．
3．（1）先找规律，再填数：

（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，
例如2★3=2-3=.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]= .
4.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ．
5． 在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？



6．将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20
……
根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．
7．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为_______．
（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形．




8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.




9.根据以下10个乘积，回答问题：
　　11×29；　 12×28；　 13×27；　 14×26；　 15×25；
　　16×24；　 17×23；　 18×22；　 19×21；　 20×20.
　　(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；
　　(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
　　(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)
10、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．
11.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.
12、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比
赛．如图所示：



按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
　A． B． C．   D．
13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

14、按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第幅图中共有 个。
1
2
3

…
…



16、试观察下列各式的规律，然后填空：


……
则_______________。
17、观察下列各式：
　　
　　
　　
……依此规律，第n个等式（n为正整数）为          。
18、观察下列等式：
第一行     3=4－1
第二行     5=9－4
第三行     7=16－9
第四行    9=25－16
…     …　按照上述规律，第n行的等式为____________  
19、观察下列各式：
 

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。
20、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………，
仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是：
A 2 B 4 C 6 D 8



21、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：
1
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…   …   …   …  
按此规律，可知第n行有         个正整数
22、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是         。

23.验证: =.
验证：= = = ；
验证: =．验证：== = ．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明．







24．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．























一 数式规律
1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（　　）
A．363 B．153 C．159 D．456
【答案】B；
【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．
【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．
2．(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；
（2）已知
依据上述规律，则 ．
【答案】(1) ； （2）.
【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.
（2）
【点评】(1) 规律：（n为正整数）；
（2）规律：（n为正整数）.
3．（1）先找规律，再填数：

（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，
例如2★3=2-3=.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]= .
【答案】（1）；（2）1；
【解析】（1）规律为：（n为正整数）.
（2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.
4.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ．
【答案】因为，
……..三个一循环，因此

6． 在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？
【答案】2，3
【解析】
（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；
（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b
两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，
未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b
根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）
而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b
所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．
6．将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20
……
根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．
【答案】第45行第13列
【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.
每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.
如果2006在第n行，那么
设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。
到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；
到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；
2006是第1003个，在45行13列.
7．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为_______．
（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形．

【答案】
（1）
(2)
8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.
【答案】
（1）由题意可知，图形满足勾股定理，

（2）因为OA1=，OA2=，OA3=…，
所以OA10=
（3）S12+ S22+ S32+…+ S102
=
=
=.
9.根据以下10个乘积，回答问题：
　　11×29；　 12×28；　 13×27；　 14×26；　 15×25；
　　16×24；　 17×23；　 18×22；　 19×21；　 20×20.
　　(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；
　　(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
　　(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)
【答案】
　　(1)11×29=202-92；12×28=202-82；
　　　 13×27=202-72；14×26=202-62；
　　　 15×25=202-52；16×24=202-42；
　　　 17×23=202-32；18×22=202-22；
　　 　19×21=202-12；20×20=202-02；
　　例如：11×29；假设11×29=□2-○2；
　　　 　 因为□2-○2=(□+○)(□-○)
　　 　 　所以，可以令□-○=11，□+○=29
　　 　 　解得，□=20，○=9，故11×29=202-92
　　 　 　(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)
　　(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
　　　 11×29