初中第十八章 平行四边形综合与测试单元测试巩固练习

这是一份初中第十八章 平行四边形综合与测试单元测试巩固练习，共21页。试卷主要包含了关于菱形，下列说法错误的是，如图，在平面直角坐标系中，点A等内容，欢迎下载使用。

第18章 平行四边形
一．选择题
1．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　）

A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
2．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（　　）

A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
3．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
5．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在线段AB上，点D在y轴上，将∠ABO沿直线CD翻折，使点B与点A重合．若点E在线段CD延长线上，且CE＝5，点M在y轴上，点N在坐标平面内，如果以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，那么点N有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（　　）

A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
10．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）

A．（3，0） B．（+1，0） C．（﹣1，0） D．（，0）
二．填空题
11．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是　 　cm．

12．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件　 　，则四边形ABCD为菱形．

13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为　 　．

14．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是：　 　（写1个即可）．

三．解答题
16．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：四边形AECF是平行四边形．

17．已知，如图，菱形ABCD，DE⊥AB于E，且E为AB的中点，已知BD＝4．
（1）∠DAB的度数；
（2）AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．

18．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是菱形．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．

20．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　）

A．BE＝DF
B．AE∥CF
C．AF＝AE
D．四边形AECF为平行四边形
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．
【解答】解：A、在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选：C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（　　）

A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．
即共有9个平行四边形，
故选：D．
3．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
【分析】利用菱形的性质，依次判断可求解．
【解答】解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴对角线相等不是菱形的性质，
故选：D．
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
5．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在线段AB上，点D在y轴上，将∠ABO沿直线CD翻折，使点B与点A重合．若点E在线段CD延长线上，且CE＝5，点M在y轴上，点N在坐标平面内，如果以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，那么点N有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】分别以EC为边，EC为对角线讨论可知满足条件的菱形．
【解答】解：如图中，分别以EC为边，EC为对角线讨论可知满足条件的菱形有5个．

故选：D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个结论进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
8．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（　　）

A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD＝BC＝AB＝AD，设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，然后在Rt△CDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：
由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；
故选：D．

9．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC＝＝＝4，
则AB＝4，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．
故选：B．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）

A．（3，0） B．（+1，0） C．（﹣1，0） D．（，0）
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB＝4，AD＝1，
∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴AM＝AC＝，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0），
故选：C．
二．填空题
11．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是　2　cm．

【分析】根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答．
【解答】解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件　OA＝OC（答案不唯一）　，则四边形ABCD为菱形．

【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出平行四边形ABCD是菱形
【解答】解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为　　．

【分析】由题意得出∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，证四边形BGDH是菱形，得出BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
14．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为　5或1　．
【分析】当点E在AD上时，根据平行线的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝3，可得AD的长；当点E在AD的延长线上时，同理可求出AD的长．
【解答】解：如图1，当点E在AD上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵DE＝2，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；
如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，

∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．
故答案为：5或1．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是：　∠ABC＝90°（答案不唯一）　（写1个即可）．

【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：还需补充的条件可以是：∠ABC＝90°，理由如下：
∵AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
三．解答题
16．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：四边形AECF是平行四边形．

【分析】先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
17．已知，如图，菱形ABCD，DE⊥AB于E，且E为AB的中点，已知BD＝4．
（1）∠DAB的度数；
（2）AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．

【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质结合菱形的性质得出△ABD是等边三角形，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AC的长；
（3）直接利用菱形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BA，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°；

（2）∵BD＝4，△ABD是等边三角形，
∴DO＝2，AD＝4，
∴AO＝＝2，
∴AC＝4；

（3）菱形ABCD的面积为：BD•AC＝×4×4＝8．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　90　°时，四边形BECD是菱形．

【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）先根据三角形的内角和定理得到∠AED＝40°，再根据平行线的性质得到CBE＝∠A＝50°，求得∠BOE＝90°，然后根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，
∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠A＝50°，
∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：90．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．

【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC＝60°，CD＝BC＝6，再由平行线的性质得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝DA，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，CD＝BC＝6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝6，
在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．

20．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．

【分析】先由矩形的对角线相等得出AC＝DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB＝CE，即可得出AC＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．