2021年湖北省黄石市中考数学模拟试卷（word版 含答案）

这是一份2021年湖北省黄石市中考数学模拟试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
4．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＞﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
7．下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
8．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．90°B．50°C．45°D．80°
9．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
10．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题（11～14每小题3分，15～18每小题3分，共28分）
11．计算：＝ ．
12．分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y＝ ．
13．原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 ．
14．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
15．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
16．如图，把一张长方形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BE＝BF＝1，则AB的长度为 ．
17．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
20．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
22．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
23．学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求参加活动的同学人数．
（2）已知租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元．公司经理问：“你们准备怎样租车？”甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，这样没有空座位，不会浪费”；乙同学说：“我的方案是只租用60座的客车，因为60座的客车每个座位单价少，虽然有空位，但总体可以更省钱”，如果是你，从经济角度考虑，你会如何设计租车方案，并说明理由．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ABD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，
①求BD的长．
②若∠CAD的平分线交BD于F，求OF的长．
25．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
2021年湖北省黄石市中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；
【解答】解：＝2是有理数，是无理数，
故选：D．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．a3•a2＝a6C．a3÷a＝a2D．（2a2）3＝6a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a﹣a＝a，故此选项错误；
B、a3•a2＝a5，故此选项错误；
C、a3÷a＝a2，故此选项正确；
D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
故选：C．
4．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＞﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2
【分析】根据分母不等于0和二次根式的被开方数非负，列出不等式组，进行解答便可．
【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；
B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；
C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；
D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；
故选：D．
8．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．90°B．50°C．45°D．80°
【分析】连接AE，由AB为直径，则∠AEB＝90°，可得∠AED＝90°﹣40°＝50°，即可求出∠ACD＝∠AED＝50°．
【解答】解：连接AE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACD＝∠AED＝50°．
故选：B．
9．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
10．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，
解得：m＝﹣；
②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，
解得：m＝＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，
解得：m＝或m＝﹣＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣或，
故选：D．
二．填空题
11．计算：＝ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4+4﹣2
＝．
故答案为：．
12．分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y＝ ﹣2y（x﹣4）2 ．
【分析】根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2y（x2﹣8x+16）
＝﹣2y（x﹣4）2
故答案为：﹣2y（x﹣4）2
13．原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：0.000000000148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10．
14．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
15．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到2πr＝，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝1，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为1．
16．如图，把一张长方形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BE＝BF＝1，则AB的长度为 ．
【分析】先求出BC＝1+，判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC，CD＝AB，
∵BE＝BF＝1，
∴EF＝，
∴CF＝，
∴BC＝BF+CF＝1+，
由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1+，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝（1+）＝+2，
由第二次折叠知，CD＝DE＝+2，
∴AB＝CD＝+2．
故答案为：+2．
17．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 2 ．
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
【解答】解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k，
则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为 3﹣3 ．
【分析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB＝AC＝2、∠BAC＝120°，可得出BC＝6、∠B＝∠ACB＝30°，通过角的计算可得出∠FAE＝60°，结合旋转的性质可证出△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE＝FE，设CE＝2x，则CM＝x，EM＝x、FM＝4x﹣x＝3x、EF＝ED＝6﹣6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE＝6﹣6x中即可求出DE的长．
（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB＝AC＝2、∠BAC＝120°，可得出∠ACB＝∠B＝30°，根据旋转的性质可得出∠ECG＝60°，结合CF＝BD＝2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE＝FE，设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE＝x，利用FE＝6﹣3x＝x可求出x以及FE的值，此题得解．
【解答】解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．
在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝2，
∴AN＝AB＝，BN＝＝3，
∴BC＝6．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
∵BD＝2CE，BD＝CF，∠ACF＝∠B＝30°，
∴设CE＝2x，则CM＝x，EM＝x，FM＝4x﹣x＝3x，EF＝ED＝6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE＝6﹣6x，FM＝3x，EM＝x，
∴EF2＝FM2+EM2，即（6﹣6x）2＝（3x）2+（x）2，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴DE＝6﹣6x＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，
∴∠ECG＝60°．
∵CF＝BD＝2CE，
∴CG＝CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG＝CG＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG＝∠CGE＝30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝60°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．
在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝FE．
设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，
EF＝＝x，
∴6﹣3x＝x，
x＝3﹣，
∴DE＝x＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
三．解答题（共7小题）
19．先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
【分析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m2＝m+1，最后代入求值便可．
【解答】解：原式＝m﹣
＝m﹣
＝，
∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴原式＝．
20．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
22．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．
23．学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求参加活动的同学人数．
（2）已知租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元．公司经理问：“你们准备怎样租车？”甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，这样没有空座位，不会浪费”；乙同学说：“我的方案是只租用60座的客车，因为60座的客车每个座位单价少，虽然有空位，但总体可以更省钱”，如果是你，从经济角度考虑，你会如何设计租车方案，并说明理由．
【分析】（1）设单独租用45座客车为x辆，单独租用60座客车为y辆，由题意：单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位，列出方程组，解方程组即可；
（2）先求出60座的客车合到每个座位的钱数少，再求出只租用45座的客车费用与只租用60座的客车费用以及租3辆60座的客车和1辆45座的客车费用进行比较即可得出结果．
【解答】解：（1）设单独租用45座客车为x辆，单独租用60座客车为y辆，
根据题意得：，
解得：，
∴45x＝225，
答：参加活动的同学人数为225人；
（2）设计租车方案为：租3辆60座的客车和1辆45座的客车，理由如下：
∵租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元，
∴500÷45＝（元/人），600÷60＝10（元/人），
∵＞10，
∴60座的客车合到每个座位的钱数少，
只租用45座的客车，费用为：5×500＝2500（元），
只租用60座的客车，费用为：4×600＝2400（元），
又∵60×3+45＝225，且600×3+500＝2300＜2400，
∴租3辆60座的客车和1辆45座的客车时，总费用最低．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ABD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，
①求BD的长．
②若∠CAD的平分线交BD于F，求OF的长．
【分析】（1）连接OD．想办法证明OD⊥DE即可．
（2）①过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，想办法求出BF，DF即可．
②根据已知推出点F为△ADC的内心作△ADC的内切圆⊙F，设⊙F半径为r，根据切线性质求出半径r为2，
则HF＝2，AH＝6﹣2＝4，得出OH＝OA﹣AH＝5﹣4，再由勾股定理求出OF．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）①过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，
∴AC＝10，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵sin∠ACB＝，
∴AB＝sin45°•AC＝5，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵在Rt△ADF中，AD＝6，
∵sin∠ADF＝，
∴AF＝sin45°•AD＝3，
∴DF＝AF＝3，
在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝（5）2﹣（3）2＝32，
∴BF＝4，
∴BD＝BF+DF＝7．
②∵AC是直径，AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣45°＝45°，
∴BD平分∠ADC，
∵AF平分∠CAD，
∴点F为△ADC的内心，
如图作△ADC的内切圆⊙F，切点分别为M、N、H，连接FM、FN、FH，
则FM⊥CD，FN⊥AD，FH⊥AC，
∴四边形NFMD为正方形．
设⊙F半径为r，则FN＝FM＝DN＝DM＝r，
∴AH＝AN＝AN﹣ND＝6﹣r，
CH＝CM＝CD﹣DM＝8﹣r，
∴AC＝AH+CH＝6﹣r+8﹣r＝14﹣r，
∴10＝14﹣2r，
∴r＝2，
∴HF＝2，
∴AH＝6﹣2＝4，
OH＝OA﹣AH＝5﹣4，
∴OF＝＝＝．
25．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）OB＝OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，即可求解；
（2）CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C′（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．