2.2实数的概念及立方根-浙教版七年级（暑假班）数学上册讲义（教师版+学生版）（教育机构专用）

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实数的概念及立方根
知识梳理
一、实数中的几个概念
（一）有理数：整数和分数统称有理数。 （六年级学过的内容）
（二）无理数：无限不循环小数叫做无理数，例如π，0.1010010001……，等等这样三类无限不循环小数，在中学阶段比较常见。
（三）实数：有理数和无理数统称为实数。
(1)按定义分类 (2)按性质符号分类

（四）实数相关的概念
①相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0
②倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是；
（2）a和b 互为倒数；
（3）注意0没有倒数
③绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：

（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
二、立方根与开立方：
1．如果一个数的立方等于,那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”。
中的a叫做被开方数，3叫做根指数。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
2．正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。
3．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)，(2)。

例题解析
【例1】 将下列各数填入相应的横线上：
1，，0.，，﹣3.030030003…，0，，，π，．
整数：{ 0，， }
有理数：{ 1，，0.，0，，， }
无理数：{ ，π，﹣3.030030003… }
负实数：{ ﹣3.030030003…， }
【例2】求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
（1）3.8； -3.8 3.8
（2）﹣； -
（3）﹣π； π - π
（4）； -
（5）． -
【例3】按要求填空
（1）相反数等于它本身的数是 0 ；
（2）倒数等于它本身的数是 ±1 ；
（3）平方等于它本身的数是 0,1 ；
（4）平方根等于它本身的数是 0 ；
（5）算术平方根等于它本身的数是 0,1 ；
（6）立方等于它本身的数是 0，±1 ；
（7）立方根等于它本身的数是 0，±1 ；
（8）绝对值等于它本身的数是 非负数 ．
【例4】在数轴上表示的点可能是（ D ）

【例5】已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣．
答案：b

【例6】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
答案：2a+b-1
【例7】在数轴上近似表示出数3，﹣1，0，﹣4，，|﹣4|，并把它们用“＜”连接起来．
﹣4<-1<0<<3<|﹣4|
【例8】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
答案：4
【例9】m是的整数部分，n是的小数部分，求（m﹣n）2的值．
答案：49+12
【例10】一个棱长为5dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，这个新正方体的棱长是多少分米（保留两位小数）？
答案：≈6.30
【例11】已知2a的平方根是±2，3是3a+b的立方根，求a﹣2b的值．
答案：-40
【例12】已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值．
答案=-11
反思总结
按定义分类
随堂检测
一、选择题：
1、在实数π、、、,无理数的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、的平方根是（ D ）
A、 B、+3 C、 D、
3、估算的值（ C ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
4、一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ B ）
A．B．C．D．
5、以下说法中正确的有（ C ）
A．16的平方根是 B．64的立方根是
C．的立方根是 D．81的平方根是9
6、与算式的运算结果相等的是（ A ）
A． B. C. D.
7、的值是（ D ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．以上都可能
8、下列说法中：⑴无限小数都是无理数；⑵无理数都是无限小数；⑶带根号的数都是无理数；⑷两个无理数的和还是无理数。其中错误的有（ A ）个
A、 3 B、 1 C、 4 D、 2
9、若则x 的取值范围是( B )
A、 B、 C、 D、
二、填空题：
1．在，，－，－，，0.315311531115…，0中，无理数有__,－,0.315311531115…____；负实数有___－,－,___；整数有____,,0____________
2．的平方根是_ ±_ _，算术平方根的相反数是_ - __，算术平方根的倒数的平方根是_±_ _
3．=_____a_______,____a______
4．满足－＜x＜的整数x 是____-1,0,1,2,3__________________
5. 如果，，那么的平方根是______±3________________
6．若与互为相反数，则=______2________________
7．___5______；_____5___；__________
=_____5____；=___-5_____；=____-5______
=____2_____； =__9+4________
8．平方根等于本身的数是___0_____；立方根等于本身的数是__0,±1_____
9．要使有意义，则x可以取的最小整数是 2
10.当时，化简________________
11.一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的____3______倍
三、判断题：
①无理数没有平方根。 （ × ）
②0的平方根是0。 （ √ ）
③所有无理数的平方是有理数。 （ × ）
④任意正数都有两个平方根。 （ √ ）
⑤是分数。 （ × ）
四、解答题：
1、已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
答案：10-29
2、把下列无限循环小数化成分数：① ② ③

3、已知是的算术平方根，是的立方根,
求的平方根.
答案：±
课后练习
一、选择题
1、下列说法正确的是 （ B ）
A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数
2、在–π，，，，，–2，中有理数的个数是（ C ）
A．2 B.3 C.4 D.5
3、一个正数的正的平方根是m，那么比这个正数大1的数的平方根是（ D ）
A．m2＋1 B.± C. D.±
下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有 （ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、若，且，则的值为 （ B ）
A． B． C． D．
6、-27 的立方根与的平方根之和是 （ C ）
A．0 B．6 C．0或-6 D．-12或6
7、下列计算结果正确的是（ B ）
A． B． C． D．
8、面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ B ）
A． B. C. D.
9、对于来说（ C ）
A．有平方根 B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
填空题
1、的算术平方根是___3____，=______
2、算术平方根等于它本身的数是____0，1______；立方根等于它本身的数是__0，±1________
3、若，，则_____0.07071__________;若，，则______8962______________
4、实数____不是____分数（填“是”或“不是”）； 0.1010010001是__有理数____（填“有理数”或“无理数”）
5、一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是___36_________
6、写出两个和为6的无理数，它们可以是___3+，3-__________(写出一组即可)
7、大于，小于的整数有___5___个
8、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__1___，x=__9___
9、=__4-______
三、解答题
1、设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值
答案：10
2、如果A的平方根是2x－1与3x－4，求A的值
A=1
3、解方程：
X=-或x=
火星有两个非常小的卫星，较大的一颗直径为27km，较小的一颗的体积是较大卫星的， 求较小卫星的直径？
球体体积公式=
答案：15
O
…
S2
S4
……
S3
S5
A2
A1
A3
A4
A5
A6
1
1
1
1
1
5、细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。
（）2+1=2， S1= ；
（）2+1=3， S2= ；
（）2+1=4， S3=； ……
请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
推算出OA10的长；
推算出S12+ S2 2+ S32+…+S102 的值。
(1) (2)答案： （3）答案：
教师
日期
学生
课程编号
08
课型
新课
课题
实数的概念及立方根
教学目标
了解实数的概念；
能够估算实数的大小；
2、能够区分立方和开立方的差别；
教学重点
1、能够估算实数的大小；
2、能够区分立方和开立方的差别；
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
20
2
例题解析
60
3
师生总结
10
4
当堂检测
30
5
课后练习
30
……