初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形图文课件ppt

这是一份初中数学沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形图文课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了新课引入，新知探究，归纳总结，轴对称图形，试给出数学证明，∴ACBD，课堂小结，矩形的定义及其性质，有两条对称轴，课堂小测等内容，欢迎下载使用。

观察下面图形, 长方形在生活中无处不在.
思考1 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示, 使平行四边形的一个内角变化, 请同学们注意观察.
定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形, 也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
思考2 因为矩形是平行四边形, 所以它具有平行四边形的所有性质, 由于它有一个角为直角, 它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2：准备素材: 直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.请同学们以小组为单位, 测量身边的矩形(如书本, 课桌, 铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数, 并记录测量结果.
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D, ∠C=∠A, AB∥DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B = 90°, ∴∠C = 90°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°.
如图, 四边形ABCD是矩形, ∠B=90°.求证: ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC, ∠ABC=∠DCB, BC= CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.
如图, 四边形ABCD是矩形, ∠ABC=90°, 对角线AC与DB相交于点O.求证: AC=DB.
矩形除了具有平行四边形所有性质, 还具有的性质有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
几何语言描述：在矩形ABCD中, 对角线AC与DB相交于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°, AC=DB.
例1 如图, 在矩形ABCD中, 两条对角线AC, BD相交于点O, ∠AOB=60°, AB=4 , 求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， ∵OA= OC= AC, OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=AB=4, ∴AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
例2 如图, 在矩形ABCD中, E是BC上点, AE=AD, DF⊥AE ,垂足为F. 求证: DF=DC.
证明: 连接DE.∵AD =AE, ∴∠AED =∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.
例3 如图, 将矩形ABCD沿着直线BD折叠, 使点C落在C′处, BC′交AD于点E, AD＝8, AB＝4, 求△BED的面积．
解: ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠A＝90°,∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2, ∴∠1＝∠3, ∴BE＝DE.设BE＝DE＝x, 则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中, AB2＋AE2＝BE2, ∴42＋(8－x)2＝x2, 解得x＝5, 即DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考3 请同学们拿出准备好的矩形纸片, 折一折, 观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是, 那么对称轴有几条?
矩形的性质：对称性： .对称轴：.
1.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, 下列说法错误的是 （　　）A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OB
2.如图, EF过矩形ABCD对角线的交点O, 且分别交AB, CD于E, F, 那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
3.如图, 在矩形ABCD中, AE⊥BD于E, ∠DAE:∠BAE＝3:1, 求∠BAE和∠EAO的度数．
解: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB＝90°,AO＝ AC, BO＝ BD, AC＝BD, ∴∠BAE＋∠DAE＝90°, AO＝BO.又∵∠DAE:∠BAE＝3:1, ∴∠BAE＝22.5°, ∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD, ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°,∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°,∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
活动3: 如图, 一张矩形纸片, 画出两条对角线, 沿着对角线AC剪去一半.
问题 Rt△ABC中, BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD, DC.
∵AO=OC, BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例4 如图, 在△ABC中, AD是高, E, F分别是AB, AC的中点．(1)若AB＝10, AC＝8, 求四边形AEDF的周长;
解: ∵AD是△ABC的高, E, F分别是AB, AC的中点,∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5, DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4,∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋ 4＋4＝18.
(2)求证: EF垂直平分AD.
证明: ∵DE＝AE, DF＝AF, ∴E, F在线段AD的垂直平分线上, ∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时, 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例5 如图, 已知BD, CE是△ABC不同边上的高, 点G, F分别是BC, DE的中点, 试说明GF⊥DE.
解: 连接EG, DG. ∵BD, CE是△ABC的高, ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点,∴EG＝ BC, DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点, ∴GF⊥DE.
在直角三角形中, 遇到斜边中点常作斜边中线, 进而可将问题转化为等腰三角形的问题, 然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
如图, 在△ABC中, ∠ABC = 90°, BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm, 则AC =_____cm;(2)若∠C = 30°, AB = 5cm, 则AC =_____cm, BD = _____cm.
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角, 两条对角线互相平分且相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O,点E, F分别是AO, AD的中点, 若AB=6cm, BC=8cm,则EF=______cm．
5.如图, △ABC中, E在AC上, 且BE⊥AC. D为AB中点, 若DE=5, AE=8, 则BE的长为______．
6.如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC, BD相交于点O, BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证: BD=BE,（2）若∠DBC=30°, BO=4 , 求四边形ABED的面积.
(1) 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC= BD, AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.
(2) 解: ∵在矩形ABCD中, BO=4,∴BD = 2BO =2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD= BD= ×8=4,∴AB=CD=4, DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .