北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称综合与测试课后测评

这是一份北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称综合与测试课后测评，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
2．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（ ）
A．44°B．60°C．67°D．77°
4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
5．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78°B．75°C．60°D．45°
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（ ）
A．1B．C．D．2
7．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（ ）
A．3：2B．5：3C．8：5D．13：8
8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（ ）
A．B．3C．1D．
9．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2）B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
10．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，把矩形沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，连接AE，下列结论：
①△FBD是等腰三角形；②四边形ABDE是等腰梯形；③图中共有6对全等三角形；④四边形BCDF的周长为cm；⑤AE的长为cm．
其中结论正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝145°．
其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
13．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（，3）B．（，）C．（2，2）D．（2，4）
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
A．1B．C．D．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（ ）
A．B．2C．D．2
二、填空题（共12小题）
16．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为 ．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 ．
19．如图，在Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是 ．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝ ．
21．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是 ．
22．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 ．
23．如图是长为40cm，宽为16cm的矩形纸片，M点为一边上的中点，沿过M的直线翻折．若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上，那么M点在 （填“长”或“宽”）上，若M点所在边的一个顶点能落在对边上，那么折痕长度为 cm．
24．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x＝时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 ．
26．如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中b＜a＜b．将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为 （用含a、b的代数式表示）．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
三、解答题（共3小题）
28．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝+1，AD＝．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为 ；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
29．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．
（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；
（2）请证明你所得到的数学猜想．
30．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD＝30°，AB＝，求△AOC的面积．
北师大新版七年级下册《第5章 生活中的轴对称》2
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
【分析】首先根据折叠可得AD＝BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
【解答】解：根据折叠可得：AD＝BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC＝5cm，
∴AD+DC＝17﹣5＝12（cm），
∵AD＝BD，
∴BD+CD＝12cm．
故选：C．
2．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【分析】根据平行线性质求出∠BMF和∠BNF，根据旋转得出全等，根据全等三角形性质得出∠BMN＝∠FMN＝∠FMB＝55°，∠BNM＝∠FNM＝∠FNM＝45°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝90°，
∴∠FMB＝110°，∠FNB＝∠C＝90°，
∵△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴△BMN≌△FMN，
∴∠BMN＝∠FMN＝∠FMB＝×110°＝55°，∠BNM＝∠FNM＝∠FNM＝45°，
∠B＝180°﹣∠BMN﹣∠BNM＝80°，
故选：C．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（ ）
A．44°B．60°C．67°D．77°
【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，
∴∠BDC＝＝67°．
故选：C．
4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D＝∠B＝65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′＝∠CB′D﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
故选：D．
5．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78°B．75°C．60°D．45°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．
6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】由在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设A′E＝x，由勾股定理即可得：x2+4＝（4﹣x）2，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
由折叠的性质，可得：A′D＝AD＝3，A′E＝AE，∠DA′E＝90°，
∴A′B＝BD﹣A′D＝5﹣3＝2，
设A′E＝x，
则AE＝x，BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
在Rt△A′BE中，A′E2+A′B2＝BE2，
∴x2+4＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
∴A′E＝．
故选：C．
7．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（ ）
A．3：2B．5：3C．8：5D．13：8
【分析】由题意分别计算出△DBP与△DCP的面积，从而BP：PC＝S△DBP：S△DCP，问题可解．
【解答】解：由题意可得：S△ABD＝S△ABC﹣S△DBC＝80﹣50＝30．
由折叠性质可知，S△DBP＝S△ABD＝30，
∴S△DCP＝S△DBC﹣S△DBP＝50﹣30＝20．
∴BP：PC＝S△DBP：S△DCP＝30：20＝3：2．
故选：A．
8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（ ）
A．B．3C．1D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2＝（4﹣x）2，再解方程即可．
【解答】解：∵AB＝3，AD＝4，
∴DC＝3，
∴AC＝＝5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E，
设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，
22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
故选：A．
9．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2）B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣2012，2）．
故选：A．
10．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，把矩形沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，连接AE，下列结论：
①△FBD是等腰三角形；②四边形ABDE是等腰梯形；③图中共有6对全等三角形；④四边形BCDF的周长为cm；⑤AE的长为cm．
其中结论正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB＝∠EBD，所以BF＝DF，可证得结论；
②∠AEF＝（180°﹣∠AFE）÷2＝（180°﹣∠BFD）÷2＝∠FBD，则AE∥BD，由AB＝DE，可证得；
③根据折叠的性质，得到相等的边角，即可判断；
④根据勾股定理即可求得BF的长，则DF可知，从而求得四边形的周长；
⑤利用△BDF∽△EAF，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【解答】解：①由折叠的性质知，CD＝ED，BE＝BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，
∴AB＝DE，BE＝AD，BD＝BD，
∴△ABD≌△EDB，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴BF＝DF，即△FBD是等腰三角形，结论正确；
②∵AD＝BE，AB＝DE，AE＝AE，
∴△AED≌△EAB（SSS），
∴∠AEB＝∠EAD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEB＝∠EBD，
∴AE∥BD，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形．结论正确；
③图中的全等三角形有：△ABD≌△CDB，△ABD≌△EDB，△CDB≌△EDB，△ABF≌△EDF，△ABE≌△EDA共有5对，则结论错误；
④BC＝BE＝8cm，CD＝ED＝AB＝6cm，
则设BF＝DF＝xcm，则AF＝8﹣xcm，
在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，则36+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝cm，
则四边形BCDF的周长为：8+6+2×＝14+＝cm，则结论正确；
⑤在直角△BCD中，BD＝＝10，
∵AE∥BD，
∴△BDF∽△EAF，
∴＝＝，
∴AE＝BD＝×10＝cm．则结论正确．
综上所述，正确的结论有①②④⑤，共4个．
故选：C．
11．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝145°．
其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可；求得∠GAF＝45°，∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAF＝135°．
【解答】解：①正确．
理由：
∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：
EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3．
∴BG＝3＝6﹣3＝CG；
③正确．
理由：
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，
∴AG∥CF；
④正确．
理由：
∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6，
∵S△AFE＝AF•EF＝×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE；
⑤错误．
∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAE＝45°，
∴∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAE＝135°．
故选：C．
12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；
易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
13．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（ ）
A．（，3）B．（，）C．（2，2）D．（2，4）
【分析】作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出B（0，2），A（2，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形求出MB和MO′，再求出点O′的坐标．
【解答】解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，
∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，2），A（2，0），
∴∠BAO＝30°，
由折叠的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，
∴MB＝1，MO′＝，
∴OM＝3，ON＝O′M＝，
∴O′（，3），
故选：A．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，
∴AB＝＝2，
∴∠BAC＝30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，
∵AD⊥ED，
∴BC∥DE，
∴∠CBF＝∠BED＝30°，
在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，
∴EF＝2﹣，
在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE
＝2S△ABD+S△ADE
＝2×BC•AD+AD•ED
＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）
＝1．
故选：A．
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（ ）
A．B．2C．D．2
【分析】先根据折叠的性质得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，则AB＝2EF，DC＝8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B＝90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH＝2，所以EF＝．
【解答】解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，
∴AB＝2EF，DC＝DF+CF＝8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△DHC中，DH＝＝2，
∴EF＝DH＝．
故选：A．
二、填空题（共12小题）
16．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为 4 ．
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，再根据AD＝BD可知AB＝2BC，AE＝BE，故∠A＝30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长．
【解答】解：∵△BDE由△BCE翻折而成，
∴BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AD＝BD，
∴AB＝2BC，AE＝BE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABC中，
∵AC＝6，
∴BC＝AC•tan30°＝6×＝2，
设BE＝x，则CE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC＝2，BE＝x，CE＝6﹣x，
∴BE2＝CE2+BC2，即x2＝（6﹣x）2+（2）2，解得x＝4．
故答案为：4．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 或3 ．
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD＝A′D＝5，进而得到A′B的长，再设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2＝x2+82，解出x的值，可得答案．
【解答】解：∵AB＝12，BC＝5，
∴AD＝5，BD＝＝13，
根据折叠可得：AD＝A′D＝5，
∴A′B＝13﹣5＝8，
设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，
在Rt△A′EB中：（12﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝，
故答案为：．
19．如图，在Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是 2π ．
【分析】根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，
路径长＝＝2π．
故答案为：2π．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝ ．
【分析】连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF＝BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
【解答】解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE＝ED，CF＝DF＝CD＝AB＝，
由折叠的性质可得AE＝A′E，
∴A′E＝DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F＝DF＝，
∴BF＝BA′+A′F＝AB+DF＝1+＝，
在Rt△BCF中，BC＝＝．
∴AD＝BC＝．
故答案为：．
21．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是 ．
【分析】由AE＝BE，可设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5k，AD＝BC．由折叠的性质可得∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF＝∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF＝＝k，由cs∠AFE＝cs∠DCF得出CF＝3k，即AD＝3k，进而求解即可．
【解答】解：∵AE＝BE，
∴设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5k，AD＝BC．
∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，
∴∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠FCD＝90°，
∴∠DCF＝∠AFE，
∴cs∠AFE＝cs∠DCF．
在Rt△AEF中，
∵∠A＝90°，AE＝2k，EF＝3k，
∴AF＝＝k，
∴＝，即＝，
∴CF＝3k，
∴AD＝BC＝CF＝3k，
∴长AD与宽AB的比值是＝．
故答案为：．
22．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．
【分析】先由折叠的性质得AE＝CE，AD＝CD，∠DCE＝∠A，进而得出，∠B＝∠BCD，求得BD＝CD＝AD＝＝5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC＝8，即可得四边形DBCE的周长．
【解答】解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE＝CE，AD＝CD，∠DCE＝∠A，
∴∠BCD＝90°﹣∠DCE，
又∵∠B＝90°﹣∠A，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD＝AD＝＝5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝＝3，
∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC＝5+3+4+6＝18．
故答案为：18．
23．如图是长为40cm，宽为16cm的矩形纸片，M点为一边上的中点，沿过M的直线翻折．若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上，那么M点在 宽 （填“长”或“宽”）上，若M点所在边的一个顶点能落在对边上，那么折痕长度为 10或8 cm．
【分析】过F作ME⊥AD于E，可得出四边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE＝BF，AB＝EM，分两种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M＝BM，BG＝B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE﹣B′E求出AB′的长，设AG＝x，由AB﹣AG表示出BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G＝AG＝y，由AE+B′E﹣AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE﹣AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG的长．
【解答】解：（1）∵若点M在宽上，则×16cm＝8cm，
∴沿过M的直线翻折不能落在对边上；
（2）分两种情况考虑：
（i）如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM＝AB＝16，AE＝BM，
又∵BC＝40，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M＝BM＝BC＝20，
在Rt△EFB′中，根据勾股定理得：B′E＝＝12，
∴AB′＝AE﹣B′E＝20﹣12＝8，
设AG＝x，则有GB′＝GB＝16﹣x，
在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′2＝AG2+A′B′2，
即（16﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴GB＝16﹣6＝10，
在Rt△GBF中，根据勾股定理得：GM＝＝10；
（ii）如图2所示，过M作ME⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM＝AB＝16，AE＝BM，
又BC＝40，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M＝BM＝BC＝20，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E＝＝12，
∴AB′＝AE+B′E＝20+12＝32，
设AG＝A′G＝y，则GB′＝AB′﹣AG＝AE+EB′﹣AG＝32﹣y，A′B′＝AB＝16，
在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G2+A′B′2＝GB′2，
即y2+162＝（32﹣y）2，
解得：y＝12，
∴AG＝12，
∴GE＝AE﹣AG＝20﹣12＝8，
在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM＝＝＝8，
综上，折痕MG＝10或8．
故答案为：宽，10或8．
24．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x＝时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是 ①④ （写出所有正确判断的序号）．
【分析】（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE＝1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF＝AC，同理得出GH＝AC，从而得出结论．
（3）由六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．
（4）六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．
【解答】解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，
∴点P是正方形ABCD的中心；
故①结论正确，
（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x＝，
∴BE＝2﹣＝，
∴＝，即＝，
∴EF＝AC，
同理，GH＝AC，
∴EF+GH＝AC，
故②结论错误，
（3）六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．
∵AE＝x，
∴六边形AEFCHG面积＝22﹣BE•BF﹣GD•HD＝4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，
故③结论错误，
（4）当0＜x＜2时，
∵EF+GH＝AC，
六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）＝2+2+2＝4+2
故六边形AEFCHG周长的值不变，
故④结论正确．
故答案为：①④．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 6 ．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，∠D＝90°，根据折叠性质得出CF＝BC＝10，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝8，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，
∴CF＝BC＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝6，
故答案为：6．
26．如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中b＜a＜b．将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为 3a﹣2b （用含a、b的代数式表示）．
【分析】由轴对称可以得出A′B＝AB＝a，就有A′C＝b﹣a，从而就有A′C′＝b﹣a，就可以得出C′D′＝a﹣2（b﹣a），化简就可以得出结论．
【解答】解：由轴对称可以得出A′B＝AB＝a，
∵BC＝b，
∴A′C＝b﹣a．
由轴对称可以得出A′C′＝b﹣a，
∴C′D′＝a﹣2（b﹣a），
∴C′D′＝3a﹣2b．
故答案为：3a﹣2b．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
【分析】首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵AB＝AC，BC＝8，tanC＝，
∴＝，QC＝BQ＝4，
∴AQ＝6，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过B′点作B′E⊥BC于点E，
∴B′E＝AQ＝3，
∴＝，
∴EC＝2，
设BD＝x，则B′D＝x，
∴DE＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
∴x2＝（6﹣x）2+32，
解得：x＝，
直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．
故答案为：．
三、解答题（共3小题）
28．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝+1，AD＝．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为 ﹣ ；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
【分析】（1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）由（1）知，AD′＝，故可得出BD′的长，根据图形翻折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论；
（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，
∴AD′＝AD＝D′E＝DE＝，
∴AE＝＝＝；
（2）∵由（1）知AD′＝，
∴BD′＝1，
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
∴B′D′＝BD′＝1，
∵由（1）知AD′＝AD＝D′E＝DE＝，
∴四边形ADED′是正方形，
∴B′F＝AB′＝﹣1，
∴S梯形B′FED′＝（B′F+D′E）•B′D′＝（﹣1+）×1＝﹣；
故答案为：（1）；（2）﹣；
（3）∵∠C＝90°，BC＝，EC＝1，
∴tan∠BEC＝＝，
∴∠BEC＝60°，
由翻折可知：∠DEA＝45°，
∴∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，
∴＝＝．
29．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．
（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；
（2）请证明你所得到的数学猜想．
【分析】（1）猜想四边形ABCD是菱形；
（2）根据折叠的性质得到∠MAD＝∠DAC＝∠MAC，∠CAB＝∠NAB＝∠CAN，∠DCA＝∠MCD＝∠ACM，∠ACB＝∠NCB＝∠ACN，再根据正方形的性质得∠MAC＝∠∠MCA＝∠NAC＝∠NCA，所以∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA，于是可判断四边形ABCD为平行四边形，且DA＝DC，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；
（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，
∴∠MAD＝∠DAC＝∠MAC，
同理可得∠CAB＝∠NAB＝∠CAN，∠DCA＝∠MCD＝∠ACM，∠ACB＝∠NCB＝∠ACN，
∵四边形AMCN是正方形，
∴∠MAC＝∠MCA＝∠NAC＝∠NCA，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
30．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD＝30°，AB＝，求△AOC的面积．
【分析】（1）根据矩形的对边相等可得AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，再根据翻折的性质可得AB＝AE，∠B＝∠E，然后求出AE＝CD，∠D＝∠E，再利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AO＝CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，
∴AB＝AE，∠B＝∠E，
∴AE＝CD，∠D＝∠E，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
（2）解：∵△AOE≌△COD，
∴AO＝CO，
∵∠OCD＝30°，AB＝，
∴CO＝CD÷cs30°＝÷＝2，
∴△AOC的面积＝AO•CD＝×2×＝．
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