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初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试练习题
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这是一份初中数学北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试练习题，共48页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大新版七年级下册《第4章 三角形》1
一、选择题（共5小题）
1．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP＝x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共2小题）
6．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 ．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，则△AB′C的面积为 ．
三、解答题（共23小题）
8．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，则BE＝ cm．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
11．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．
求证：AC＝OD．
12．如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF．
13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC＝45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN＝BE
（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
15．如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：DE＝AB．
16．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE＝CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
17．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．
18．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝ ，CB＝ ．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE．
21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD＝CF．
22．（1）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
23．探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
24．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE．
25．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE．求证：∠A＝∠B．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求证：BC＝DC．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP＝∠ABP；
（2）求证：AE＝CP；
（3）当，BP′＝5时，求线段AB的长．
29．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为： ；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系： ．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
北师大新版七年级下册《第4章 三角形》1
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选：C．
2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质得AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，则由CE＝DF易得AF＝DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE＝BF；根据全等的性质得∠ABF＝∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB＝90°得到∠ABF+∠EAB＝90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF＝S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
3．如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP＝x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
【分析】过E作EH⊥BC于H，求出EH＝CH，求出△BAP∽△HPE，得出＝，求出EH＝x，代入y＝×CP×EH求出即可．
【解答】解：过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH＝90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH＝∠DCH＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ECH＝∠CEH＝45°，
∴EH＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B＝∠H＝∠APE＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠EPH＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
∵∠B＝∠H＝90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝x，
∴y＝×CP×EH
＝（4﹣x）•x
y＝2x﹣x2，
故选：C．
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
5．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝×＝，
∴sinα＝＝．
故选：D．
二、填空题（共2小题）
6．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 AC＝BD（答案不唯一） ．
【分析】利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC＝BD，AD＝BC．
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，则△AB′C的面积为 8 ．
【分析】利用旋转的性质以及矩形的判定得出AC′＝B′D＝AC＝4，进而利用三角形面积公式求出即可．
【解答】解：根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，过点B'作B′D⊥AC于点D，
∵∠C′AC＝∠AC′B′＝∠ADB′，
∴四边形C′ADB′是矩形，
∴AC′＝B′D＝AC＝4，
∴△AB′C的面积为：×AC×B′D＝×4×4＝8．
故答案为：8．
三、解答题（共23小题）
8．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，则BE＝ 6 cm．
【分析】（1）求出∠ACD＝∠BCE，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出AD＝BE，根据勾股定理求出AB，即可求出AD，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝3，
又∵DB＝AB，
∴AD＝2AB＝6，
∵△ACD≌△BCE；
∴BE＝AD＝6，
故答案为：6．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE＝∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE．
11．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．
求证：AC＝OD．
【分析】根据同角的余角相等求出∠A＝∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC＝OD．
12．如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF．
【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC＝45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN＝BE
（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
【分析】（1）首先对结论作出否定，写出猜想FN﹣MF＝BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN＝AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，结合MN＝FN﹣MF，于是证明出猜想．
（2）连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN＝AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，结合MN＝FM﹣FN，得到结论MF﹣FN＝BE．
【解答】（1）答：不成立，
猜想：FN﹣MF＝BE，
理由如下：
证明：如图2，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN＝AD，
又∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵MN＝FN﹣MF，
∴FN﹣MF＝BE；
（2）图3结论：MF﹣FN＝BE，
证明：如图3，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN＝AD，
∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴MN＝BE，
∵MN＝FM﹣FN，
∴MF﹣FN＝BE．
14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE＝∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF＝BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
15．如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：DE＝AB．
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
16．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE＝CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 60 度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，然后求出∠BAE＝∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB＝BD＝DD′＝AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′＝∠DBD′＝30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC＝AE，∠ACE＝60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′＝∠ACD′＝30°，从而得到∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PD′C＝30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．
【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣60°×2＝60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角＝∠DAE＝60°．
故答案为：60．
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°，DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE，∠ACE＝60°，
∵AC＝2AB，
∴AE＝2AD′，
∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
17．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．
【分析】要证明BE＝CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD（全等三角形的对应边相等）．
18．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝ ，CB＝ ．
【分析】（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE＝CB，根据BE＝AB﹣AE即可证得；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB．
如图（3）：BD﹣AB＝CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．
（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况
若是第1个图：易证△ACE≌△DCB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD＝BH，
∴BH＝DH＝1．
直角△CDH中，∠DCH＝30°，
∴CD＝2DH＝2，CH＝．
∴CB＝+1
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．
解法类似上面，CD＝2，但是CB＝﹣1．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 DE＝BC ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB＝DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE＝BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE＝BC可得到BF+BP＝DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，则BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP＝DE．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB＝DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BC；
故答案为DE＝BC．
（2）BF+BP＝DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF＝60°，DP＝DF，
而∠CDB＝60°，
∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP＝∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP＝BF，
而CP＝BC﹣BP，
∴BF+BP＝BC，
∵DE＝BC，
∴BC＝DE，
∴BF+BP＝DE；
（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
而CP＝BC+BP，
∴BF﹣BP＝BC，
∴BF﹣BP＝DE．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE．
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF＝∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE＝BF，从而得证，
【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE，
又∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
∴AE＝CE．
21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD＝CF．
【分析】根据平行线性质得出∠1＝∠F，∠2＝∠A，求出AE＝EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF．
22．（1）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
【分析】（1）①求出∠ABE＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可；
②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；
（2）设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．
【解答】（1）①证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°；
（2）解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，﹣＝10，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，并且符合题意，
1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．
23．探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 152 ．
【分析】探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；
应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AE，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．
【解答】解：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∵∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF＝AE，
∴四边形AFCE为正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AFCE＝AE2＝102＝100；
应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，
则∠ADF+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE＝19，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝BC•AE+CD•AF
＝×10×19+×6×19
＝95+57
＝152．
故答案为：152．
24．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE．
【分析】根据中心对称得出OB＝OD，OA＝OC，求出OF＝OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴FD＝BE．
25．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE．求证：∠A＝∠B．
【分析】根据中点定义求出AC＝BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求证：BC＝DC．
【分析】先求出∠ACB＝∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC＝DC．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；
（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，
即∠ABD＝30°﹣α；
（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°，
∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，
∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，
∴α＝30°．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP＝∠ABP；
（2）求证：AE＝CP；
（3）当，BP′＝5时，求线段AB的长．
【分析】（1）根据旋转的性质可得AP＝AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′＝∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP＝DP，然后求出∠PAD＝∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝DP，从而得证；
（3）设CP＝3k，PE＝2k，表示出AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出P′E＝4k，再求出△ABP′和△EP′P相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A＝AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP＝AP′，
∴∠APP′＝∠AP′P，
∵∠C＝90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′P＝90°，
又∵∠BPC＝∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP＝∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP＝∠ABP，∠C＝90°，
∴CP＝DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E＝90°，
又∵∠PAD+∠EAP′＝90°，
∴∠PAD＝∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE＝DP，
∴AE＝CP；
（3）解：∵＝，
∴设CP＝3k，PE＝2k，
则AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝3k+2k＝5k，
在Rt△AEP′中，P′E＝＝4k，
∵∠C＝90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠EP′P+∠EPP′＝90°，
∵∠BPC＝∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP＝∠EP′P，
又∵∠CBP＝∠ABP，∴∠ABP＝∠EP′P，
又∵∠BAP′＝∠P′EP＝90°，
∴△ABP′∽△EP′P，
∴＝，
即＝，
解得P′A＝AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2＝BP′2，
即AB2+AB2＝（5）2，
解得AB＝10．
29．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为： EF⊥FG，EF＝FG ；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系： BF+BP＝EQ ．
【分析】（1）根据线段中点的定义求出AE＝AF＝BF＝BG，然后利用“边角边”证明△AEF和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝FG，全等三角形对应角相等可得∠AFE＝∠BFG＝45°，再求出∠EFG＝90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE＝FG，BF＝BG，再根据BG+GP＝BP等量代换即可得证；
（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．
【解答】解：（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，
∴AE＝AF＝BF＝BG，
在△AEF和△BFG中，
，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，
∴EF⊥FG，EF＝FG；
（2）BF+EQ＝BP．
理由：如图2，取BC的中点G，连接FG，
则EF⊥FG，EF＝FG，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△FQE和△FPG中，
，
∴△FQE≌△FPG（SAS），
∴QE＝PG且BF＝BG，
∵BG+GP＝BP，
∴BF+EQ＝BP；
（3）如图3所示，BF+BP＝EQ．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD，即可得出答案；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD＝AD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC．
（2）四边形ADCF是菱形，
证明：AF∥BC，AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
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日期：2019/11/14 9:43:00；用户：张瑞兰；邮箱：15963432934；学号：30210107
北师大新版七年级下册《第4章 三角形》1
一、选择题（共5小题）
1．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP＝x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共2小题）
6．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 ．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，则△AB′C的面积为 ．
三、解答题（共23小题）
8．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，则BE＝ cm．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
11．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．
求证：AC＝OD．
12．如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF．
13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC＝45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN＝BE
（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
15．如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：DE＝AB．
16．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE＝CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
17．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．
18．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝ ，CB＝ ．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE．
21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD＝CF．
22．（1）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
23．探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
24．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE．
25．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE．求证：∠A＝∠B．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求证：BC＝DC．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP＝∠ABP；
（2）求证：AE＝CP；
（3）当，BP′＝5时，求线段AB的长．
29．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为： ；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系： ．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
北师大新版七年级下册《第4章 三角形》1
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选：C．
2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质得AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，则由CE＝DF易得AF＝DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE＝BF；根据全等的性质得∠ABF＝∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB＝90°得到∠ABF+∠EAB＝90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF＝S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连结BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
3．如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP＝x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
【分析】过E作EH⊥BC于H，求出EH＝CH，求出△BAP∽△HPE，得出＝，求出EH＝x，代入y＝×CP×EH求出即可．
【解答】解：过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH＝90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH＝∠DCH＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ECH＝∠CEH＝45°，
∴EH＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B＝∠H＝∠APE＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠EPH＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
∵∠B＝∠H＝90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝x，
∴y＝×CP×EH
＝（4﹣x）•x
y＝2x﹣x2，
故选：C．
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
5．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝×＝，
∴sinα＝＝．
故选：D．
二、填空题（共2小题）
6．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 AC＝BD（答案不唯一） ．
【分析】利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC＝BD，AD＝BC．
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，则△AB′C的面积为 8 ．
【分析】利用旋转的性质以及矩形的判定得出AC′＝B′D＝AC＝4，进而利用三角形面积公式求出即可．
【解答】解：根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，过点B'作B′D⊥AC于点D，
∵∠C′AC＝∠AC′B′＝∠ADB′，
∴四边形C′ADB′是矩形，
∴AC′＝B′D＝AC＝4，
∴△AB′C的面积为：×AC×B′D＝×4×4＝8．
故答案为：8．
三、解答题（共23小题）
8．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，则BE＝ 6 cm．
【分析】（1）求出∠ACD＝∠BCE，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出AD＝BE，根据勾股定理求出AB，即可求出AD，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝3，
又∵DB＝AB，
∴AD＝2AB＝6，
∵△ACD≌△BCE；
∴BE＝AD＝6，
故答案为：6．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE＝∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE．
11．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．
求证：AC＝OD．
【分析】根据同角的余角相等求出∠A＝∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC＝OD．
12．如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF．
【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC＝45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN＝BE
（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）
【分析】（1）首先对结论作出否定，写出猜想FN﹣MF＝BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN＝AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，结合MN＝FN﹣MF，于是证明出猜想．
（2）连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN＝AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，结合MN＝FM﹣FN，得到结论MF﹣FN＝BE．
【解答】（1）答：不成立，
猜想：FN﹣MF＝BE，
理由如下：
证明：如图2，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN＝AD，
又∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵MN＝FN﹣MF，
∴FN﹣MF＝BE；
（2）图3结论：MF﹣FN＝BE，
证明：如图3，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN＝AD，
∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴MN＝BE，
∵MN＝FM﹣FN，
∴MF﹣FN＝BE．
14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE＝∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF＝BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
15．如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：DE＝AB．
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
16．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE＝CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为 60 度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，然后求出∠BAE＝∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB＝BD＝DD′＝AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′＝∠DBD′＝30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC＝AE，∠ACE＝60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′＝∠ACD′＝30°，从而得到∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PD′C＝30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．
【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣60°×2＝60°，
∵边AD′落在AE上，
∴旋转角＝∠DAE＝60°．
故答案为：60．
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°，DP∥BC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE，∠ACE＝60°，
∵AC＝2AB，
∴AE＝2AD′，
∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，
在△BDD′与△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
17．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD．
【分析】要证明BE＝CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD（全等三角形的对应边相等）．
18．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝ ，CB＝ ．
【分析】（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE＝CB，根据BE＝AB﹣AE即可证得；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB．
如图（3）：BD﹣AB＝CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．
（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况
若是第1个图：易证△ACE≌△DCB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD＝BH，
∴BH＝DH＝1．
直角△CDH中，∠DCH＝30°，
∴CD＝2DH＝2，CH＝．
∴CB＝+1
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．
解法类似上面，CD＝2，但是CB＝﹣1．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 DE＝BC ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB＝DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE＝BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE＝BC可得到BF+BP＝DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，则BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP＝DE．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB＝DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BC；
故答案为DE＝BC．
（2）BF+BP＝DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF＝60°，DP＝DF，
而∠CDB＝60°，
∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP＝∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP＝BF，
而CP＝BC﹣BP，
∴BF+BP＝BC，
∵DE＝BC，
∴BC＝DE，
∴BF+BP＝DE；
（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
而CP＝BC+BP，
∴BF﹣BP＝BC，
∴BF﹣BP＝DE．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE．
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF＝∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE＝BF，从而得证，
【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE，
又∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
∴AE＝CE．
21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD＝CF．
【分析】根据平行线性质得出∠1＝∠F，∠2＝∠A，求出AE＝EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF．
22．（1）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
【分析】（1）①求出∠ABE＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可；
②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；
（2）设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．
【解答】（1）①证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°；
（2）解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，﹣＝10，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，并且符合题意，
1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．
23．探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 152 ．
【分析】探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；
应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AE，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．
【解答】解：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∵∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF＝AE，
∴四边形AFCE为正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AFCE＝AE2＝102＝100；
应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，
则∠ADF+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE＝19，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝BC•AE+CD•AF
＝×10×19+×6×19
＝95+57
＝152．
故答案为：152．
24．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE．
【分析】根据中心对称得出OB＝OD，OA＝OC，求出OF＝OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴FD＝BE．
25．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE．求证：∠A＝∠B．
【分析】根据中点定义求出AC＝BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求证：BC＝DC．
【分析】先求出∠ACB＝∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC＝DC．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；
（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，
即∠ABD＝30°﹣α；
（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°，
∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，
∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，
∴α＝30°．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP＝∠ABP；
（2）求证：AE＝CP；
（3）当，BP′＝5时，求线段AB的长．
【分析】（1）根据旋转的性质可得AP＝AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′＝∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP＝DP，然后求出∠PAD＝∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝DP，从而得证；
（3）设CP＝3k，PE＝2k，表示出AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出P′E＝4k，再求出△ABP′和△EP′P相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A＝AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP＝AP′，
∴∠APP′＝∠AP′P，
∵∠C＝90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′P＝90°，
又∵∠BPC＝∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP＝∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP＝∠ABP，∠C＝90°，
∴CP＝DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E＝90°，
又∵∠PAD+∠EAP′＝90°，
∴∠PAD＝∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE＝DP，
∴AE＝CP；
（3）解：∵＝，
∴设CP＝3k，PE＝2k，
则AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝3k+2k＝5k，
在Rt△AEP′中，P′E＝＝4k，
∵∠C＝90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠EP′P+∠EPP′＝90°，
∵∠BPC＝∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP＝∠EP′P，
又∵∠CBP＝∠ABP，∴∠ABP＝∠EP′P，
又∵∠BAP′＝∠P′EP＝90°，
∴△ABP′∽△EP′P，
∴＝，
即＝，
解得P′A＝AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2＝BP′2，
即AB2+AB2＝（5）2，
解得AB＝10．
29．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为： EF⊥FG，EF＝FG ；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系： BF+BP＝EQ ．
【分析】（1）根据线段中点的定义求出AE＝AF＝BF＝BG，然后利用“边角边”证明△AEF和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝FG，全等三角形对应角相等可得∠AFE＝∠BFG＝45°，再求出∠EFG＝90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE＝FG，BF＝BG，再根据BG+GP＝BP等量代换即可得证；
（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．
【解答】解：（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，
∴AE＝AF＝BF＝BG，
在△AEF和△BFG中，
，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，
∴EF⊥FG，EF＝FG；
（2）BF+EQ＝BP．
理由：如图2，取BC的中点G，连接FG，
则EF⊥FG，EF＝FG，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△FQE和△FPG中，
，
∴△FQE≌△FPG（SAS），
∴QE＝PG且BF＝BG，
∵BG+GP＝BP，
∴BF+EQ＝BP；
（3）如图3所示，BF+BP＝EQ．
30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD，即可得出答案；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD＝AD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC．
（2）四边形ADCF是菱形，
证明：AF∥BC，AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
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