北师大版九年级上册1 反比例函数习题

北师大版九年级数学上册期末专题 第六章反比例函数

单元检测试卷

一、单选题（共10题；共30分）

1. 反比例函数的图象经过点(-2，3)，则k的值为（    ）.

A. -3 B. 3 C. -6 D. 6

【答案】C

【解析】

【详解】分析：根据待定系数法，把点代入解析式即可求出k的值.

详解：∵反比例函数的图象经过点(-2，3)

∴k=-6.

故选C.

点睛：此题主要考查了反比例函数解析式，关键是利用代入法由k=xy求出系数k值.

2. 下列函数是y关于x的二次函数的是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数可知：A、B、D选项均不符合定义要求，只有C符合定义，故选C.

3. 反比例函数的图像位于（    ）

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限

C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，因此，

∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限. 故选D.

考点：反比例函数的性质.

4. 反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（　　）

A. （6，﹣1） B. （﹣1，﹣6） C. （3，2） D. （﹣2，3.1）

【答案】A

【解析】

【详解】利用代入法，可得k=-6，然后把各点代入k=xy，可知：A、k=-6，经过点（6，-1）；B、k=（-1）×（-6）=6，不经过（-1，-6）；同理不经过（3，2）和（-2，3.1）.

故选A.

5. 已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（　　）

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【详解】分析：把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．

详解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，1），

∴代入得：2k-3=1×1，

解得：k=2，

故选D．

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是解此题的关键．

6. 对于函数y=，若x=2时，y=-3，则这个函数的解析式是（　　）

A. y=  B. y= C. y=-   D. y=-

【答案】C

【解析】

【分析】设反比例函数的解析式y=，再根据题意求得k，即可求得反比例函数的解析式．

【详解】设反比例函数的解析式y=，

把x=2时，y=-3代入解析式y=，

解得k=-6，

则反比例函数的解析式是y=−，

故选C．

【点睛】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式，反比例函数中只有一个待定系数，因此只需知道经过的一个点的坐标或一对x、y的值．

7. 对于函数，下列说法错误的是【 】

A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形

C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可：

【详解】A、∵函数中k=6＞0，∴此函数图象两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；

B、∵函数是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；

C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；

D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．

故选C．

8. 反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是(     )

A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1

【答案】A

【解析】

【详解】解：k=6＞0，所以反比例函数图像位于一三象限，并且当x＜0时，y随着x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3．

故选A．

【点睛】已知反比例函数解析式和点的横坐标要比较纵坐标大小，可以数形结合，借助图像的性质进行比较．

9. 若函数是反比例函数，则为（  ）

A. ±2 B. 2

C. -2 D. 以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】让反比例函数中未知数的次数为-1，系数不为0列式求值即可．

【详解】∵y=(n-2)是反比例函数，

∴，

解得：n=-2.

故答案选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.

10. 如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y＝（x＞o）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k的值为

A. 2 B. 3 C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设A(a，)，则有C ，B

考点：反比例函数

点评：本题属于对反比例函数的基本知识

二、填空题（共10题；共30分）

11. 已知某双曲线过点（3，﹣ ），则这个双曲线的解析式为________．

【答案】y=﹣

【解析】

【分析】将点（3，-）代入解析式，即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式．

【详解】设双曲线的解析式为y=，

∵双曲线过点（3，-），

∴k=3×（-）=-1，

∴双曲线的解析式为：y=-．

故答案为y=-．

【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用点的坐标得出k的值是解题关键．

12. 若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据反比例函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

【详解】∵反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
∴m＜-2．
故答案为：m＜-2．

【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

13. 若双曲线与直线无交点，则k的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【详解】解：∵双曲线y=与直线无交点，∴2﹣k与异号，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为k＞2．

14. 已知点(－1，y1)、(2，y2)、(，y3)在反比例函数的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是__________ (用“>”连接)

【答案】y1>y3>y2

【解析】

【详解】

反比例函数的图像在二，四象限，在每一象限内随的增大而增大

点在第二象限

都在第四象限，且

15. 如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y= （k＞0）的图象上，那么y1  ， y2  ， y3的大小关系是________（请用“＜”表示出来）

【答案】y2＜y1＜y3

【解析】

【分析】利用反比例函数的增减性可比较y1、y2，再利用函数值的正负可得出y3为正数，可求得答案．

【详解】∵y=（k＞0），

∴函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，

∵A（-2，y1），B（-1，y2），

∴y2＜y1＜0，

∵C（2，y3），

∴y3＞0，

∴y2＜y1＜y3，

故答案为y2＜y1＜y3．

【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．

16. 某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数关系式是y=________ ．

【答案】

【解析】

【分析】根据等量关系“工作时间=工作总量÷工效”即可列出关系式．

【详解】由题意得：煤能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数关系式是y=．

故答案为．

【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中应用，找出等量关系是解决此题的关键．

17. 如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．

【答案】5．

【解析】

【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解

【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b

把y=b代入y＝得,b=

则x=,即B的横

坐标是

同理可得:A的横坐标是：

则AB=-（）=

则 S =×b=5.

故答案为5

【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b

18. 已知反比例函数(k＜0) 的图像经过点A（a，a－2），则a的取值范围是_______．

【答案】0＜a＜2

【解析】

【详解】试题解析：∵k＜0

∴反比例函数(k＜0) 的图像经过二、四象限

∵点A在反比例函数(k＜0) 的图像上

∴或

∴0＜a＜2

19. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．

【答案】.

【解析】

【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.

20. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____．

【答案】﹣3

【解析】

【详解】解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），

∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴，

∴△ABC是等腰直角三角形，

过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，

则A′E=3，BE==4，

∵△A′BC′是△ABC旋转得到，

∴∠A′BE=∠C′BF，

在△A′BE和△C′BF中，

，

∴△A′BE≌△C′BF（AAS），

∴BF=BE=4，C′F=A′E=3，

∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1，

∴点C′的坐标为（1，﹣3），

把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3，

解得k=﹣3．

故答案是：﹣3．

三、解答题（共7题；共60分）

21. 已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：

①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根；

②反比例函数y=的图象在二，四象限．

（1）求a的值；

（2）在所给直角坐标系中用描点法画出y=的图象，并根据图象写出：

当x＞4时，y的取值范围 ；

当y＜1时，x的取值范围是．

【答案】(1) a=﹣2；(2) ﹣＜y＜0，x＜﹣2或x＞0．

【解析】

【分析】（1）先根据关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根求出a的取值范围，再由反比例函数y＝的图象在二，四象限得出a的取值范围，由a为整数即可得出a的值；

（2）根据a的值得出反比例函数解析式，画出函数图象，由函数图象即可得出结论．

【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=9+4a＞0，得a＞﹣且a≠0；

∵反比例函数图象在二，四象限，

∴2a+2＜0，得a＜﹣1，

∴﹣＜a＜﹣1，

∵a是整数，

∴a=﹣2；

（2）∵a=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣，

其函数图象如图所示：

当x＞4时，y的取值范围﹣＜y＜0；

当y＜1时，x的取值范围是 x＜﹣2或x＞0．

故答案为﹣＜y＜0，x＜﹣2或x＞0．

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意画出函数图象，利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．

22. 已知函数是反比例函数．

(1) 求m的值；

(2) 求当时，y的值

【答案】（1）m=﹣1 （2）﹣

【解析】

【详解】试题分析：（1）让x的次数等于－1，系数不为0列式求值即可；

（2）把代入（1）中所得函数，求值即可．

试题解析：（1）且，

解得：且，

∴．

(2) 当时，原方程变为，

当时，．

23. 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为__（n为正整数）．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．

解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|=2．

所以S1=2，S2= S1=1，S3=S1=，S4=S1=，S5=S1=．

依此类推：Sn的值为．

故答案是：．

考点：反比例函数综合题．

点评：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．

24. 已知函数

（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；

（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．

【答案】（1）m=2或m=﹣1（2）y=3x﹣1

【解析】

【分析】（1）根据y=kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，列式求解即可；

（2）根据y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式，列式求解即可．

【详解】（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得

m2﹣m﹣1=1且m2+2m≠0，

解得m=2或m=﹣1；

（2）由y=（m2+2m）是反比例函数，得

m2﹣m﹣1=﹣1且m2+2m≠0，

解得m=1．

故y与x的函数关系式y=3x﹣1 ．

【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．

25. 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

【答案】（1）， y=2x﹣2;（2）x＜﹣1或0＜x＜2． 

【解析】

【分析】（1）将点M（2，m），N（-1，-4）代入反比例函数y＝中得：2m=（-1）×（-4）=k2，可求k1、m；再将点M（2，m），B（-1，-4）代入y=k1x+b中，列方程组求k1、b即可；

（2）反比例函数值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数的图象的上方时自变量的取值范围即可．

【详解】（1）∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣4），

∴k2=﹣1×（﹣4）=4，

∵反函数图象过点（2，m），

∴m=2，

由直线y=k1x+b过点M，N，得 ，

解得，

∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为y=2x﹣2；

（2）从图象可以看出当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值，

故使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜2．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

26. 已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．

（1）求这个函数的解析式；

（2）判断点B（－1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；

（3）当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．

【答案】（1）这个函数的解析式为：；（2）点C在函数图象上，理由见解析；（3），－6＜y＜－2．

【解析】

【分析】（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值；

（2）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；

（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．

【详解】解：（1）∵反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），

∴把点A的坐标代入解析式，得，解得，k=6．

∴这个函数的解析式为：．

（2）∵反比例函数解析式，

∴6=xy．

分别把点B、C的坐标代入，得

（－1）×6=－6≠6，则点B不在该函数图象上；

3×2=6，则点C在函数图象上．

（3）∵k＞0，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小．

∵当x=－3时，y=－2，当x=－1时，y=－6，

∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2．

27. 如图，已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4．

（1）求k和m的值；

（2）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．

【答案】（Ⅰ）k=﹣8，m=4；（Ⅱ）﹣8≤y≤﹣2

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（Ⅱ）先分别求出x=1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．

试题解析：

（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，

∴(−xA)•yA＝4，

即可得：k=xA•yA=﹣8，

令x=2，得：m=4；

（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x增大而增大，

令x=1，得：y=﹣8；

令x=4，得：y=﹣2，

所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．