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2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷
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这是一份2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了﹣27的立方根是 等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）（下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将正确答案的选项涂在答题卡上）
1．（3分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
3．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．a B．b C．c D．d
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）测试五位学生的“1000米”跑成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将跑的最快一名学生成绩写得更快了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．总成绩 B．方差 C．中位数 D．平均数
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m C．10m D．20m
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）﹣27的立方根是 ．
11．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000000m，将13000000用科学记数法表示应为 ．
12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为 ．
13．（3分）从0，π，，3.14159这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则CE的长为 ．
15．（3分）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型
大巴车
（最多可坐55人）
中巴车
（最多可坐39人）
小巴车
（最多可坐26人）
每车租金
（元∕天）
900
800
550
则租车一天的最低费用为 元．
16．（3分）观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，2021在第 层．
三．解答题（本题共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（6分）先化简再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．
21．（7分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
22．（7分）现有三张大小、形状完全一样的扑克牌，正面分别标有数字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戏，将三张扑克牌洗匀后背面朝上放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求二人抽取相同数字的概率．
（2）若二人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜，若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
23．（8分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直
线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直径．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）（下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将正确答案的选项涂在答题卡上）
1．（3分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
【分析】分别利用单项式的乘法、合并同类项、积的乘方及完全平方公式进行计算即可判断．
【解答】解：选项A：2a3•3a2＝2×3a3+2＝6a5，符合题意；
选项B：a8与a4不是同类项，不能进行合并，不符合题意；
选项C：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
选项D：（﹣a2）3＝﹣a6，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选：C．
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，
∵过（2，3），
∴k＝3×2＝6，
∴I＝，
故选：D．
5．（3分）测试五位学生的“1000米”跑成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将跑的最快一名学生成绩写得更快了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．总成绩 B．方差 C．中位数 D．平均数
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数．
故选：C．
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：36﹣12k＞0且k≠0，
∴k≠0且k＜3，
故选：B．
7．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m C．10m D．20m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝10m，
∴AB＝＝20m．
故选：D．
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．
【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，
即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP＝4，
此时，由勾股定理可知：BP＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC＝3，
∴BC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12，
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【解答】解：依题意得：x≠0．
故答案是：x≠0．
10．（3分）﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
11．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000000m，将13000000用科学记数法表示应为 1.3×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13000000＝1.3×107．
故答案为：1.3×107．
12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为 70° ．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案为：70°．
13．（3分）从0，π，，3.14159这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵0，π，，3.14159这4个数中无理数有π，共2个，
∴这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则CE的长为 ．
【分析】由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC∥AD，
∵E为BC上一点，
∴CE∥AD，∠FEC＝∠FAD，∠FCE＝∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴＝＝，
又∵CD＝3，CF＝1，AD＝4，
∴CE＝，
故答案为：．
15．（3分）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型
大巴车
（最多可坐55人）
中巴车
（最多可坐39人）
小巴车
（最多可坐26人）
每车租金
（元∕天）
900
800
550
则租车一天的最低费用为 1450 元．
【分析】将68名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解．
【解答】解：依题意得：
租车费用最低的前题条件是将68名师生同时送到目的地，其方案如下：
①全部一种车型：
小巴车26座最少3辆，其费用为：3×550＝1650元，
中巴车39座最少2辆，其费用为：2×800＝1600元，
大巴车55座最少2辆，其费用为：2×900＝1800元
∵1600＜1650＜1800，
∴同种车型应选取中巴车2辆费用最少．
②搭配车型：
2辆26座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：550×2+800＝1900元，
1辆26座小巴车和1辆55座大巴车，其费用为：550+900＝1450元，
1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：800+900＝1700元，
∵1450＜1700＜1900，
∴搭配车型中1辆26座小巴车和1辆55座大巴车最少．
综合①、②两种情况，费用最少为1450元．
故答案为1450．
16．（3分）观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，2021在第 44 层．
【分析】根据题目中的数据，可以发现每层第一个数的特点和每层的数的个数，然后即可得到2021在第多少层．
【解答】解：由题意可得，
第n层的第1个数是n2，第n层有2n+1个数，
∵442＝1936，452＝2025，
∴2021在44层，
故答案为：44．
三．解答题（本题共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2﹣2+（）2
＝﹣1﹣2﹣2+3
＝﹣．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：
由不等式①得x≤8．
由不等式②得x＞﹣1；
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤8．
19．（6分）先化简再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷（﹣2）
＝
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．
【分析】（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝求得m的值，然后求得C的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）首先求得C的坐标，根据S△AOC＝S△AOB+S△BOC即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝得：﹣5＝，
解得：m＝10，
则反比例函数的解析式是：y＝，
把x＝5代入，得：y＝＝2，
则C的坐标是（5，2）．
根据题意得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：y＝x﹣3．
（2）在y＝x﹣3中，令x＝0，解得：y＝﹣3．
则B的坐标是（0，﹣3）．
∴OB＝3，
∵点A的横坐标是﹣2，C的横坐标是5．
∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝OB×2×5+×OB×5＝×3×7＝．
21．（7分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离．
【解答】解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000米，
∴AB＝BD﹣AD＝2000米．
答：此时渔政船和渔船相距2000米．
22．（7分）现有三张大小、形状完全一样的扑克牌，正面分别标有数字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戏，将三张扑克牌洗匀后背面朝上放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求二人抽取相同数字的概率．
（2）若二人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜，若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【分析】（1）根据列表法和概率的定义列式即可；
（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
2
3
5
2
（2，2）
（3，2）
（5，2）
3
（2，3）
（3，3）
（5，3）
5
（2，5）
（3，5）
（5，5）
可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，
所以两人抽取相同数字的概率为＝；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
23．（8分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【分析】（1）根据题意可得70×（1﹣60%），计算即可求解；
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由“实际耗油量下降到12千克”列方程得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，解方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得70×（1﹣60%）＝70×40%＝28（千克）；
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，
由题意，得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，
整理，得x2﹣65x﹣750＝0
解得：x1＝75，x2＝﹣10（舍去），
（90﹣75）×1.6%+60%＝84%；
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直
线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直径．
【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN，进而得出答案；
（2）证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的判定与性质得出AB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD．
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN．
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线．
（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝5，DC＝3，
∴AD＝＝＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝，
即⊙O的直径长为．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交CB于点M，
S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；
（3）①当点P在x轴上方时，
取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
设MH＝x，则MG＝，
则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，则点M（0，4），
将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，
联立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．
26．（10分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；
（2）①由旋转的性质得出AC＝AE，∠CAE＝90°，证得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；
②过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）（下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将正确答案的选项涂在答题卡上）
1．（3分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
3．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．a B．b C．c D．d
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）测试五位学生的“1000米”跑成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将跑的最快一名学生成绩写得更快了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．总成绩 B．方差 C．中位数 D．平均数
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m C．10m D．20m
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）﹣27的立方根是 ．
11．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000000m，将13000000用科学记数法表示应为 ．
12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为 ．
13．（3分）从0，π，，3.14159这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则CE的长为 ．
15．（3分）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型
大巴车
（最多可坐55人）
中巴车
（最多可坐39人）
小巴车
（最多可坐26人）
每车租金
（元∕天）
900
800
550
则租车一天的最低费用为 元．
16．（3分）观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，2021在第 层．
三．解答题（本题共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（6分）先化简再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．
21．（7分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
22．（7分）现有三张大小、形状完全一样的扑克牌，正面分别标有数字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戏，将三张扑克牌洗匀后背面朝上放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求二人抽取相同数字的概率．
（2）若二人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜，若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
23．（8分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直
线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直径．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
2021年湖南省常德市安乡县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）（下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请将正确答案的选项涂在答题卡上）
1．（3分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a5 B．a8+a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝a6
【分析】分别利用单项式的乘法、合并同类项、积的乘方及完全平方公式进行计算即可判断．
【解答】解：选项A：2a3•3a2＝2×3a3+2＝6a5，符合题意；
选项B：a8与a4不是同类项，不能进行合并，不符合题意；
选项C：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
选项D：（﹣a2）3＝﹣a6，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选：C．
4．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，
∵过（2，3），
∴k＝3×2＝6，
∴I＝，
故选：D．
5．（3分）测试五位学生的“1000米”跑成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将跑的最快一名学生成绩写得更快了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．总成绩 B．方差 C．中位数 D．平均数
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数．
故选：C．
6．（3分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】根据判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：36﹣12k＞0且k≠0，
∴k≠0且k＜3，
故选：B．
7．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m C．10m D．20m
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝10m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝10m，
∴AB＝＝20m．
故选：D．
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．
【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，
即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP＝4，
此时，由勾股定理可知：BP＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC＝3，
∴BC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12，
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【解答】解：依题意得：x≠0．
故答案是：x≠0．
10．（3分）﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
11．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000000m，将13000000用科学记数法表示应为 1.3×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13000000＝1.3×107．
故答案为：1.3×107．
12．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，则∠AOC的度数为 70° ．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝35°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案为：70°．
13．（3分）从0，π，，3.14159这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵0，π，，3.14159这4个数中无理数有π，共2个，
∴这4个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF＝1，则CE的长为 ．
【分析】由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC∥AD，
∵E为BC上一点，
∴CE∥AD，∠FEC＝∠FAD，∠FCE＝∠D，
∴△FCE∽△FDA，
∴＝＝，
又∵CD＝3，CF＝1，AD＝4，
∴CE＝，
故答案为：．
15．（3分）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型
大巴车
（最多可坐55人）
中巴车
（最多可坐39人）
小巴车
（最多可坐26人）
每车租金
（元∕天）
900
800
550
则租车一天的最低费用为 1450 元．
【分析】将68名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解．
【解答】解：依题意得：
租车费用最低的前题条件是将68名师生同时送到目的地，其方案如下：
①全部一种车型：
小巴车26座最少3辆，其费用为：3×550＝1650元，
中巴车39座最少2辆，其费用为：2×800＝1600元，
大巴车55座最少2辆，其费用为：2×900＝1800元
∵1600＜1650＜1800，
∴同种车型应选取中巴车2辆费用最少．
②搭配车型：
2辆26座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：550×2+800＝1900元，
1辆26座小巴车和1辆55座大巴车，其费用为：550+900＝1450元，
1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：800+900＝1700元，
∵1450＜1700＜1900，
∴搭配车型中1辆26座小巴车和1辆55座大巴车最少．
综合①、②两种情况，费用最少为1450元．
故答案为1450．
16．（3分）观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，2021在第 44 层．
【分析】根据题目中的数据，可以发现每层第一个数的特点和每层的数的个数，然后即可得到2021在第多少层．
【解答】解：由题意可得，
第n层的第1个数是n2，第n层有2n+1个数，
∵442＝1936，452＝2025，
∴2021在44层，
故答案为：44．
三．解答题（本题共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
17．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣+tan260°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2﹣2+（）2
＝﹣1﹣2﹣2+3
＝﹣．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：
由不等式①得x≤8．
由不等式②得x＞﹣1；
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤8．
19．（6分）先化简再求值：（1﹣）÷（﹣2），其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷（﹣2）
＝
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．
【分析】（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝求得m的值，然后求得C的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）首先求得C的坐标，根据S△AOC＝S△AOB+S△BOC即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣5）代入y＝得：﹣5＝，
解得：m＝10，
则反比例函数的解析式是：y＝，
把x＝5代入，得：y＝＝2，
则C的坐标是（5，2）．
根据题意得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：y＝x﹣3．
（2）在y＝x﹣3中，令x＝0，解得：y＝﹣3．
则B的坐标是（0，﹣3）．
∴OB＝3，
∵点A的横坐标是﹣2，C的横坐标是5．
∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝OB×2×5+×OB×5＝×3×7＝．
21．（7分）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离．
【解答】解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000米，
∴AB＝BD﹣AD＝2000米．
答：此时渔政船和渔船相距2000米．
22．（7分）现有三张大小、形状完全一样的扑克牌，正面分别标有数字2，3，5．甲、乙二人做摸牌游戏，将三张扑克牌洗匀后背面朝上放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求二人抽取相同数字的概率．
（2）若二人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜，若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【分析】（1）根据列表法和概率的定义列式即可；
（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
2
3
5
2
（2，2）
（3，2）
（5，2）
3
（2，3）
（3，3）
（5，3）
5
（2，5）
（3，5）
（5，5）
可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，
所以两人抽取相同数字的概率为＝；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
23．（8分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【分析】（1）根据题意可得70×（1﹣60%），计算即可求解；
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由“实际耗油量下降到12千克”列方程得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，解方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得70×（1﹣60%）＝70×40%＝28（千克）；
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，
由题意，得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，
整理，得x2﹣65x﹣750＝0
解得：x1＝75，x2＝﹣10（舍去），
（90﹣75）×1.6%+60%＝84%；
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直
线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD＝3，AC＝5，求⊙O的直径．
【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN，进而得出答案；
（2）证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的判定与性质得出AB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD．
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN．
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线．
（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝5，DC＝3，
∴AD＝＝＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝，
即⊙O的直径长为．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）c＝3，点B（3，0），将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交CB于点M，
S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；
（3）①当点P在x轴上方时，
取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
设MH＝x，则MG＝，
则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，则点M（0，4），
将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，
联立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．
26．（10分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；
（2）①由旋转的性质得出AC＝AE，∠CAE＝90°，证得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；
②过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
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